EF09MA22: Gráfico de colunas

     Numa escola há 120 alunos. O gráfico indica o número de alunos inscritos em cada modalidade esportiva praticada na escola. Cada aluno só pratica um esporte.

Os gráficos de barras são utilizados, em geral, para comparar coisas de mesma natureza.

Construção do gráfico utilizando uma planilha eletrônica

1º Construímos uma tabela com os dados constantes do problema.

2º Selecionamos a tabela e inserimos o gráfico desejado, constante do programa digital.

3º Inserir rótulo de dados (números que aparecem acima de cada coluna).

4º Inserir título principal.

5º Inserir título nos eixos (clique em cima do eixo).

Modalidade esportiva	Meninos	Meninas
Futebol	25	12
Vôlei	10	8
Basquete	15	12
Atletismo	10	6
Tênis	5	9

Fonte: Problema sugerido pelo professor de matemática.

Atividades dos alunos

Construções referentes ao projeto

Estatística escolar

EF09MA22: Gráfico de setores

     Gráfico de setores, gráfico circular, ou como comumente é chamado gráfico de pizza é um diagrama circular onde os valores de cada categoria estatística representadas são proporcionais às respectivas medidas dos ângulos.

     Para representar os em gráficos deste tipo, é necessário que os valores estejam em porcentagem, para isso devemos definir a chamada frequência relativa dos dados observados.

Exemplo:

Em certa cidade, 5000 eleitores votaram na eleição para prefeito, acordo com a tabela abaixo:

O gráfico

Construção de um gráfico de setores

A região pintada na figura acima é um setor circular. No gráfico construído dividimos o círculo em 5 setores circulares. Cada setor tem um ângulo central proporcional à participação do setor no todo.
Observe que:
100% (circulo todo), corresponde a um ângulo central de 360º.
1% corresponde à 360 : 100 = 3,6º
Então:
Se 1% corresponde à 3,6º,
5% ----->  5 . 3,6 =  18º
10% --->  10 . 3,6 = 36º
15% --->  15 . 3,6 = 54º
25% --->  25 . 3,6 = 90º
45% --->  45 . 3,6 = 162º
100% -------------->  360º
     Manualmente, podemos construir este tipo de gráfico com o auxílio de um compasso e de um transferidor.

Gráficos

Construindo e interpretando gráficos
1. Porcentagens e gráficos
    A professora atribui estes conceitos a seus alunos:
    A: ótimo
    B: bom
    C: regular
    D: insatisfatório
Observe a tabela com o número de alunos que obtiveram cada conceito na 7ª série.

Conceito	Frequência
A	8
B	18
C	10
D	4

Total: 40 alunos

Frequência: número de alunos que obteve cada conceito.

     Para analisar o desempenho da turma, a professora calculou a porcentagem de alunos da classe com cada conceito.

Conceito A: 8 em 40 alunos. 8/40 = 0,2 x 100 = 20%

Conceito B: 18 em 40 alunos. 18/40 = 0,45 x 100 = 45%

Conceito C: 10 em 40 alunos. 10/40 = 0,25 x 100 = 25%

Conceito D: 4 em 40 alunos. 4/40 = 0,10 x100 = 10%

(Observem que para transformarmos a chamada frequência absoluta em frequência relativa, basta dividirmos cada item referente aos conceitos pelo total de alunos e após multiplicarmos o número decimal resultante por cem).

     Organizando as porcentagens obtidas em um quadro.

Conceito	Frequência relativa
A	20%
B	45%
C	25%
D	10%

Total: 100%

Construída a tabela de porcentagens, a professora fez um gráfico de barras para visualizar os resultados.

Cálculo porcentagem on-line

Calcular clique aqui:

Proporção

Proporção é comparação.
Em matemática é uma igualdade entre razões.

Proporcionalidade

     A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

Para entender a proporcionalidade, observe o aumento dos retângulos.

Escrevendo em linguagem matemática:

K= constante de proporcionalidade.

