Polínômios

    Um polinômio é uma soma algébrica de monômios.

     As operações aritméticas e/ou algébricas dos polinômios, são as mesmas que se aplicam aos monômios. Assim:

Adição de polinômios

    (3x² - 6x + 4) + (2x² + 4x - 7) = 3x² - 6x + 4 + 2x² + 4x - 7 = 5x² - 2x - 3

Subtração de polinômios

    (5x² - 4x + 9) - (8x² - 6x + 3) = 5x² - 4x + 9 -8x² +6x - 3 = - 3x² + 2x + 6

(Observe que reescrevemos o segundo parenteses com sinais opostos e efetuamos à adição algébrica).

Multiplicação de monômios


Multiplicação de monômios por polinômios.

Multiplicação de polinômios
Exemplo:

   

Divisão de polinômio por polinômio.

EF08MA19: Área da coroa circular

     Dadas duas circunferência concêntricas com raios R e r, sendo R>r, chama-se coroa circular o conjunto dos pontos internos à circunferência de raio R e externos à de raio r, reunidos com os pontos das duas circunferências.
     A área da coroa é igual à diferença entre as áreas dos círculos de raios R e r.
                                                               A = πR² - πr² 


Calcule a área da região colorida em verde.
Resposta: 16π (Para π=3,14, temos aproximadamente 50,24 cm²).

Função do 1º grau

   A conta mensal de um telefone é composta de duas partes: uma taxa fixa de R$ 30,00 e mais uma parte variável que é de R$ 0,25 por minuto de ligação efetuada no mês. Assim. para x minutos de ligação, paga-se (0,25x) reais mais a taxa fixa de 30 reais. O valor y a pagar é dado por: y = 0,25x + 30
     O valor da conta, y, é função do tempo gasto em ligações, x.
     A tabela abaixo, mostra alguns valores possíveis para a conta.

     No gráfico estão representados os pares da tabela. (Mova o ponto vermelho, e observe os valores da tabela).

   Observe que no eixo x, estão representados os valores referentes ao tempo de ligações em minutos e o eixo y representa os valores referentes ao preço em reais.

     Outra situação:
     O preço de uma corrida de táxi é composto de um valor fixo somado a outro que varia de acordo com a distância percorrida.
     Supondo que o valor fixo (conhecido como bandeirada) seja R$ 3,40 e que o valor cobrado por quilômetro percorrido seja R$ 0,40, quanto um passageiro pagará por uma corrida de 12 quilômetros?
     Quantos quilômetros um passageiro percorreu se o preço da corrida foi R$ 11,40?
     Primeiro temos que escrever a lei de formação ou fórmula matemática da função que relaciona o preço y à pagar com a distância percorrida x:
                                                          y = 0,40x + 3,40
     Para responder à primeira questão acima, substituímos x por 12, y = 0,40 . 12 + 3,40 <=> y=8,20.
     Então, o passageiro pagará R$ 8,20
     Para responder à segunda questão, substituímos y por R$ 11,40.
     11,40 = 0,40x + 3,40 <=> x = 20
     Então, o passageiro percorreu 20 quilômetros.
     Essa situação da corrida do táxi apresenta uma função cuja lei y = 0,40x + 3,40 é do tipo y = ax + b, em que a e b são números reais.
     Ela tem as mesmas características de uma função que chamamos de função afim.
     Observações:
     Quando a é diferente de zero, a função de lei f(x) = ax + b é chamada função polinomial do 1º grau. Por exemplo: f(x) = 2x + 5.

     FUNÇÃO DO 1º GRAU
     Uma função definida para todo x real por uma fórmula do tipo y = ax + b, em que a e b são números reais conhecidos e a é diferente de zero, é denominada função do 1º grau.
     O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta.
    
     O significado do coeficiente b
     Na função y = ax + b, b é o valor de y correspondente a x = 0.
     Na função y = ax + b, b é a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo y, e b também é chamado de coeficiente linear da reta.

