Classificação de sistemas lineares

Sistema possível e determinado (SPD)
     Observe  a solução do sistema:

Resolvendo o sistema pelo método da substituição, obtemos: x= 10 e y= 15, logo o sistema é possível e determinado, pois a única solução é o par ordenado (10, 15).

Sistema possível e indeterminado (SPI)

Este tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y podem assumir vários valores. No exemplo acima, x e y podem inúmeros valores, como (0,8), (1,7), (2, 6), (3,5), etc.

Sistema impossível (SI)
Ao resolvermos o sistema à seguir não encontramos solução para o sistema.

Equação da circunferência

     Considerando determinada situação em que a distância entre os pontos P(x,y) e A(5,3) é igual a 2, qual será a relação que se pode estabelecer entre x e y?

Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem, ou seja, a = b = = 0, então a equação da circunferência é  x² + y² = r².

Perpendicularismo

     A figura mostra a reta r, de inclinação α, e a reta s , de inclinação α1, tais que r e s são perpendiculares.
     (As inclinações determinam à perpendicularidade das retas, esta que forma uma ângulo reto.)
     Dadas as retas r e s, de coeficientes m e m1, temos:
                                    r ┴s <=> m1 =    1   ou r ┴ s <=> m.m1 = -1
                                                             m

Exemplo:
     Dadas as retas de equações 2x + 3y - 5 = 0 e 3x - 2y + 9 = 0, mostre que eles são perpendiculares.
Calculamos o coeficiente angular m da reta de equação 2x + 3y - 5 = 0:
2x + 3y - 5 = 0 => -2x + 5 =>  y = -2/3x + 5/3
m = - 2/3

Calculamos o coeficiente angular m1 da reta de equação 3x - 2y + 9 = 0.
3x + 2y + 9 = 0 => -2y - 9 => 2y = 3x + 9 => y = 3/2x + 9/2
m1 = 3/2

Usando a condição de perpendicularismo:
m . m1 = (-2/3).(3/2) = -1
Logo as retas são perpendiculares.

Intersecção de duas retas

      A figura mostra duas retas, do mesmo plano, que se intersectam no ponto P(a,b).

Exemplo
     Determine as coordenadas do ponto P de intersecção das retas, de equações 3x + 2y - 7 = 0 e x - 2y - 9 = 0, respectivamente.
Resolvemos pelo sistema formado pelas duas equações:
     3x + 2y - 7 = 0
       x - 2y  - 9 =0 (resolvemos o sistema pelo método da adição)
     4x        -16 = 0  => 4x = 16 => x = 4
Substituindo na segunda equação, temos:
4 - 2y - 9 = 0 => -2y = 5 => y = - 5/2
Logo as coordenadas do ponto de intersecção são 4 e - 5/2. Ou seja, P(4, -5/2).

Paralelismo

Paralelismo de duas retas
     Se considerarmos, por exemplo, uma reta r de equação 2x - 3y + 5 = 0 e uma reta s de equação 4x -6y - 1 = 0, qual será a posição da reta r em relação à reta s?
1. Calculando o coeficiente angular de cada uma das retas.
    Coeficiente angular m, da reta r.
    2x - 3y + 5 = 0 => -3y = -2x - 5 => 3y = 2x + 5 => y= 2/3x + 5/3
Então, m = 2/3
2. Coeficiente angular m1, da reta s:
    4x - 6y - 1 = 0 => -6y = -4x + 1 => 6y= 4x - 1 => y = 4/6x - 1/6
Então, m1 = 4/6=2/3
Comparando, podemos verificar que m = m1
Sendo α (alfa), a inclinação da reta r e α1, a inclinação da reta s, temos:
m=m1 => tgα = tgα1 => α = α1 (α e αa1 estão entre oº e 180°)
Se as inclinações são iguais, as retas são paralelas (r // s).
Observe:



     Duas retas distintas e não verticais r e s são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais (m = m1).

Operações com polinômios

O que são polinômios
     Quantos termos têm estas expressões algébricas?
                                   3x ---------> Esta expressão é um monômio. Tem um termo.
                                  3x + 7; 0,5a + 2b - 3c - 3/5 ---------> Essas expressões são somas algébricas de monômio. Uma tem dois termos, a outra tem quatro termos.
     Todas essas expressões são denominadas polinômios.