Se compararmos às duas figuras, observamos que enquanto um lado do triângulo mede duas unidades de medida, o lado correspondente mede quatro unidades de medida, isto é, na ampliação não houveram distorções, diz-se que a figura maior foi ampliada proporcionalmente.







Pela semelhança de triângulos, podemos verificar a proporcionalidade destas figuras:

Observe que existe uma igualdade entre as razões (simplificando as duas razões temos: 1/2, que chamado fator de proporcionalidade).



Propriedades das proporções
Propriedade fundamental das proporções
"Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos."

Propriedade da soma das proporções
"A soma dos dois primeiros termos, esta para o primeiro termo ou para o segundo, assim como a soma dos dois últimos termos, esta para o terceiro ou quarto termo."
(esta propriedade também vale para a diferença de duas proporções.)
Exemplo:

ou

Números opostos ou simétricos

Chamamos de números opostos ou simétricos os números que são representados por pontos que estão à mesma distância da origem.
Na imagem acima, o oposto de 2 é -2, ou 2 é simétrico à -2.

Mova o ponto vermelho.

Conjunto dos números complexos

     Dentre  os conjuntos numéricos já conhecidos tínhamos inicialmente o conjunto dos números naturais:
|N = {0, 1, 2, 3,...n,...}
     Para que a subtração fosse sempre possível, ele foi estendido e obtivemos o conjunto dos números inteiros:
Z = {..., -n,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., n, ...}
     Para que também a divisão fosse possível, estendemos este último e obtivemos o conjunto dos números racionais, que podem se escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros:
Q = { x= a/b, com a Є Z, b Є Z e b ≠ 0}

Em Q, a equação x² = 2 não pode ser resolvida, ou seja, a solução x=√2 não pode ser representada por uma fração a/b, com b diferente de zero e a e b pertencentes a Z. √2 é um exemplo dos números chamados de irracionais (II).

     Da união dos racionais com os irracionais surgem os números reais (|R): |R = Q U I.

     Portanto, podemos identificar |N como uma parte de Z, Z como parte de Q e Q como parte de |R: 

                                                 |N  ⊂ Z ⊂ Q ⊂ |R

     Sabemos que, se x pertence ao conjunto dos reiais (|), então x²> 0. Assim, a equação x² + 1=0 não tem solução no conjunto dos reais (|R), pois: x² + 1 = 0 => x² = -1 => x= ±√-1

e não existe um número real x que elevado ao quadrado resulte -1. Por isso, temos de estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto chamado de conjunto dos números complexos.

 Números complexos
     A unidade imaginária
     Criamos um nome e um símbolo para o número complexo (0,1). Ele será chamado de unidade imaginária e indicado por i identifica-se com o número complexo (0,1).
     Observamos que:
     i² = i . i = (0, 1) (0,1) = (0.0 - 1.1, 0.1+1.0) = (-1,0) = -1
Portanto:   i² = -1, que é a característica fundamental da unidade imaginária.

Número complexo
     É todo número representado na forma de um binômio z = a + bi em que a e b são reais e i = √(-1).
Exemplo:

√-4 = √4.(-1) = √4 . √-1 = 2i

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Adição
     (a + bi) +  + di) = (a + c) + (b + d)i
     Exemplo: (2 + 3i) +(-3 + 4i) = (2 - 3) +  (3+ 4)i = -1 + 7i

Subtração
     ( a + bi) - (c + di) = (a - c) + b - d)i
     Exemplo: (1 + i) - (3 + 2i) = (1 - 3) +  - 2)i = -2 - 1i = -2-i
Multiplicação
     (a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
     (1 + 2i)(2 - 3i) = 1.2+1(-3i) +i)2 + i)(3i) = 2 - 3i + 4i - 6i² = 2 + i - 6(-1) = 2 + i + 6 = 8 + i

Potências de i
     i⁰ = 1
     i¹ = i
     i² = -1
     i³ = -i ; ... i^n = i^r, onde r é o resto da divisão de n por 4.