      O significado do coeficiente a
      O coeficiente a é a taxa de variação da função y= ax + b. Ele representa a quantidade de unidades que são adicionadas a y quando adicionamos uma unidade a x, qualquer que seja x.
Por exemplo, no pagamento de uma conta telefônica, "pagamos" um valor fixo e mais o tempo de ligação. Se no caso "falarmos" 1 minuto, uma operadora cobra atualmente, R$ 0,56; que será o acréscimo à taxa fixa, logo a taxa de variação da conta é de R$ 0,56 por minuto de ligação efetuada.
     Graficamente temos:

Atividade:
Represente o gráfico da função y=x-2.
     Para construir o gráfico de uma função, que é uma reta. Basta marcar alguns pontos (dois são suficientes) e traçar a reta que passa por eles.
Para auxiliar vamos construir uma tabela.

Logo, utilizando o sistema de coordenadas cartesianas, temos:

FUNÇÃO LINEAR: INVERSAMENTE PROPORCIONAL

   Um bolo  de 1 kg será dividido igualmente entre os alunos de uma classe. A massa da fatia que cada aluno vai ganhar é função do número de alunos da classe.

Faça a correspondência com os elementos da tabela, com o gráfico abaixo:

(Mova o ponto M, e observe que a medida que diminui a massa do bolo (eixo y); aumenta o número de alunos da classe (eixo x)).

     Se numa correspondência entre duas grandezas x e y, quando x é multiplicado por um número, y fica dividido por esse número, dizemos que y é inversamente proporcional a x, ou seja, y é inversamente proporcional a x quando o produto xy é constante.

     Qual é a fórmula da massa y, em gramas, de cada fatia em função do número x de alunos?
     Logo a fórmula da massa y = 1000 : x, pois 1000 representa a massa do bolo, que será repartida por x alunos.
     Observamos que a função é inversamente proporcional, pois o valor de y (massa do bolo) diminui, à medida que o número de alunos aumenta.

EF07MA18: EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Equações
Objetivos

• Reconhecer equações do 1º grau.
• Descrever uma situação por meio de uma equação do 1º grau.
• Identificar os elementos de uma equação do 1º grau.
• Resolver equações do 1º grau com uma ou duas incógnitas.

     Resolução pelo método da balança
     O dobro de um número, mais 5 unidades é igual a 27. Qual é o número?
2x ------> o dobro de um número
+5-------> mais cinco unidades
=--------> é igual a vinte e sete.
                       2.x + 5 = 27
                       2x +5 -5 = 27 - 5   ---> adicionamos - 5 aos dois lados da igualdade e efetuamos as operações.
                       2x = 22  ----------------> resultado após a subtração.
                       2x/2 = 22/2 ------------> dividimos por 2, os dois lados da igualdade, eliminarmos o 2 do lado esquerdo da igualdade.
                       x = 11
Logo o número procurado é 11.

Resolução pelo método da balança, com o auxílio da animação abaixo.
(Cuidado: não confundir equação com função!)
Exemplo:
1) Clique + e digite: 6
2) Clique em - e digite: 2x
3) Clique em : e digite: 3, logo x= - 4
Faça as outras atividades

Disponível em: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/maquina/arvore.htm

Construção do gráfico de uma equação  do 1º grau, utilizando um programa digital

Tutorial completo, sobre o uso da chamada máquina algébrica disponível em:

http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/novas_abordagens/modulo_I/sequencia_Ig.htm

FUNÇÃO CONSTANTE

Uma função em que todo número real x corresponde um número c é chamada função constante. A fórmula da função constante é y = c ou f(x) = c.


O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

Função do 1º grau: decrescente

     Dizemos que uma função é decrescente quando, aumentando x, y diminui. Nesse caso, quanto maior for x, menor será y.