Adição
     Quando um polinômio apresenta termos semelhantes, eles podem ser adicionados, ficando reduzidos a um só termo.
Exemplos:
     Dados os polinômios P= 7y² + 15 y - 12, Q= 5y² - 1 e R= -y² + 6y, vamos somá-los:
      7y² + 15 y -12
      5y²            - 1
      -y²  +  6y          
      11y² + 21y - 13

Polinômios opostos
Considere o polinômio A = 7x² - 4x + 8.
Qual é o polinômio cuja soma com A resulta no polinômio nulo?
O polinômio procurado é o polinômio oposto de A, indicado por - A.
A = 7x² - 4x + 8
- A = -7x² +4x - 8
A + A) = 0x² + 0x + 0
Para escrever o polinômio oposto de um polinômio dado, basta trocar os sinais de todos os termos. Assim, o oposto de B= 7x⁴ - 4x + 5 é: -B = -7x⁴ + 4x - 5.

Subtração de polinômios
     Para subtrair um polinômio B de um polinômio A, adicionamos o polinômio A ao polinômio oposto de B ou seja, A -B = A + (-B).
Exemplo:
Considere os polinômios A = 2x² + 4x - 1 e B = 5x² - 6x + 8.
Observe a subtração A - B
A - B = A + B)
         = (2x² + 4x - 1) + (-5x² + 6x - 8)
         = 2x² + 4x -1 - 5x² + 6x - 8
         = 2x² - 5x² + 4x + 6x -1 - 8
         = -3x² + 10x - 9 (Não é possível continuar, pois somente podemos somar ou subtrair termos semelhantes).

Adição algébrica de polinômios
Uma expressão que tem apenas adições e subtrações de polinômios é chamada adição algébrica de polinômios.
Exemplo:
Sendo A = 3y⁴ + 2y², B = -y⁴ + 2y³ e C= 2y³ + 4y², vamos calcular:
A+B-C
A+B-C =  (3y⁴ + 2y²) + ( -y⁴ + 2y³) - ( 2y³ + 4y²)
             =  3y⁴ + 2y² -y⁴ + 2y³ - 2y³ - 4y²
             = 2y⁴ - 8y²

Multiplicação de polinômios
     Observe como fazemos: multiplicamos cada termos de um polinômio por todos os termos do outro polinômio.
Exemplo:
Dados, A=(2x - 3)
            B= (3x² + 4x - 5)
Calcule: A X B
     (2x - 3)(3x² + 4x - 5) = 6x³ + 8x² - 10x - 9x² - 12x + 15
Reduzindo os termos semelhantes, temos: 6x³ - x² - 22x + 15.

Divisão de polinômios
Divisão de polinômio por monômio
     Para dividir um polinômio por um monômio não-nulo, dividimos cada termo do polinômio pelo monômio e adicionamos os novos termos.

Divisão de polinômio por polinômio
Exemplos:
Seja (10x² - 23x + 12) : (5x-4):

      dividendo              divisor
   10x² - 23x + 12       |5x - 4  
 - 10x² + 8x                2x - 3
            -15x + 12       quociente
            -15x -  12
                    0
              resto
a) Dividimos 10x² por 5x, obtendo 2x.
b) Multiplicamos 2x por 5x - 4 e adicionamos o produto 10x² - 8x, com sinal trocado, ao dividendo.
c) Dividimos -15x por 5x, obtendo -3.
d) Multiplicamos -3 por 5x -4 e adicionamos o produto -15x + 12, com sinal trocado, a - 15x + 12.
Então: Q(x) = 2x - 3 e R(x) = 0
Observação: O grau do resto é menor que o grau do divisor ou o resto é identicamente nulo.

Divisão de polinômios por x - a
Teorema do resto
   Considere a divisão de um polinômio P(x) por (x-a), onde obtemos quociente Q(x) e resto R(x):
                                            P(x)   | x - a 
                                            R(x)     Q(x)
Evidentemente temos: P(x) = (x-a ). Q(x) + R(x)
Observe, que fazendo x=a, temos:
P(a) = (a - a) . Q(a) + R(a) = 0 . Q(a) + R(a) => P(a) = R(a) => "O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio x -a é igual a P(a)."