Conjugado
     Z = a + bi Û `z = a – bi

Divisão

     
     


Exemplo:
Efetue  z1   sabendo que z1= 1 + 2i e z2= 2 + 5i
           z2
     Resolução

     

Conjunto dos números inteiros

     Os números inteiros estão presentes em nossa vida na medição de temperaturas, ao situar fusos horários de países, identificar saldo bancários, entre outros.
     O conjunto dos números reais relativos reúne os reais positivos, o zero e os negativos, e podem ser representados em uma reta numérica, pois possuem uma ordem e módulo.
Ordem: 5 é sucessor de 4 e 4 é o antecessor de 5
             -5 é sucessor de -4 e -4 é o antecessor de -5
Todo número inteiro exceto o zero possui um elemento denominado de simétrico, cuja característica é encontrar-se a mesma distância da origem que o número considerado.

Módulo: o módulo ou valor absoluto é definido como sendo o maior valor entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado por duas barras verticais:
| x| = max {-x,x}
Exemplo:
| 0 | = 0
| 5 | = 5
| -8 | = 8

Definição
     Dado um número real "a", definimos o oposto de "a" com o símbolo (-a), tal que a + (-a) = 0.

Adição de números inteiros
     Para esta operação, associaremos aos números a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder.

perder 5 + perder 8 = perder 13

(-5) + (-8) = - 13

ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3

(+8 ) + (-5) = 3

Multiplicação de números inteiros

(-5) . (-8) = 40

(5) . (8) = 40

(-5) . (8) = -40 

(5) . (-8) = -40

Sinais dos números	Resultado do produto
iguais	positivo
diferentes	negativo

Conjunto dos números naturais

     N = {1, 2, 3, 4,...} é um conjunto, cujos elementos são chamados números  naturais.
     Operações
     Adição
     A operação de  adição, é definida a partir da ideia de sucessor:
2 é o sucessor de 1, 2 = 1+1;
3 é o sucessor de 2, 3 = 2+1;
Assim, se a ∈ Ν, a+1 é o sucessor de a.

     Multiplicação
     m x n = n+n+n+...+n, operando m vezes.

     Subtração
     m - n = p se e somente se m = p + n

     Divisão
     m : n = p se e só se m = p . n

Números diretamente e inversamente proporcionais

Proporção
     É a igualdade entre duas razões. Quatro números não nulos a, b, c e d formam nessa ordem, uma proporção quando:

Propriedade fundamental das proporções
     Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Ou seja, dados os números a, b, c e d não nulos,  com                                                              

temos, a . d = b . c

                                       
Números diretamente proporcionais
   Dada a sequência de números: 2, 6, 10 e 1, 3, 5

Observe que o quociente de cada termos da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda é sempre o mesmo, isto é, 2, que é o chamado fator de proporcionalidade.

Então, os números 2, 6, 10 são diretamente proporcionais aos números 1, 3, 5.

Números inversamente proporcionais
     Um número é inversamente proporcional, quando esta para o inverso do outro.
Inverso de um número

Exemplo:
Dada a sequência 2, 3, 4 e 12, 8, 6

Observe que  o quociente de cada termo da primeira sucessão pelo inverso do termo correspondente da segunda sucessão são todos iguais.
Então, os números 2, 3, 4 são inversamente proporcionais aos números 12, 8, 6.

Divisão porporcional
     Três amigos montaram uma locadora de DVDs. Luis entrou com R$ 12 000,00, Valter com R$ 16 000,00 e José com R$ 8 000,00. Ao fim de seis meses obtiveram um lucro de R$ 7200,00, que foi dividido entre os três em partes diretamente proporcionais ao capital que cada um empregou. Quanto coube a cada um?
Resolução:
Chamando de a, b e c as partes em que o lucro de R$ 7200,00 será dividido, temos respectivamente:
a : 12000 = b : 16000 = c : 8000 = K (fator de proporcionalidade).
Somando-se: a + b + c = 7200
                     12000k + 16000k + 8000k = 36000k
Temos, 36000k = 7200
                       k = 7200 : 36000
                       k = 0,2, é o fator de proporcionalidade, que deverá ser multiplicado a cada amigo, para que desta forma recebam o  equivalente proporcional aos seus investimentos individuais, assim:
12000 . 0,2 = 2400,00 (Luis)
16000. 0,2 = 3200,00 (Valter)
8000 . 0,2 = 1600,00 (José).