FUNÇÃO CRESCENTE

     Dizemos que uma função é crescente quando, aumentando os valores de x, em correspondência aumentam os valores de y. Nesse caso, quanto maior for x, maior será y.

FUNÇÃO LINEAR

Uma função do tipo y = ax, a ≠ 0, é denominada função linear. Numa função linear, y é proporcional a x. A razão entre y e x é a constante a.
MOVA O PONTO


     O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem (0,0) do sistema de coordenadas.


Assista ao vídeo:

EF09MA09: Produtos notáveis

São produtos de expressões algébricas que aparecem com muita frequência no cálculo algébrico.

Quadrado da soma de dois termos.

Pela propriedade distributiva da multiplicação, temos:

Mais um exemplo:
        (2a + 4b²)² = (2a)² + 2.2a.4b² + (4b²)² = 4a² + 16ab² + 16b⁴

Regra prática: "Quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo."

                                                          Interpretação geométrica

Clique para ampliar

Quadrado da diferença de dois termos.

     Observe que também, para o quadrado da diferença de dois termos algébricos, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Regra prática: "Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro pelo segundo termos, mais o quadrado do segundo termo."

Mais um exemplo:
      (3x - 7y)² = (3x)² - 2.3x.7y + (7y)² = 9x² - 42xy + 49y²

Produto da soma pela diferença de dois termos.

Pela propriedade distributiva da multiplicação, temos:

Regra prática: "Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo."

Mais um exemplo:

     (5x² + 3xy)(5x² - 3xy ) = (5x²)² - (3xy)² = 25x⁴ - 9x²y²

Interpretação geométrica

                 

                                                    

Cubo da soma de dois termos.

Regra prática: "Cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo termo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo."

Mais um exemplo:
     (2x + z)³ = (2x)³ + 3. (2x)² . z + 3 . 2x . z² + (z)³ = 8x³ + 3. 4x² .z + 3. 2x . z² + z³ = 
                                                                                 = 8x³ + 12x²z + 6xz² + z³  

Cubo da diferença de dois termos.

Regra prática: "Cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo."

Mais um exemplo:
     (2x - z)³ = (2x)³ - 3. (2x)² . z + 3 . 2x . z² - (z)³ = 8x³ - 3. 4x² .z + 3. 2x . z² - z³ = 
                                                                                 = 8x³ - 12x²z + 6xz² - z³  

Mas e se as expressões binomiais forem elevadas à quarta, quinta, sexta potências e assim por diante, o que faremos?
     Utilizamos o Binômio de Newton, que veio para facilitar esses cálculos, pois com ele podemos calcular a enésima potência de um binômio.

O triângulo isósceles

     O triângulo DCB, é isósceles, pois possui dois lados de mesma medida: CD e DB.
- Os ângulos DĈB e DBC são os ângulos da base.
- Os ângulos da base são congruentes.
- Altura de um triângulo isósceles, é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prologamento, traçado pelo vértice oposto. Este lado é chamado base da altura.

- CDB é o ângulo do vértice.
- O ponto de intersecção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro.

EQUAÇÃO BIQUADRADA

     Uma metalúrgica fabrica etiquetas para identificação da marca de móveis a partir de uma placa metálica quadrada. A placa é recortada por uma máquina que retira quatro quadradinhos cujo lado mede (em centímetros) exatamente o inverso da medida do lado da placa inicial.
Algumas etiquetas devem ter 3 cm³ depois do recorte.
João irá comprar as placas metálicas quadradas e, para que  não haja desperdício, precisa saber o tamanho ideal para essas placas.
Observe o esquema:

