O ponto, a reta e o plano, são os elementos fundamentais da geometria, entidades que não apresentam definição.
O Ponto
Não tem altura, comprimento ou largura, não tem dimensões. O ponto é representado por uma letra maiúscula de nosso alfabeto.
A reta
É formada pela sucessão de pontos e tem uma única dimensão, que pode ser o comprimento, a largura ou a altura, é considerada unidimensional. A reta é representada por uma letra minúscula de nosso alfabeto.
O plano
É o conjunto formado por infinito pontos e infinitas retas, é representada por uma letra minúscula do alfabeto grego, como por exemplo α (alfa) ou (beta) β.
segunda-feira, 30 de julho de 2012
domingo, 29 de julho de 2012
Ângulos no círculo
Ângulo inscrito: é o ângulo que tem o vértice na circunferência e seus lados são retas secantes a ela.
Ângulo central: é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência.
Resolvendo o sistema:
Observe que a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
Outra relação interessante:
Considerando o centro da circunferência no interior do ângulo inscrito.
A medida do ângulo inscrito CBF é (α+β) e a medida do ângulo central CÂF é (2α+2β); logo a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
Conclusão: Ângulos inscritos correspondentes ao mesmo arco, são todos congruentes, isto é, todos medem a metade do ângulo central.
Ângulo central: é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência.
Resolvendo o sistema:
Observe que a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
Outra relação interessante:
Considerando o centro da circunferência no interior do ângulo inscrito.
A medida do ângulo inscrito CBF é (α+β) e a medida do ângulo central CÂF é (2α+2β); logo a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
Conclusão: Ângulos inscritos correspondentes ao mesmo arco, são todos congruentes, isto é, todos medem a metade do ângulo central.
Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
Reta externa: a distância da reta externa é maior que o raio, com relação ao centro da circunferência.
Reta secante: a distância da reta secante é menor que o raio, com relação ao centro da circunferência.
Reta tangente: a distância da reta tangente é igual ao raio; a reta é perpendicular ao segmento determinado pelo centro e o ponto de tangência.
Observe que os segmentos OMova, OM e OMova, respectivamente, representam as distâncias dos centros às retas.
√2² + 1² √5 √5 2,2
Reta secante: a distância da reta secante é menor que o raio, com relação ao centro da circunferência.
Reta tangente: a distância da reta tangente é igual ao raio; a reta é perpendicular ao segmento determinado pelo centro e o ponto de tangência.
Observe que os segmentos OMova, OM e OMova, respectivamente, representam as distâncias dos centros às retas.
Como identificar a posição relativa
entre uma reta e uma circunferência.
Exemplo:
São dadas a reta r,
de equação 2x + y – 1 = 0, e a circunferência de equação x² +
y² + 6x – 8y = 0. Qual é a posição da reta r em relação à
circunferência?
Calculamos
as coordenadas do centro e do raio.
x²
+ y² + 6x – 8y = 0 → x² + 6x + y² – 8y =0
Pelo
completamento de quadrados:
x²
+ 6x + 3² = 0 + 9
y²
– 8y + 4² = 0 + 16
Temos:
x²
+ 6x + 9 + y² – 8y + 16 = 9
+ 16 →
Fatorando
os trinômios:
x²
+ 6x + 9 = (x + 3)²
+
y² – 8y + 16= (y –
4)²
Assim:
(x + 3)² + (y – 4)² = 25 → Equação da circunferência
Então:
C(- 3, 4) e r= 5.
Determinamos
agora a distância entre o centro e a reta.
d = | 2(-3)+ 1(4) - 1 = | -3| = 3 = 3 aproximadamente 1,3
Comparando
d e r, temos d<r(1,3)<5.
Logo,
a reta r é secante à circunferência.
quarta-feira, 25 de julho de 2012
Estudo dos ângulos I
Classificação dos ângulos
Ângulo reto: é todo ângulo cuja abertura é igual a 90º.
Ângulo agudo: é todo ângulo cuja abertura é menor que 90º.
Ângulo raso: é todo ângulo cuja abertura, for igual a medida de dois ângulos retos.