Exemplo:
1. Dividindo P(x) = x² - 4x - 5 por x - 3,  o resto será:
    R(3) = P(3) = 3² - 4 . 3 - 5 = - 8

2. O resto da divisão de P(x) = x² + 3x - 1 por x + 1 será:
    R(-1) = P(-1) = (-1)² + 3 . (-1) - 1 = -3
Observe que quando o binômio divisor é x + a, devemos substituir no polinômio P(x) o x por -a, pois x + a = x - (-a).

Teorema de D'Alembert
     "Um polinômio P(x) é divisível por x -a se e somente se P(a) = 0."
     Este teorema é uma consequência do teorema do resto: R(a) = P(a), pois se P(x) é divisível por x-a, então R(a) = 0, o que é equivalente a P(a) = 0.
Exemplos:
1. O polinômio P(x) = x² - 4x - 5 é divisível por x - 5, pois: P(5) = 5² - 4 . 5 - 5 = 0
Contra-exemplo:
     O polinômio P(x) = x² - 4x - 5 não é divísivel por x - 3, pois:
P(3) = 3² - 4 . 3 - 5 = -8, ou seja, P(3) = -8 diferente de zero.

Equação polinomial

     Equação polinomial ou algébrica é qualquer equação que pode ser reduzida à forma P(x) = 0, em que

P(x) = a_xxⁿ + a_n-1 . x^n-1 + a_{n-2 .}x^n-2 + ...+ a₂x² + a₁x + a_{0 é o polinômio de grau n (n>1), com coeficientes em C| (complexo) e a variável x assume um valor qualquer.}

_Exemplos:

_{1. 5x - 10 =0}

_{2. 8x² - 9x + 5 = 0}

_{3. x⁴ - 9x³ + 2x² - x + 1 = 0}

_{Raízes de uma equação polinomial}

_Exemplos: 

_{1. Verifique se os números 1 e 2 são raízes da equação x² - 5x + 6 = 0}

     _{P(1) = 1² - 5.1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 -> 1 não é raiz, pois é diferente de zero.}

     _{P(2) = 2² - 5.2 + 6 = 4-10+6 = 0 -> 2 é raiz, pois P(2) é igual a zero.}

_{2. Determine o valor de a na equação x³ - 4x² + 5x + a = 0 para que -2 seja uma das raízes dessa equação.}

    _{P(-2) = (-2)³ -4(-2)² + 5(-2) + a = 0}

                _{-8 -16 -10 + a = 0 => a = 34}

_{Equação polinomial na forma fatorada
     Toda equação polinomial P(x) = 0 de grau n> 1 pode ser decomposta em um produto de n fatores do primeiro grau, ou seja, dada a equação P(x) =0., então:} a_n . (x – r₁ ) . (x – r₂) . (x – r₃) … (x - r_n)  é a forma fatorada dessa equação, onde r1, r2, r3, ..., rn, são as raízes de P(x) = 0.
Exemplos:
1. Fatore a equação 2x² - 3x + 1 = 0

    Resolvendo 2x² - 3x + 1 = 0, vem:

Logo, 2x² - 3x + 1 = 0 tem como forma fatorada a expressão:
                                                           2 . (x - 1) . (x - 1/2) = 0

Função polinomial

f(x) = a_n . Xⁿ + a_n-1 . x^n-1 + a_n-2 . x^n-2 + … +a² . X² + a₁ . X + a₀

_Onde:

os coeficientes a_n, a_n-1, a_n-2, …, a₀, são números complexos;
os expoentes n, n-1, n-2, …,0 são números naturais;
os termos ou monômios desse polinômio são: a_xxⁿ, a_n-1 . x_n-1, …, a₀.

Exemplos de polinômios
1. f(x) =3x² - 4x + 8; g(x) = x² + x -> funções quadráticas
2. P(x) = 7x -4; K(x) = 5x -> funções de 1º grau
3. J(x) = 8 -> função constante
Observação: Funções com expoentes fracionários e/ou função com expoente negativo, não representam polinômios.