     A área de 3 cm³, é a diferença entre a área da placa quadrada e a dos quatro quadradinhos retirados.
     Uma equação que podemos escrever com essas relações é: x² - 4 .(1/x)² = 3 <=> x⁴ - 3x² - 4 = 0
     x²: área do quadrado maior.
     4 . (1/x)² : área dos quatro quadradinhos.
     A equação x⁴ - 3x² - 4 = 0 é um exemplo de equação biquadrada, de incógnita x.
Resolução
Para resolver uma equação biquadrada, usaremos uma incógnita auxiliar no caso o (y).
1) Desdobramos a equação original em duas, lembrando que x⁴=(x²)², então temos:
x² - 3x - 4 = 0 e usando a incógnita auxiliar (y), temos: y² - 3y -4 = 0. Resolvendo uma das equações por Bhaskara, encontramos às raízes, 4 e -1.
Para dispensar mais cálculos, fazemos:
Para x²= 4, temos x= ±√4 <=> x = ±2
Para x² = -1, temos x = ±√-1 (nesse caso, x não é um número real).
     Assim, João deve comprar placas quadradas de 2 cm de lado, ou seja, com 4 cm² de área.

Toda equação biquadrada pode ser escrita na forma ax⁴+bx²+c = 0, com a, b e c reais e a diferente de zero.

     Mais um exemplo:

Frações algébricas: adição e subtração

     Luís gastou R$ 12,00 comprando cadernos e R$ 9,00 comprando canetas. Ele contou que:

• o número de canetas é igual ao dobro do número de cadernos; 
• o preço de um caderno mais o preço de uma caneta é de R$ 5,50.

     Quantos cadernos e quantas canetas Luís comprou?
     Qual o preço de cada caneta e de cada caderno?
Resolução:
Número de cadernos: x              Número de canetas: 2x (dobro do nº de cadernos)
x cadernos ---->  R$ 12,00, cada caderno custou: 12 :  x
2x canetas ---->  R$   9,00, cada caderno custou: 9 : 2x
Um caderno e uma caneta custam juntas R$ 5,50. Então, temos a equação:

     Como x é igual a 3, logo, descobrimos que, Luís comprou 3 cadernos e 6 canetas.

Frações algébricas de mesmo denominador

Observe que para a adição ou subtração de frações algébricas de mesmo denominador, como nas operações com frações numéricas, também mantemos o denominador e efetuamos as operações normais no numerador.

Frações algébricas com denominadores diferentes

MMC de frações algébricas

Observe que, assim como nas frações numéricas, o novo denominador será o m.m.c. de 2x+2y e x+y, isto é, o número 2 e a expressão x+y, são comuns entre as duas frações:

Regra

     O m.m.c. é igual ao produto de fatores comuns e não comuns com maior expoente, ou, o m.m.c. é o número que tem o maior múltiplo de cada tipo diferente.

Vejamos mais alguns exemplos

1) determine o m.m.c. dos monômios:

     a) 5x² e 9x

Fatoramos:

5x² : 5.x.x

9x: 3.3.x

Logo: 5.3.3.x.x= 45x²

     b) 18a²b², 27ab³ e 36a²b

Fatoramos:

18a²b² = 2.3².a².b²

27ab³  = 3³.a.b³

36a²b  = 2².3².a²b

m.m.c. = 2². 3³. a² . b³ = 108a²b³ (observe que escolhemos as potências com maior expoente).

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

     São equações que têm incógnita no radicando ou é uma equação onde existe polinômios e raízes,
Resolução:
     Isolamos em um dos membros da equação, os termos que incluem raízes, e elevamos ambos os membros a uma mesma potência que elimine a raiz.
     Exemplos:

     No exemplo à seguir, observe que no primeiro membro da equação, ficamos somente com o radical, e depois elevamos ambos os membros ao quadrado.

                                 

EF08MA20: Volume de um cilindro

     Determine o volume de um cilindro de 30 centímetros de altura e cuja base tem 20 centímetros de raio.

     Cilindro é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma de uma lata de ervilhas, leite em pó, etc. O cilindro é um sólido geométrico cujas bases são dois círculos iguais.