Ângulo obtuso: é todo ângulo cuja medida é maior que 90º e menor que 180º.
Ângulo O.P.V.: ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.), são ângulos que são formados pela mesma reta mas não são adjacentes. Dois ângulos opostos pelo vértice, são congruentes.
Ângulo completo: são àqueles cuja volta é completa, igual a 360º.
Ângulo reto: é todo ângulo cuja abertura é igual a 90º.
Ângulo agudo: é todo ângulo cuja abertura é menor que 90º.
Ângulo raso: é todo ângulo cuja abertura, for igual a medida de dois ângulos retos.
Ângulo obtuso: é todo ângulo cuja medida é maior que 90º e menor que 180º.
Ângulo O.P.V.: ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.), são ângulos que são formados pela mesma reta mas não são adjacentes. Dois ângulos opostos pelo vértice, são congruentes.
Ângulo completo: são àqueles cuja volta é completa, igual a 360º.
terça-feira, 24 de julho de 2012
EF09MA07: Densidade demográfica
Densidade demográfica ou população relativa é a razão entre o número de habitantes dessa localidade e a sua área em quilômetros quadrados.
Exemplo:
Calcule a densidade demográfica (Dd) do município de Porto Alegre (RS).
- População em 2011(IBGE): 1.409.351 hab.
- Área territorial: 497 km²
A densidade demográfica de Porto Alegre (RS) é aproximadamente 2,9 hab/km².
Exemplo:
Calcule a densidade demográfica (Dd) do município de Porto Alegre (RS).
- População em 2011(IBGE): 1.409.351 hab.
- Área territorial: 497 km²
A densidade demográfica de Porto Alegre (RS) é aproximadamente 2,9 hab/km².
Fonte: Googlemaps |
EF09MA07: Velocidade média
A velocidade média é uma razão que compara as grandezas distância e tempo. A velocidade média de um carro em certo percurso, por exemplo, é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto nesse percurso.
Exemplo:
Calcule a velocidade média (Vm) de um carro que percorreu 300 km em 4h.
- Distância percorrida (d): 300 km
- Tempo (t): 4h
Vm = d : t = 300 : 4 = 75 km/h
Observe que, no percurso, a velocidade do carro pode ter variado, mas na média a velocidade foi 75 km/h.
Calcule a velocidade média (Vm) de um carro que percorreu 300 km em 4h.
- Distância percorrida (d): 300 km
- Tempo (t): 4h
Vm = d : t = 300 : 4 = 75 km/h
Observe que, no percurso, a velocidade do carro pode ter variado, mas na média a velocidade foi 75 km/h.
O grau
Para termos ideia da medida de um grau, podemos imaginar um círculo dividido em 360 partes iguais. Um grau corresponde a cada uma dessas partes e indicamos por 1º. Se considerarmos uma volta completa, temos um ângulo de 360°.
Subdivisões do grau
As subdivisões do grau são o minuto e o segundo. Um grau corresponde a 60 minutos (60') e 1 minuto, a 60 segundos (60").
Teorema fundamental da aritmética
Números primos
São os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 ele mesmo.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, etc, até que tenhamos um resto diferente de zero.
Teorema fundamental da aritmética
O teorema fundamental da aritmética diz que todos os números pertencentes ao conjunto dos inteiros, maiores que 1, podem ser decompostos em produto de números primos.
Exemplo:
30 = 3 x 5 x 2
169 = 13 x 13
144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3
São os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 ele mesmo.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, etc, até que tenhamos um resto diferente de zero.
Teorema fundamental da aritmética
O teorema fundamental da aritmética diz que todos os números pertencentes ao conjunto dos inteiros, maiores que 1, podem ser decompostos em produto de números primos.
Exemplo:
30 = 3 x 5 x 2
169 = 13 x 13
144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3
Trigonometria na circunferência
Seno e cosseno de um arco trigonométrico
Chama-se seno do arco trigonométrico AM de medida alfa à ordenada de M.
Chama-se cosseno do arco trigonométrico AM de medida alfa à abcissa de M.
Mova o ponto M.