Uma outra situação...
     Para abrir uma pequena empresa de material escolar, e comprar o material necessário, Mario entrou com um capital de R$ 2.400,00 e Carlos com R$ 1.600,00. Portanto, a empresa começou com um capital de R$ 4.000,00.
Mario e Carlos combinaram que os lucros com a venda dos materiais seriam divididos proporcionalmente ao capital investido. Neste mês, o lucro foi de R$ 800,00. Quanto receberá cada um dos sócios?
Primeiramente vamos calcular o fator de proporcionalidade, que indicará, quanto cada um vai receber proporcionalmente.
Obtemos o fator de proporcionalidade através da razão: lucro / capital.
K= 800 / 4000 = 0,2
Logo:
2400 . 0,2 = 480 (Mario)
1600 . 0,2 = 320 (Carlos)
Então Mário receberá R$ 480,00 e Carlos R$ 320,00.

Classificação dos triângulos (ângulos)

Triângulo acutângulo

É todo triângulo que apresenta os três ângulos internos menores que 90º, são ângulos agudos.

Triângulo obtusângulo

É todo triângulo que apresenta um ângulo interno maior que 90º, possui um ângulo obtuso.

Triângulo retângulo

É todo triângulo que apresenta um ângulo interno reto, possui um ângulo igual a 90º.

Atividade
Mova os pontos e transforme o triângulo de acordo com a classificação quanto aos ângulos do triângulo.

Ângulos no triângulo

Relação entre as medidas de um ângulo interno e o externo adjacente a ele.
     Em qualquer triângulo, o ângulo interno e o externo num mesmo vértice são adjacentes suplementares.

 







Relação entre as medidas de um ângulo externo e dos dois ângulos internos não-adjacentes.
     Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes a ele.

Mova os pontos e observe a relação entre o ângulo externo e os ângulos não-adjacentes.

 Relação de desigualdade entre lados e ângulos de um triângulo.
     Em qualquer triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e vice-versa.

EF08MA19: Área do círculo

     A área do círculo é igual ao produto de "PI" pelo quadrado da medida do raio.

                                                                          Ac = π.r²

Aplicações
Determine a área da região sombreada:

Área sombreada: 1/4 da área do círculo.

EF08MA19: Área do losango

A área do losango é a metade do produto das medidas de suas diagonais ou a área de um losango é igual ao produto das medidas de suas diagonais dividido por dois.

Para interagir com a animação, arraste os triângulos.

Máximos e mínimos

     Os técnicos de uma fábrica de automóveis fizeram diversos testes com um de seus carros populares para examinar o consumo de gasolina. O carro percorria 100 km em uma estrada plana, com velocidade  constante. O percurso foi feito muitas vezes e, a cada vez, usou-se uma velocidade diferente. No final de cada viagem, os técnicos verificaram a quantidade de combustível gasta e observaram que o consumo não se mantinha o mesmo, pois era função da velocidade.
A conclusão foi a seguinte: para velocidade entre 40 e 120 km/h, o consumo desse carro é dado por:
                                                  y = 0,005x² - 0,6 x + 26
onde x é a velocidade em quilômetros por hora e y é o número de litros de gasolina gastos para percorrer 100 km.
Em que velocidade devemos andar com esse carro, para gastar o mínimo de combustível?
Solução:
A função é do tipo y= ax² + bx + c. Como o coeficiente a é positivo, sabemos que existe um valor mínimo dessa função. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima:
Observando a animação a seguir, vemos que o ponto mais baixo é o vértice (V) da parábola e o número x, é a velocidade que faz com que o consumo seja o menor possível. Primeiro calculamos a abscissa do vértice da parábola, cuja solução é 60 km/h para gastar a menor quantidade possível de gasolina. Mas se desejarmos saber qual o gasto mínimo de combustível para percorrer os 100 km, basta substituir o x da função por 60, cuja solução será 8.
Portanto, andando a 60 km/h, gastaremos apenas 8 litros de gasolina para percorrer os 100 km.