     O volume do cilindro por ser determinado, pela relação matemática, a seguir;
                                           Volume do cilindro = área da base . altura 

    Como a base do cilindro é um círculo, temos:
    Área da base = área do círculo = π.r², onde r é o raio do círculo.
    Então, a área do cilindro pode ser expressa por:
                                                    A = π.r² . a
 
     Resolução do problema proposto:
     V = área da base . altura
     Área da base = πr²                                     Volume = 1.256 . 30 = 37.680 cm³
    A = π . 20² = 3,14 . 400
    A = 1.256 cm²                                          

    

Arco da circunferência

     Considere uma circunferência onde são dados dois pontos B e C, a circunferência irá se dividir em duas partes denominadas arcos, onde nos pontos B e C, são considerados extremidades desses dois arcos.

Cálculo do comprimento do arco
     Para calcular o comprimento de um arco de 60º de uma circunferência de raio 2 cm, basta estabelecer uma regra de três simples:
                       Comprimento                     medida em graus
                  arco:      x                                        60º
  circunferência:      2pi.2                                 360º      

Logo o comprimento do arco x é 2pi / 3 cm.

Cálculo da área do arco
Na animação comece movendo o ponto c.

Ângulo central
     É o ângulo que tem seu vértice localizado no centro da região circular.

PROJEÇÃO ORTOGONAL

     Projeção de uma reta r que passa pelos pontos A e B, é a reta r' que passa pelos pontos A' e B' num plano dado.

Setor circular

     O setor circular é a região do círculo que fica no interior de um dos seus ângulos centrais.

   
     Notemos que a área do setor é diretamente proporcional ao ângulo central que o determina. Assim, podemos determinar a área de um setor circular aplicando uma regra de três simples. Logo, deduzimos á fórmula para o cálculo da área do setor circular:

Medida do ângulo de uma circunferência inteira: 360º
Área do círculo: πr²
Ângulo central: α

Princípio fundamental da contagem

     Maria deseja formar um conjunto calça-blusa para vestir-se. Se ela dispõe de 4 calças e 6 blusas para escolher, de quantos modos pode formar o conjunto?

m . n

   Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser realizada de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de modos de realizar a ação é m . n.
                                                                  4 calças X 6 blusas = 24
     Maria poderá formar 24 conjuntos calça-blusa.
                                                     
Exemplos:
1) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos números de quatro algarismos podemos escrever?
    _ _ _ _
    6.6.6.6 = 1296 números.

2) Com algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de quatro algarismos distintos podemos escrever?
     _ _ _ _
     6. 5.4.3 = 360 números

3) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, e 4, quantos números de três algarismos podemos escrever?
    _ _ _
   4.5.5 = 100 números (não pode começar com zero).

Consequências do princípio fundamental da contagem
ARRANJOS SIMPLES
     Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de p elementos distintos qualquer grupo formado por p dos n elementos (p<n), de modo que um grupo difere do outro pela natureza dos elementos ou pela ordem dos elementos.
     Indicamos o número total de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p distintos, pelo símbolo:
     An,p, onde: n -> número total de elementos e p -> número de elementos de cada grupo.
     Para determinarmos o número total de arranjos simples de n elementos p a p distintos sem escrevê-los, usamos a expressão:

Exemplo:
     Num concurso de beleza em que participam 8 candidatas, de quantas maneiras diferentes pode ser formado o grupo das 2 primeiras colocadas?
n = 8 (número total de elementos)
p = 2 (grupo das 2 primeiras colocadas)
Assim:

Logo, podemos ter 56 modos diferentes de formar o grupo das duas primeiras colocadas.

Equações do 2º grau

Um pouco de história
     Textos babilônicos, escritos há cerca de 4.000 anos, já faziam referências a problemas que resolvemos hoje usando equações de 2º grau.
     No século IX, al-Khowarizmi, matemático árabe, desenvolveu um processo para resolução desses problemas que deu início à chamada álgebra geométrica.
     No século XII, baseado nos estudos feitos por al-Khowarizmi, o matemático hindu Bhaskara (1114-1185) apresentou um processo puramente algébrico que permitia resolver qualquer equação de 2º grau. Ele chegou a uma fórmula que é usada até hoje e que ficou conhecida como fórmula resolutiva de Bhaskara para equações de 2º grau.