Tabela de arcos notáveis
Tangente de um arco trigonométrico
Chama-se tangente de um arco trigonométrico de medida x à razão entre o seno e o cosseno desse arco. Então:
Funções trigonométricas
Função cosseno
Função seno
Função tangente
O círculo trigonométrico
Chama-se seno do arco trigonométrico AM de medida alfa à ordenada de M.
Chama-se cosseno do arco trigonométrico AM de medida alfa à abcissa de M.
Mova o ponto M.
Tabela de arcos notáveis
Arco
|
30º (π
/ 6 rad)
|
45º (π
/ 4 rad)
|
60º (π
/ 3 rad)
|
Seno
|
1/2
|
√2
/ 2
|
√3
/ 2
|
Cosseno
|
√3
/ 2
|
√2
/ 2
|
1/2
|
Tangente de um arco trigonométrico
Chama-se tangente de um arco trigonométrico de medida x à razão entre o seno e o cosseno desse arco. Então:
Interpretação geométrica
Funções trigonométricas
Função cosseno
Função seno
Função tangente
O círculo trigonométrico
segunda-feira, 23 de julho de 2012
Cálculo da probabilidade
A rifa de uma cesta de Natal do clube tem 200 números e você comprou 5 deles.. Qual sua chance de ganhar a cesta?
Resolvendo:
probabilidade = número de resultados desejados / número de resultados possíveis
p = 5 : 200 = 0,025 . 100% = 2,5%
A probabilidade de que aconteça algo que desejamos pode ser calculada pela seguinte forma, como fizemos acima:
Quantos números de dois algarismos podemos escrever utilizando somente os algarismos 6, 7 e 8?
67 77 87
68 78 88
Total: 9 números.
Atividades:
1) Uma urna contém 6 bolas brancas e 24 vermelhas. A probabilidade de sortearmos uma bola branca é de?
Resolvendo:
probabilidade = número de resultados desejados / número de resultados possíveis
p = 5 : 200 = 0,025 . 100% = 2,5%
A probabilidade de que aconteça algo que desejamos pode ser calculada pela seguinte forma, como fizemos acima:
Quantos números de dois algarismos podemos escrever utilizando somente os algarismos 6, 7 e 8?
Visualize as possibilidades no diagrama.
Número de possibilidades para o primeiro algarismo: 3
Número de possibilidades para o segundo algarismo: 3
3 . 3 = 9
Observamos que podemos formar os seguintes números de dois algarismos:
66 76 8667 77 87
68 78 88
Total: 9 números.
Atividades:
1) Uma urna contém 6 bolas brancas e 24 vermelhas. A probabilidade de sortearmos uma bola branca é de?
2) Ao
se sortear uma dessas bolas, qual é a probabilidade de:
2 3 5 7
11 13 17
19
a)
Se obter um número ímpar?
b) Se obter um número primo?
c) Se
obter um número menor que 10?
d)
Se obter um número ímpar entre 10 e 20?
e)
Se obter um número par entre 10 e 20?
EF08MA19: Área do quadrado
ÁREA DO QUADRADO
A área de um quadrado é o quadrado da medida de seu lado: Aq = l²
(Mova o ponto A ou o ponto B).
(Mova o ponto A ou o ponto B).
EF08MA19: Área do retângulo
ÁREA DO RETÂNGULO
Demonstração
A área do quadrado maior é: (b+h)² A área da figura é: b²+2.Ar+h²
Como ambos os polígonos têm mesma área, então:
(b+h)² = b² + 2.Ar + h²
b²+ 2.b.h + h² = b² + 2.Ar + h²
2.b.h =2.Ar
b.h = Ar
A área de um retângulo pode ser expressa por:
Ar = b . h
Observe que na animação a seguir é possível verificar o cálculo da área do retângulo e do quadrado.
domingo, 22 de julho de 2012
EF08MA19: Área do paralelogramo
A área de um paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base pela medida da altura correspondente.
O paralelogramo é equidecomponível a um retângulo, conforme demonstração abaixo:
Ou seja: Ap = b . h
EF08MA19: Área do triângulo
Demonstração: Decomposição e composição de um triângulo.