Binômio de Newton

Fatorial

n!=n . (n-1).(n-2)... 3.2.1, onde n é um número natural, n>1.

Número binomial ou coeficientes binomiais

TABELA COM FATORIAIS

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800

Fórmula do binômio de Newton

Fórmula do termo geral

Exemplo da utilização do binômio de Newton

(2x + 1)⁴ = 1 . 16x⁴ . 1 + 4 .8x³ . 1 + 6 . 4x² . 1 + 2 . 4x . 1 + 1 . 1 . 1
               = 16x⁴ + 32x³ + 24x² + 8x + 1

Função cosseno

     É a função que associa a cada arco x que pertence a |R o número sen x pertence a |R.
f(x) = = cos x ou y = cos x

Função seno

     É a função que associa a cada arco x que pertence ao conjunto dos reais o número x pertencente ao conjunto de reais.
Gráfico da função seno
f(x) = sen x ou y = sen x
Mova o ponto P.


Domínio =

O Cosseno

Cosseno (cos) de um arco: É a abscissa de extremidade desse arco no ciclo trigonométrico.
Mova o ponto F.

Valores importantes de cos x

x=0º = 0rd	X = 90º = π/2 rad	X = 180º = πrd	X = 270º = 3π/2 rd	X= 360º = 2πrd
Cos 0º = 1	Cos 90º = 0 cos π/2 = 0	cos 180º = -1 cos π = -1	cos 270º = 0 cos 3π/2 = 0	cos 360º = 1 cos 2π = 1

O Seno

Seno (sen) de um arco: É a ordenada de extremidade desse arco no ciclo trigonométrico.
Mova o ponto F.

Valores importantes de sen x.

x=0º = 0rd	X = 90º = π/2 rad	X = 180º = πrd	X = 270º = 3π/2 rd	X= 360º = 2πrd
Sem 0º = 0	Sem 90º = 1 sem π/2 = 1	Sem 180º sem π = 0	Sem 270º = -1 sem 3π/2 = -1	Sem 360º = 0 sem 2π = 0

Função modular

     dada a função |R em |R definida pela expressão f(x) = √x², vamos construir seu gráfico com base na tabela:

x	y
-3	√(-3)² = √9 = 3
-2	√(-2)² = √4 = 2
-1	√(-1)² = √1 = 1
0	√0² = 0
1	√1² =√1 = 1
2	√2² = √4 = 2
3	√3² = √9 = 3

Dizemos que esta função tem como resultado o valor assumido por x, se x>0 ou o oposto  de x, se x<). Logo, podemos defini-la por duas sentenças: f(x) = x, se x>0 e f(x)=- x, sendo chamada por isso de função modular, ou seja:

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Uma função é sobrejetora quando seu conjunto imagem for o próprio contra-domínio. Im = CD

Im=B (não "sobram" elementos em B)

Uma função é injetora quando elementos distintos do domínio tem imagens distintas no contra-domínio.

Podem "sobrar" elementos em B.

Uma função é bijetora quando for sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.

Não sobram elementos em B e para cada elementos de B chega uma e somente uma  flecha.

Progressão geométrica - P.G.

     Uma dívida de R$ 2.000,00 é aumentada mensalmente de 10%. Qual será o valor da dívida depois de 5 meses?
Resolução:
1 mês: 2000 + 10% de 2000 = 2000 + 200 = 2200,00
2 meses: 2200 + 10% de 2200 = 2200 + 220 = 2420,00
3 meses: 2420 + 10% de 2420 = 2420 + 242 = 2662,00
4 meses: 2662 + 10% de 2662 = 2662 + 266,20 = 2928,20
5 meses: 2928,20 + 10% de 2928,20 = 2928,20 + 292,82 = 3221,02
O valor da dívida será de R$ 3221,01
Observe que, se dividirmos cada acréscimo (o maior pelo maior), encontraremos 1,1, como resultado da razão, que é chamada razão da sequência (indicada por q). Generalizando para uma sequência com n termos, temos:
a1 = 2000
r= 1,1
a6 = ? (depois de 5 meses estamos no 6º mês, por isso devemos calcular a6).
Para resolver este tipo de problema, utilizamos a fórmula do termo geral de uma P.G.
an = a1 . q^(n-1)
 Logo:
a6 = 2000 . (1,1)⁵ => 3221,02
A dívida será de 3.221,02.