Animação para à situação.

Inequações do 2º grau

Inequações do 2º grau são:
ax² + bx + c > 0; ax²+bx + c < 0; ax² + bx + c ≥ 0; ax² + bx + c ≤ 0
Em que a, b e c são números reais conhecidos, a ≠ 0, e x é a incógnita.
Análise de sinais
Para analisarmos os sinais das funções que aparecem no primeiro membro, o segundo membro  deve ser 0.
Exemplo: x² - 4x + 3 > 0
Devemos descobrir os valores de x para os quais f(x) = x² -4x +3 é positiva.
Temos: a= 1, b= -4, c= 3 (por Bhaskara)
zeros: x= 3 ou x = 1
Concavidade: a= 1 => a>0 => para cima
Esboço do gráfico:

     A função f é positiva para x<1 ou x> 3.

     Logo, as soluções da inequação são os números menores que 1 ou maiores que 3:

                                             V = {x ∈ ℝ | x < 1 ou x > 3}

Aplicações:

Para promover a viagem de formatura das 8ª séries, a Teen-Tur vai receber de cada um dos x alunos que participarem a quantia de (180 – 0,6x) reais. Mas há uma condição: ela só aceita se arrecadar pelo menos R$ 12.960,00. Quantos alunos precisam participar?

R: 180x – 0,6x² ≥ 12960 → -0,6x² + 180x – 12960 ≥ 0 → f(x) = -0,6x² + 180x – 12960

-0,6x² + 180x – 12960 = 0 → Por Bhaskara, as raízes são 120 e 180, logo o número de

alunos que devem participar esta entre 120 e 180 alunos.
Digite, a inequação acima, na caixa abaixo e comprove:

Os sinais da função quadrática

Mova o ponto x:


  Análise dos sinais de algumas funções quadráticas
Exemplo: f(x) = -x² - 3x
     zeros
     -x² -3x = 0 => -x(x+3) = 0 => (-x =0 ou x+3 = 0) => (x=0 ou x=-3)
     A parábola corta o eixo x nos pontos de abscissas -3 e 0.
     Concavidade: a= -1 => a<0 => concavidade para baixo.

Análise

Em palavras                                                                Em símbolos

Os zeros de f são -3 e 0                                               (x=-3 ou x= 0) => f(x)= 0

Entre -3 e 0, f é positiva.                                             -3 < x < 0 => f(x) > 0

Fora do intervalo de -3 a 0 , f é negativa.                    (x<-3 ou x> 0) => f(x) < 0

Δ>0 Neste caso, a parábola da função corta o eixo das abcissas em dois pontos.

Exemplo: f(x) = 2x² - 8x + 8
Zeros: Por Bhaskara, x=2. A parábola tem um único ponto comum com o eixo dos x; nesse caso ela tangencia o eixo x no ponto de abcissa 2.
Concavidade: a = 2 => a > 0 => concavidade para cima.

Análise                                                                Em símbolos
Em palavras                                                         x=2 => f(x) = 0
f tem um zero em x = 2.                                       x diferente de dois => f(x) >0
f é positiva para todo x diferente de 2.

Δ=0 Neste caso, a parábola da função corta o eixo das abcissas em apenas um ponto.

Exemplo: f(x) = x² + 7x + 13
Zeros: por Bhaskara, Não existe raiz. Como o discriminante é menor que zero; a parábola não corta nem tangencia o eixo x.
Concavidade: a=1 => a > 0 => concavidade para cima.

f é positiva para todo x real. f(x) > 0, para todo  ou qualquer que seja o número real.

Δ<0  Neste caso, a parábola não corta o eixo das abcissas.