A área de um triângulo é obtida pela metade do produto da medida da base pela medida da altura correspondente a essa base.
A área do retângulo R abaixo é Ar= b. h/2
Como o triângulo T acima é equidecomponível ao retângulo R, tem a mesma área que R. Logo:
Ar= b/2 . h/2
Referências bibliográficas
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Horizontes Pedagógicos, 1996, p.193-217.
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BALDIN, Yuriko Yamamoto e FELIX, Thiago Francisco. Utilização de programa de geometria dinâmica
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em: 22 out. 2010.
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http://www.fae.unicamp.br/zetetike/viewarticle.php?id=67&layout=abstract&locale. Acesso em:
21 de Out. 2010.
Giovanni Júnior, José Ruy. A conquista da matemática, 8º ano/ José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto
Castrucci. - Ed. renovada. São Paulo: FTD, 2009. - - (Coleção a conquista da matemática).
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ior. 2ª Edição. São Paulo: Ed. Ática, 2002.
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Disponível em http://www.apm.pt/files/_EM105_pp061-066_lq_4ba2b378bd03e.pdf. Acesso em: 22 out.
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cabeças e outros materiais concretos / Ana Maria M. R. Kaleff. – Niterói: EdUFF, 1998.
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WALDHELM, M. Ciências, 9º ano: Volume 4. São Paulo: Editora do Brasil, 2010.
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EF09MA22: Estatística
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
Tratamento da informação
Objetivos
Noções de estatística
Razão
Proporção
Grandezas proporcionais,
Porcentagens(%)
Porcentagem on-line
Gráfico de colunas (barras)
Gráfico de barras
Gráfico de setores
Gráfico de linhas
Introdução à probabilidade
Introdução à matemática financeira
Tratamento da informação
Objetivos
- Identificar as variáveis estatísticas.
- Classificar as variáveis em quantitativa (discreta ou contínua) ou qualitativa (nominal ou ordinal).
- Calcular a frequência absoluta, a frequência relativa, a frequência acumulada e a frequência acumulada relativa.
- Organizar os dados em rol.
- Distribuir os dados em intervalos de classes.
- Construir e interpretar histogramas.
- Calcular a média aritmética, a mediana e a moda de um conjunto de dados.
Noções de estatística
Razão
Proporção
Grandezas proporcionais,
Porcentagens(%)
Porcentagem on-line
Gráfico de colunas (barras)
Gráfico de barras
Gráfico de setores
Gráfico de linhas
Introdução à probabilidade
Introdução à matemática financeira
Introdução à álgebra
Álgebra
Em matemática, álgebra é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas, ou seja é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.
A álgebra elementar introduz o conceito de variável - que representa números. Expressões que usam estas variáveis são manipuladas usando as regras aplicadas aos números.
O objetivo fundamental da Álgebra é permitir a resolução de problemas que envolvem números desconhecidos.
Rene Descartes
Uma das contribuições de Descartes para a Álgebra atual foi a utilização das primeiras letras do alfabeto para os números conhecidos (ou para as constantes) e das últimas para as variáveis.
Aritmética
A aritmética (palavra grega: arithmós, número) é o ramo da matemática que lida com números e suas operações, é o ramo mais antigo e mais elementar da matemática.
- Os axiomas da aritmética
- A teoria dos números
- Arredondamento
- Teorema fundamental da aritmética
- Operações aritméticas básicas
- As operações inversas
- Conjuntos numéricos
- Conjunto dos números naturais
- Conjunto dos números inteiros
- Conjunto dos números racionais
- Operações com frações
- Conjunto dos números reais
- Propriedades operatórias em |R
- Fatoração em números primos
- Fatoração de um radical
- Fração geratriz
- Números diretamente e inversamente proporcionais
- Números opostos ou simétricos
- Unidades de medidas
- Notação científica
- Minimo múltiplo comum
- Máximo divisor comum
- Curso sobre proporcionalidade.