Definição: P.G. é uma sequência numérica onde cada termos, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão).

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Ou PG, é toda sequência de números não nulos em que cada um deles, multiplicados por um número fixo(razão da progressão), resulta no próximo número da seqência(termos da progressão).
Exemplo:
1) A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de quatro termos, em que o 1º termo é a1=2 e a razão q=5, pois:
a1=2
a2=10 (10=2.5)
a3=50 (50=10.5)
a4=250 (250=50.5)

Fórmula do termo geral de uma PG

     Em uma PG, de razão q, partindo do 1º termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo pela razão q (a2=a1 . q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1º termo duas vezes pela razão q (a3=a1 . q²); para avançar três termos basta multiplicar três vezes o 1º termo pela razão q(a4=a1 . q³) e assim por diante. Logo, podemos escrever:
                                                      an = a1 . q^n-1

Equivalência de taxas

     Frente ao seguinte problema:
     Se a população de um país cresce 3% ao ano, quanto crescerá em 10 anos?
Taxa de crescimento relativo à 10 anos: I
Taxa de crescimento: i = 3% = 0,03
População inicial: Po
População após 1 ano: Po(1+0,03)
População após 2 anos: Po(1 + 0,03)³
...
População após 10 anos: Po(1+0,03)^10
Logo: 1 + I = (1+10)^10
          1 + I = (1 + 0,03)^10 --> 1 + I= (1,03)^10 --> 1 + I= 1,3439... ---> I = 1,3439 - 1 = 0,3439 em porcentagem 0,3439 . 100 = 34,39%
Portanto, a população crescerá aproximadamente 34,39% em 10 anos.

Soma dos termos de uma PG finita

Exemplo:
   Uma empresa produziu 20000 unidades de certo produto no primeiro trimestre de 1999. Quantas unidades foram produzidas no ano de 1999, sabendo-se que a produção aumentou 20% a cada trimestre?
a1 = 20.000
i= 20% = 0,20 (taxa de crescimento)
q= 1 + i = 1+0,20 = 1,20 (razão)
n = 4 trimestres (tempo)
Sn = (20.000(1,20)^4 - 1)/ (1,20 - 1)
Sn = (20.000(1,0736))/0,2
Sn = 107.360 unidades

Soma dos termos de uma PG infinita
S = a1 / 1-q

Exemplo:
   Uma bola de borracha cai de uma altura a. Após chocar-se com o solo, atinge uma altura igual a 2/3 da anterior e este valor se mantém nos choques subsequentes. Quanto a bola percorrerá até que pare?
Como a altura é igual a 2/3 e se mantém, a razão q=2/3.
Como não sabemos qual é a altura a, e como a bola volta a subir, então temos a.2/3, então a1=2a/3, logo:

a+2.2a=5a

Progressão aritmética - P.A.

     Uma criança anêmica pesava 8,3 Kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15ª semana de tratamento?
Primeiro termo: a1= 8,3 Kg = 8300g
Aumento constante ou razão: r = 150 g
Número de acréscimos. Número(n) de termos menos 1: (n - 1)= (16-1)
an = a1 + (n - 1) . r
an = 8300 + (16 - 1) . 150
    = 10.550 g ou 10,55 Kg
Ao término da 15ª semana pesará 10,55 Kg.
P.A. é uma sequencia numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante (chamada razão).

Sequências

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Uma progressão aritmética ou PA, é toda sequência, em que cada número somado a um número fixo(razão), resulta no próximo número da sequência (termos da progressão).

Exemplos:

40, 50, 60, 70 é uma PA de 4 termos, com razão 10.

158, 156, 154, 152, 150 é uma PA de 5 termos com razão -2.

Exercícios

1) Numa PA de 5 termos, o primeiro deles é 5 e o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA.