Objetivos
     - Reconhecer uma equação do 2º grau.
     - Identificar os elementos de uma equação do 2º grau.
     - Classificar equações do 2º grau em completas e incompletas.
     - Escrever equações do 2º grau na forma reduzida.
     - Representar situações por meio de uma equação do 2º grau.
     - Determinar as soluções de uma equação do 2º grau.
     - Determinar o número de raízes reais diferentes de uma equação do 2º grau, analisando o valor do
        discriminante.
     - Compreender a relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação do 2º grau.
     - Resolver sistemas que recaem em equações do 2º grau.

Caminhos para à resolução de uma equação do 2º grau:

• Método geométrico do completamento de quadrados.
• Método pela utilização pela fórmula de resolução da equação do 2º grau.
• Resolução de uma equação por meio das relações entre os coeficientes e as raízes.
• Resolução de equações escritas na forma fatorada.

Resolução de uma equação do 2º grau pelo método geométrico do completamento de um quadrado.

     Observe os passos para a resolução, por esse método, da equação x² + 12x - 85= 0.

     x² + 12x___ = 85___ (Observe a seguir que transformamos a expressão x² + 12x, em um quadrado perfeito com a adição de 6²)
     x² + 12x + 6² = 85 + 6²
     (x + 6)² = 121

     x + 6 =  ±√121

     x + 6 = ±11

     x = -6 + 11 = 5  ou  x= -6 - 11 = - 17

Então por ser negativa desprezamos a raiz -17.

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Trinômios quadrados perfeitos e equações do 2º grau
Dada à equação: 9x² - 6x + 1 = 6
Como 9x² - 6x +1 é um trinômio quadrado perfeito, podemos fatorá-lo e reescrever a equação:
(3x² - 1)² = 6, temos que:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A área da figura, formada por 5 quadrados, é 20. Quanto mede o lado de cada quadrado?

     Resolução: Lembremos que podemos nomear a área de cada quadrado por x², e como temos 5 quadrados, escrevemos 5x², cuja área total da figura é de 20 m², logo: 5x² = 20

     Então, o lado de cada quadrado mede 2 unidades de medida. (desprezamos o -2, por tratarmos da medida do lado de uma figura geométrica plana).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------     

     Pensei em um número. Elevei-o ao quadrado e somei ao próprio número. Obtive o triplo do número inicial. Em que número pensei?

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     Método pela utilização pela fórmula de resolução da equação do 2º grau.

Em torno de uma quadra de futebol de salão, de comprimento 15 m e largura  8 m, deseja-se deixar uma faixa de largura constante.

     A área da quadra, com a faixa, deve ser 198 m². Qual deve ser a largura da faixa?

      Se x representa a largura da faixa em metros, a quadra com a faixa é um retângulo de dimensões
15 + 2x e 8 + 2x metros. Então, para determinar a área do retângulo, devemos multiplicar o comprimento pela largura : (15 + 2x)(8 + 2x) = 198, logo temos: 2x² + 23x - 39 = 0.
     Do resultado desta multiplicação, temos uma equação nomeada do 2º grau.
========================================================================
     Uma equação do 2° grau pode ser colocada na forma ax² +bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R e a ≠ 0.

     Da equação 2x² + 23x - 39 = 0, os coeficientes numéricos são:
     a= +2, b= +23 e c= -39 

     Resolver uma equação significa encontrar suas raízes (ou soluções).
     Um número é raiz de uma equação quando, colocado em lugar da incógnita, a equação se transforma numa sentença verdadeira.