- Raiz quadrada por aproximação
- Conjunto dos números complexos, Representação geométrica,
domingo, 15 de julho de 2012
Equações com duas variáveis
Sistemas de equações
Objetivos
Mariana e Pedro participam de um jogo em que cada um deles tem um total de pontos que pode ser positivo ou negativo, inteiro ou não. Mas, se somarmos o total dos dois, o resultado é sempre igual a 10.
Mariana vai indicar o seu total de pontos pela letra x e Pedro vai indicar o seu pela letra y. Isso feito, como a soma dos pontos dos dois é sempre 10, vale a sentença matemática: x + y = 10.
A equação x + y = 10 é um exemplo de equação de 1º grau com duas variáveis.
Toda equação que pode ser reduzida a uma equivalente da forma ax + by = c, com a, b números reais e diferentes de zero, é denominada equação de 1º grau com duas incógnitas.
Exemplos:
x + y = 10 : incógnitas x e y.
2a - 3b = 1: incógnitas a e b.
Toda equação de 1º grau com duas incógnitas, tem infinitas soluções, sendo cada uma delas indicada por um par ordenado de números; o primeiro número representa sempre o valor da incógnita x; o segundo representa sempre o valor da incógnita y.
(x, y) -> essa ordem precisa ser respeitada, daí o nome par ordenado.
Exemplo:
O par ordenado (2,5) é solução da equação 3x + 2y = 16?
3x + 2y = 16 -> 3 . 2 + 2 . 5 = 16 -> 6 + 10 = 16 (verdadeira)
(2,5) é uma solução da equação 3x + 2y = 16
Observação: Graficamente no plano cartesiano, toda equação do 1º grau é uma reta.
y = b
x = -b/a
Também chamadas de equações lineares, são equações que envolvem apenas somas ou produtos de constantes ou variáveis do primeiro grau e não podem conter potências nem produtos de variáveis.
Objetivos
- Resolver equações do 1º grau com duas incógnitas.
- Reconhecer e resolver sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas.
- Descrever uma situação por meio de um sistema de duas incógnitas do 1º grau com duas incógnitas.
Mariana e Pedro participam de um jogo em que cada um deles tem um total de pontos que pode ser positivo ou negativo, inteiro ou não. Mas, se somarmos o total dos dois, o resultado é sempre igual a 10.
Mariana vai indicar o seu total de pontos pela letra x e Pedro vai indicar o seu pela letra y. Isso feito, como a soma dos pontos dos dois é sempre 10, vale a sentença matemática: x + y = 10.
A equação x + y = 10 é um exemplo de equação de 1º grau com duas variáveis.
Toda equação que pode ser reduzida a uma equivalente da forma ax + by = c, com a, b números reais e diferentes de zero, é denominada equação de 1º grau com duas incógnitas.
Exemplos:
x + y = 10 : incógnitas x e y.
2a - 3b = 1: incógnitas a e b.
Toda equação de 1º grau com duas incógnitas, tem infinitas soluções, sendo cada uma delas indicada por um par ordenado de números; o primeiro número representa sempre o valor da incógnita x; o segundo representa sempre o valor da incógnita y.
(x, y) -> essa ordem precisa ser respeitada, daí o nome par ordenado.
Exemplo:
O par ordenado (2,5) é solução da equação 3x + 2y = 16?
3x + 2y = 16 -> 3 . 2 + 2 . 5 = 16 -> 6 + 10 = 16 (verdadeira)
(2,5) é uma solução da equação 3x + 2y = 16
Observação: Graficamente no plano cartesiano, toda equação do 1º grau é uma reta.
y = b
x = -b/a
Também chamadas de equações lineares, são equações que envolvem apenas somas ou produtos de constantes ou variáveis do primeiro grau e não podem conter potências nem produtos de variáveis.
sábado, 14 de julho de 2012
Classificação dos ângulos
Clique AQUI, para interagir com a animação sobre a classificação dos ângulos.
Trigonometria: Ângulos notáveis
Os ângulos 30º, 45º e 60º são assim chamados, porque aparecem com frequência na resolução de cálculos e problemas.
sexta-feira, 13 de julho de 2012
Noções de estatística
Noções de Estatística
População e amostra
Alimentos como carne, leite, queijo, iogurte e outros, podem receber o carimbo do SIF - Sistema de Inspeção Federal. Esse órgão tem a função de verificar se estes produtos estão adequados para o consumo humano.