R: 5, 10, 15, 20, 25

2) Numa PA de 5 termos, o último deles é 200 e o penúltimo é 186. Escreva todos os termos dessa PA.

R: 144, 158, 172, 186, 200

3) Numa PA de 5 termos, o terceiro é 25 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.

R: 31, 28, 25, 22, 21

4) Numa PA, o primeiro termo é 55 e o segundo é 100. Qual a razão dessa PA.

R: 45

5) Numa PA, o sexto termo é -8 e o sétimo termo é 14. Qual a razão dessa PA.

R: 22

CLASSIFICAÇÃO DAS PA(s)

CRESCENTE: quando cada termo, a partir do segundo é maior que o termo antecedente.A razão é positiva. Exemplo: (2, 4, 6, 8,...)PA crescente, razão= 2.

DECRESCENTE: quando cada termo à partir do segundo, é menor que o termo antecedente. A razão é negativa. Exemplo: (25,20, 15, 10...) PA decrescente, razão= -5.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PA

an = a1+(n-1).r, onde:

an= posição do número n.

a1= posição do primeiro termo.

r= razão.

CÁLCULO DA SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA

Sn = (a1+an)n/2

Exemplo:

Calcular a soma dos dez primeiros termos da PA (4, 7, 10,...).

a1=4 ,r=3, n=10(10 primeiros termos), a10=?, S10=?

1. Calculamos a10: an = a1+(n-1).r

                            a10 = 4+(10-1).3

                            a10 =4 +(9).3

                                 = 4+27

                                 = 31

2. Empregamos a fórmula da soma: Sn = (a1+an)n/2

                                                      S10 = (4+31)10/2

                                                           = 35.10/2

                                                           =175

Forma segmentária da equação da reta

     Consideremos uma reta r que não passa na origem (0,0), mas intersecta o eixo x no ponto A(a,0) e intersecta o eixo y no ponto B(0,b).

Calculando o coeficiente angular, temos:

Usando a forma reduzida:

Vem:

 Dividindo os dois membros por ab:

Forma segmentaria

Forma reduzida da equação da reta

     Vimos que a equação da reta que passa por um ponto P(x1, y1) com declividade m é dada por:
(Y - Y1) = m(x - x1)
     Se escolhermos o ponto particular (0,n), isto é, o ponto em que a reta intersecta o eixo y, para o ponto ((x1, y1), pela equação anterior temos:
                                           y - n = m (x - 0) => y - n = mx => y = mx + n
O número real n, que á a ordenada do ponto em que a reta intersecta o eixo y, é chamado coeficiente linear da reta.
Então: m, é o chamado coeficiente angular, como já foi visto, e n é coeficiente linear.
Exemplo:
     Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta de equação 2x + 3y = 1.
2x + 3y = 1 => 3y = -2x + 1 => Isolando y => y = -2x/3 + 1/3
     Logo, o coeficiente angular é m = -2/3 e o coeficiente linear é n = 1/3.

Equação da reta

Quando são conhecidos um ponto P1(X1,Y1) e a declividade m da reta.
Exemplo:
     Determine a equação da reta r que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45º.
     Você pode mover os pontos A e P, para pensar em outras situações.


No triângulo APC (C é reto), temos:

 Tg 45º= cateto oposto = distância (C, P) → 1 = y-2 => y-2 = 1(x-4) => y-2 = x-4 =>

              cateto adjacente distância (A,C)            x-4

y-2-x+4 = 0 => -x + y + 2 = 0 => x – y – 2 = 0 ( a equação pedida).
Generalizando:

Exemplo:
    Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(-1,4) e tem coeficiente angular 2.
Usando a equação (Y - Y1) = m(x - x1), temos:
y - 4 = 2(x -(-1)) => y - 4 = 2(x + 1) => y - 4 = 2x + 2 => -2x +y - 6 = 0 => 2x - y + 6 = 0 (a equação procurada).