      Uma equação será incompleta, quando os coeficientes b e c, forem iguais a zero.
      Por exemplo, da equação do problema acima, se b fosse igual a zero, a equação seria escrita na forma: 2x² + 0.x - 39 = 0 => 2x² - 39 = 0
     Se a mesma equação tivesse o coeficiente c=0, escreveríamos: 2x² + 23x + 0 = 0 => 2x² + 23x=0
     Podemos resolver uma equação do 2º grau através da aplicação da “fórmula de Bháskara”:

Resolução de uma equação por meio das relações entre os coeficientes e as raízes

     Uma equação do 2º grau, com a incógnita x, pode ser expressa em função da soma S e do produto P de suas raízes: x² - Sx + P = 0

Exemplo:

     Resolver a equação: x² -5x + 6 = 0

Temos: S = 5 => x' + x" = 5

            P = 6 => x'  .  x" = 6

Procurando pelo cálculo mental, dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6, temos: x'=2 e x"= 3, pois: 2 + 3 = 5  e  2 . 3 = 6.

Aplicação em vídeo de uma equação do 2º grau

                           

Simplificação de equações do 2º grau

     Em algumas situações, antes de obter as raízes das equações, é necessário simplificá-las.

Exemplo de simplificação de equação do 2º grau:

2(5x - 10) + 5x² = 3x² + 2x + 22

10x - 20 + 5x² = 3x² + 2x + 22

5x² - 3x² + 10x - 2x - 20 - 22 = 0

2x² + 8x - 42 = 0 ---> equação na forma reduzida.

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

     Renata  foi a uma feira na qual o preço de 1 kg de laranjas era R$ 1,25. Sabendo que ela comprou 6 kg, quantos reais Renata vai pagar por essas laranjas?
Resolução

     Observando o quadro podemos notar que, se l kg de laranjas custa R$ 1,25, então 6 Kg de laranjas custará ? reais, logo o valor a ser pago depende da massa de laranjas. Se a massa aumentar 4 vezes, o preço a ser pago também aumentará 4 vezes e, se a massa diminuir pela metade, o preço a ser pago também diminuirá pela metade e assim por diante.
     Dessa forma, dizemos que a massa das laranjas e o preço a ser pago são grandezas diretamente proporcionais.
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     Para colher o milho que plantou, José utilizará duas colhedeiras que, juntas, vão colher toda a plantação em seis dias. Se José contratar quatro colhedeiras, em quantos dias, mantendo o mesmo ritmo de trabalho, será feita toda a colheita?

   Observando o quadro podemos notar que, de duas para quatro, colhedeiras a quantidade foi multiplicada por 2. Nesse caso, como as colhedeiras vão manter o mesmo ritmo de trabalho, o tempo gasto para a colheita será reduzida pela metade, ou seja, será dividida por 2.

    Se a quantidade de colhedeiras diminuir pela metade, o tempo de colheita será o dobro e assim por diante.

    Dessa forma, dizemos que a quantidade de colhedeiras e o tempo de colheita são grandezas inversamente proporcionais.

Regra de três

Objetivos

• Reconhecer grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.
• Compreender a regra de três como um método de resolver problemas que envolvam grandezas proporcionais.
• Utilizar a regra de três simples e composta para resolver problemas que envolvam grandezas proporcionais.

Regra de três simples

         Em um depósito, algumas caixas de mesma dimensão estão sendo estocadas, conforme a figura à seguir.

     Observando as imagens, podemos notar que quanto maior a quantidade de caixas, maior é a altura da pilha. Se dividirmos a altura de cada pilha pela quantidade de caixas da pilha, temos:

     As grandezas "altura da pilha" e "quantidade de caixas" são diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é 15,5. Assim, podemos escrever a seguinte proporção.

     Neste mesmo depósito há uma outra pilha com 12 caixas empilhadas. Qual a altura dessa pilha de caixas?

     Como a altura dessa pilha de caixas é desconhecida, nomeamos essa altura de: X 

     Comparando com a pilha maior apresentada na figura acima, poemos representar a situação pelo quadro à seguir.