Numa inspeção a um laticínio, por exemplo, não se verifica toda a produção. Os funcionários recolhem um número determinado de produtos, e esses são analisados.
Pela qualidade dos produtos analisados, estima-se a qualidade do restante da produção.
Nesse exemplo temos:
- população: produção total do laticínio.
- amostra: produtos recolhidos para análise.
Variável quantitativa
São aquelas que são numericamente mensuráveis, por exemplo, a idade, a altura, o peso.
Variável qualitativa
São aquelas que se baseiam em qualidades e não podem ser mensuradas numericamente, por exemplo, classe social, cor dos olhos, local de nascimento.
Frequência
A informação mais fundamental sobre uma variável qualitativa é a frequência com que as diversas classes ocorrem nas observações, que podem ser as frequências absolutas e relativas (isto é, a fração do total).
Frequência absoluta
Frequência absoluta de um valor é o número de vezes em que uma determinada variável assume um valor.
Frequência relativa
Frequência relativa é o quociente entre a frequência absoluta da variável e o número total de observações.
Exemplo:
Álgebra: 10 : 38 = 0,263 x 100 = 26,3%
Aritmética: 1 : 38 = 0,026 x 100 = 2,6%
Funções: 2 : 38 = 0,052 x 100 = 5,2%
Geometria: 11 : 38 = 0,289 x 100 = 28,9%
Sem preferência: 14 : 38 = 0,368 x 100 = 36,84%
(Observe que multiplicando por 100 os números decimais obtemos sua forma em porcentagem).
Dados organizados na tabela à seguir:
Valores médios
O valor médio é um dos índices estatísticos mais utilizados.
Há três números considerados como valores médios que podem ser utilizados para analisar dados:
Média
Exemplo:
Veja a tabela com as frequências, e respectivo porcentual, das notas dos alunos em uma prova em que a nota mínima era zero e a nota máxima era 5.
Lembre-se que para calcularmos a frequência porcentual devemos dividir a frequência pelo seu total, para a tabela acima, temos: 3 : 45 = 0,0666... X 100 = 6,666...
Cálculo da média
Observe que adicionamos todas as notas dos alunos e dividimos o resultado pelo número deles.
Mediana
A segunda medida importante é a mediana. Observe o exemplo:
Imagine todas as notas da prova colocadas em uma fila, começando pela menor e terminando pela maior.
Imagine agora dividirmos essa fila bem ao meio. A nota que estiver bem no meio dessa fila é a mediana:
..., 1, 1, 1, 2, 2, 2,2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3,...
mediana
Moda
A moda é igual à nota de maior frequência dentre as que foram tiradas na prova. Então a moda é 2, porque foi a nota que o maior número de pessoas tirou.
Como
organizar os dados em tabelas
Após
reunir uma série de informações (dados) sobre determinado assunto,
o primeiro passo é organizar essas informações. Geralmente,
utilizamos para isso tabelas de dados.
Como
organizar essas tabelas? Veja a situação:
Num
grupo de 40 pessoas, 16 preferem vôlei e 24 preferem futebol.
Vamos
construir uma tabela de dados quanto à preferência por esporte
desse grupo. Para isso, seguimos o roteiro:
- Damos um título à tabela que explique o tipo de informação que ela contém. Nesse caso poderia ser: Número de pessoas segundo a preferência esportiva.
- Escrevemos em cada coluna o tipo de informação que ela contém. Veja:
Número de
pessoas segundo a preferência esportiva
|
||
Esporte
|
Frequência
|
Porcentagem
|
Vôlei
|
Número de
pessoas que prefere o esporte.
|
Porcentagem do
número de pessoas que escolheram cada esporte em relação ao
número total de pessoas.
|
Futebol
|
Número de
pessoas que prefere o esporte.
|
Porcentagem do
número de pessoas que escolheram cada esporte em relação ao
número total de pessoas.
|
Exemplo:
Número de
pessoas segundo a preferência esportiva
|
||
Esporte
|
Frequência
|
Porcentagem
|
Vôlei
|
16
|
40%
|
Futebol
|
24
|
60%
|
Total
|
40
|
100%
|
Observações:
Na construção de
tabelas, a visualização é muito importante.