Encontre a equação geral da reta: on-line

Sistemas Equivalentes

Resolução de um sistema linear de três equações a três incógnitas, pelo método do escalonamento.
Método prático
Dado o sistema: { 2x + y - z = 3
                             x  + y + z = 6
                            3x - y + 2z = 4
1) Tornar o coeficiente de x, na 1ª equação, igual a 1.
Para isso, permutamos entre si a 1ª e a 2ª equações.
     x + y + z = 6
   2x + y - z = 3
   3x - y +2z = 4

2) Anular os coeficientes de x da 2ª e 3ª equações.
Para isso:
Multiplicamos a primeira equação por -2, e somamos à 2ª equação.
Multiplicamos a primeira equação por -3, e somamos à 3ª equação.
     x + y + z = 6 (-2) -> -2x -2y - 2z = -12 (primeira multiplicada por -2)
    (-2x - 2y -2z = -12) + ( 2x + y - z = 3)
    = 0x -y - 3z = - 9 (primeira somada à segunda)

     x + y + z = 6 (-3) -> - 3x - 3y - 3z = - 18 (primeira multiplicada por -3)
    (- 3x - 3y - 3z = - 18) + (3x - y  + 2z = 4)
    = 0x - 4y - z = - 14 (primeira somada à terceira)
Reforçando o entendimento:
     Multiplicamos a primeira por -2 (convenientemente) e somamos a segunda equação.
     Multiplicamos a primeira por -3 (convenientemente) e somamos a terceira equação.
Logo temos:
     x + y + z = 6
   0x + y - 3z = -9
   0x - 4y -z = - 14

3) Tornar o coeficiente de y, na 2ª equação, igual a 1.
     Multiplicamos a 2ª equação por -1.
     x + y + z = 6
    0x - y - 3z = -9 (-1)
    0x - 4y - z = - 14

    x + y + z = 6
   0x + y +3z = 9
  0x - 4y - z = -14

4) Anular o coeficiente de y  na 3ª equação.
Para isso, multiplicamos à segunda equação por 4, e somamos à terceira equação)
   x + y + z = 6                
   0x + y +3z = 9  (4)        (0x + 4y + 12z = 36) + (0x - 4y -z = -14) = 0x + 0y + 11z = 22
  0x - 4y - z = -14
Logo:

   x + y + z = 6
   0x + y +3z = 9 
  0x - 0y +11z = 22


5) A partir da última equação obtemos o valor de z e, substituindo esse valor na segunda equação, obtemos y e, finalmente, como os valores de z e y, tiramos o valor de x na primeira equação.
Da  3ª equação: 11z = 22 => x = 22/11 = 2
Da 2ª equação:  y +3z = 9 => y + 3.2 = 9 => y + 6 = 9 => y = 3
Da 1ª equação: x + y + z = 6 => x + 3 + 2 = 6 => x + 5 = 6 => x = 1

S= {(1, 3, 2)}

Teorema das Raízes Racionais

     Pesquisa de raízes
     O teorema das raízes racionais nos permite fazer uma lista de todos os possíveis zeros racionais de uma dada função polinomial com coeficientes inteiros.
     O teorema das raízes racionais diz que a forma p/q, é raiz de um polinômio, então o numerador (p), deve dividir o termo independente, e o denominador (q), deve dividir o termo de maior potência.
Exemplo:
     Achar os zeros do polinômio: P(x) = x³ -7x + 6 -> x³ -7x + 6 = 0
Resolução:
- p deve ser o divisor de 6. D(6)=1, 2, 3, 6.
- q deve ser o divisor de 1. D(1)= 1.
Verificando, para x=p/q, temos: x=(+ou-) 1/1; 2/1; 3/1; 6/1, logo os possíveis zeros racionais são: (+/-)1, 2, 3, 6.
Substituímos esses valores na equação.
1³ - 7.1 + 6 = 0
-1³ -7.-1 + 6= 12
2³ -7 .2 + 6=  0
-2³ - 7.-2 + 6 = 12
3³ - 7.3 + 6= 12
-3³ - 7.-3 + 6 = 0
6³ - 7.6 + 6= 180
-6³ -7.-6 + 6 = -168
Verificamos então que, -3, 1, 2, são raízes da equação.
                                               
Achar as raízes do polinômio: 2x³ - 14x² + 33x - 36 = 0
p é divisor de -36 => p pertence {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±9, ±12, ±18, ±36}
p é divisor de 2 => q pertence {±1, ±2}
p/q pertence {±1, ±2, ±3/2, ±9/2, ±3, ±4,± 6,± 9, ±12, ±18, ±36}
Fazendo a verificação dos elementos do conjunto anterior, encontramos:
P(4) =  2.4° - 14 . 4² + 33 . 4 - 36
P(4) = 128 - 224 + 132 -36
P(4) = 0
Logo 4 é uma raiz.
Encontre as outras duas.