     Escrevemos uma proporção baseada no quadro e resolvendo, temos:

     Essa maneira de encontrar o valor de X em uma proporção é chamada de regra de três simples.

   

     Regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais

     É um método para resolver problemas envolvendo grandezas proporcionais. Esse método consiste em resolver problemas que envolvam quatro valores, dos quais três são conhecidos e por meio deles determinamos o valor desconhecido.    

Porcentagem (%)

     O salário Mínimo Brasileiro atualmente é de R$ 622,73 (seiscentos e vinte e dois reais e setenta e três centavos). Segundo o DIEESE, deveria ser igual à R$ 2.293,31 (Dois mil, duzentos e noventa e três reais e trinta e um centavos), e a Contribuição dos Segurados Empregados para o INSS (Instituto Nacional da Previdência Social) é de 8%, que é descontado mensalmente de seu salário.
     Se um trabalhador recebe o Salário Mínimo Brasileiro (R$ 622,73) e descontados 8% de seu salário, quanto receberá no fim do mês?

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Resolução:

     No fim de cada mês, deverá ser descontado o valor correspondente ao cálculo à seguir, isto é:
     8% de R$ 622,73 = 8 : 100 . 622,73 = 0,08 . 622,73 =  49,82 (A palavra "de", deve ser entendida como produto).
     Isto é, o trabalhador receberá depois de descontado o valor a ser recolhido à Previdência Social, o valor referente à 622,73 - 49,82 = 572,91
     Logo o trabalhador "receberá": R$ 572,91 (Quinhentos e setenta e dois reais  e noventa e um centavos).
   
A porcentagem nada mais é do que uma notação (%), usada para representar uma parte de cem partes, ou uma porcentagem é uma fração de nominador 100.
     Assim, "cinco por cento" escreve-se 5% e significa "cinco centésimos", isto é, 5% = 5/100.
     É conveniente ter em mente os significados de algumas delas, face seu uso diário:
     100% = tudo
      50%  = a metade
      25% = a quarta parte
      20% = um quinto
      10% = um décimo
        5% = um vigésimo
        1% = um centésimo

Equação

Resolver equações ajuda a desenvolver o raciocínio, facilitando, assim, a resolução de problemas complexos que surgem no dia-a-dia.
Acompanhe a resolução do problema à seguir.

O professor de uma turma do 7º ano fez a seguinte pergunta aos seus alunos.

     Para responder à pergunta, podemos escrever uma sentença matemática chamada equação. Uma equação é uma igualdade em que há pelo menos uma letra que representa um número desconhecido.

    Chamando de x a idade do professor, escrevemos a seguinte equação.
                                                                 2 . x + 9 = 81
    Podemos resolver equações utilizando operações inversas.
    Para determinar o valor de x podemos utilizar a operação inversa da adição (subtração) e a inversa da multiplicação (divisão), assim:
                                                                2x = 81 - 9
                                                                2x = 72 (simplificando por 2, isto é, dividindo por 2.)
                                                                2x / 2 = 72 / 2
                                                                 x = 36
     Assim, x = 36, ou seja, a idade do professor é 36 anos.

     EQUAÇÃO
     É uma sentença matemática expressa por uma igualdade em que há pelo menos uma letra que representa um número desconhecido, chamada incógnita.
     Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido da incógnita, ou seja, obter a solução ou a raiz da equação.

     RESOLVENDO EQUAÇÕES PELOS PRINCÍPIOS ADITIVO E MULTIPLICATIVO
     Exemplo

          Ao adicionarmos ou subtraímos um mesmo número nos dois membros de uma equação, a igualdade não se altera. Esse é o princípio aditivo da igualdade.

De maneira semelhante, ao multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma equação por um mesmo número diferente de zero, a igualdade também não se altera. Esse é o princípio multiplicativo da igualdade.