Os dados devem ser
espaçados de maneira conveniente, para que possam ser analisados
mais facilmente.
quarta-feira, 11 de julho de 2012
EF07MA02: Porcentagens (%)
Porcentagem
Observe que porcentagem, é uma representação da fração de uma quantidade.
O salário Mínimo Brasileiro atualmente é de R$ 622,73 (seiscentos e vinte e dois reais e setenta e três centavos). Segundo o DIEESE, deveria ser igual à R$ 2.293,31 (Dois mil, duzentos e noventa e três reais e trinta e um centavos), e a Contribuição dos Segurados Empregados para o INSS (Instituto Nacional da Previdência Social) é de 8%, que é descontado mensalmente de seu salário.
Google imagem |
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Resolução:
No fim de cada mês, deverá ser descontado o valor correspondente ao cálculo à seguir, isto é:8% de R$ 622,73 = 8 : 100 . 622,73 = 0,08 . 622,73 = 49,82 (A palavra "de", deve ser entendida como produto).
Isto é, o trabalhador receberá depois de descontado o valor a ser recolhido à Previdência Social, o valor referente à 622,73 - 49,82 = 572,91
Logo o trabalhador "receberá": R$ 572,91 (Quinhentos e setenta e dois reais e noventa e um centavos).
A porcentagem nada mais é do que uma notação (%), usada para representar uma parte de cem partes, ou uma porcentagem é uma fração de nominador 100.
Assim, "cinco por cento" escreve-se 5% e significa "cinco centésimos", isto é, 5% = 5/100.
É conveniente ter em mente os significados de algumas delas, face seu uso diário:
100% = tudo
50% = a metade
25% = a quarta parte
20% = um quinto
10% = um décimo
5% = um vigésimo
1% = um centésimo
Calculando porcentagens
Multa
As contas de energia elétrica em uma cidade têm 2% de multa se pagas com atraso. Numa conta de R$ 70,00, qual seria o valor da multa?
2% de R$ 70,00 = 2 : 100 = 0,02 x 70,00 = 1,40. Logo a multa será de R$ 1,40.
Crescimento demográfico
Segundo dados do Censo de 2010 realizado pelo IBGE (Instituo Brasileiro de Geografia e Estatística), o Estado do Rio Grande do Sul, teve um crescimento médio de 2000 a 2010 de 0,49 % ao ano. Sabendo-se que a população gaúcha em 2000 era de 10.181.749, quantos habitantes tem hoje o Estado?
Resolução:
Em 10 anos o crescimento porcentual foi de 4,9 %. Então: 10.181.749 + 4,9% = 10.680.654,701. Pois:
4,9%= 4,9 : 100 = 0,049.
0,049 de 10.181.749 = 498.905,701.
Portanto: 10.181.749 + 498.905,701 = 10.680.654,701.
Aproximadamente a população do RGS é 10.680.654,701 habitantes.
Porcentagem e regra de três
Em um vestibular, foram aprovados 2610 dos 29000 candidatos inscritos. Quantos por cento dos candidatos inscritos foram reprovados?
Observe: Total de candidatos, 29000 - 2610, aprovados.
Total a ser calculado: 26390
Porcentagem Candidatos
100 29000
x 26390
29000x = 100.26390
29000x = 2639000
x = 2639000 / 29000
x = 0,91, em porcentagem 0,91 x 100 = 91%
Portanto 91% dos candidatos inscritos foram reprovados.
Observe: Total de candidatos, 29000 - 2610, aprovados.
Total a ser calculado: 26390
Porcentagem Candidatos
100 29000
x 26390
29000x = 100.26390
29000x = 2639000
x = 2639000 / 29000
x = 0,91, em porcentagem 0,91 x 100 = 91%
Portanto 91% dos candidatos inscritos foram reprovados.
Acréscimos e decréscimos
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