Teorema do resto

Sistemas escalonados

     São aqueles em que o número de coeficientes iniciais nulos em cada equação, a partir da segunda, vai aumentando.
Exemplos:
Resolver os sistemas:

Os valores das incógnitas são obtidos na seguinte ordem: z, y e x.
De (iii): 2z = 2 => z= 1
De (ii): 2y -1 => y = 1
De (i): x + 2 + 1 = 8 => x = 5
Observe que o sistema apresenta uma única solução: (5, 1, 1) e, portanto, é possível e determinado.
S = {(5, 1, 1)}

O Círculo trigonométrico

     O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto (x,y) pertencente ao círculo esta a uma distância 1 da origem, então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: x² + y² = 1.




 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

Equações matriciais

     A resolução deste tipo de equação, obedece as mesmas regras de resoluções de equações e sistemas de equações se for o caso.
Exemplo:  
Encontre a matriz X, que satisfaça a igualdade X - A = B, para:

      |3 1|          |1 1|

A= |1 1| e B= |1 2|

      |0 2|          |0 0|

Primeiro, para resolvemos a igualdade dada, isolamos a variável x, como costumeiramente, para resolução de equações:
X - A = B -> X= B +A ,
que orientará a solução da equação matricial:

Exemplos:
1. Resolva a equação matricial (1 -1) (x) = ( 4 ), usando a regra de cramer:
                                               (2  5) (y) =    1
Essa equação matricial equivale ao sistema:
{   x -    y = 4
{ 2x + 5y = 1, na qual (1   -1)
                                    2    5  é a matriz dos coeficientes das incógnitas. Daí:

x =  Dx  =  21  = 3                               y =  Dy =  -7  = -1
       D         7                                              D        7
Logo, a solução é (3 ), ou seja, x = 3 e y= -1.
                           (-1)

As operações inversas

Adição
     A inversão consiste em - dada a soma a uma das parcelas, determinar a outra. Deveria haver duas operações inversas, conforme se pedisse o adicionando ou o adicionador, mas, em virtude da propriedade comutativa da adição, os papéis das duas parcelas podem trocar-se, e a duas inversas fundem-se numa só, que se chama subtração.

Multiplicação
     A inversão consiste em - dado o produto a um dos fatores, determinar o outro. Deveria também haver duas inversas, mas que se fundem numa só - divisão - em virtude da propriedade comutativa do produto.

Potenciação
     A inversão consiste em - dada a potência de um dos dados, base ou expoente, determinar o outro. Agora há de fato, duas inversas, porque não existe comutatividade na potenciação, por exemplo:
5² = 5.5 = 25
2⁴ = 2. 2.2.2 = 32
     Aquela inversa pela qual, dada a potência e o expoente, se determina a base chama-se radiciação; aquela pela qual, dada a potência e a base, se determina o expoente chama-se logaritmação.

(Conceitos fundamentais da matemática - Bento de Jesus Caraça).

A inclinação de uma curva

     O que é a inclinação de uma curva?
     A inclinação de uma curva no ponto P, é a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.

     A inclinação da reta secante que passa por P(Xo,f(Xo) e Q(Xo+h, f(Xo+h)

Função composta

Composição de funções
Uma composição de funções é uma função agindo sobre outra.
Por exemplo, para f(g(x)), significa que você insere toda função g(x) em f(x). Para resolvermos tal problema,  trabalhamos de dentro para fora:
Dados:
f(x)=2x+1
g(x)= 2x
Para se calcular g°f, devemos pegar a expressão de g(x) e trocar x por f(x), assim:
g°f(x)= 2(2x+1) Pela propriedade distributiva da multiplicação
        = 4x + 2


Dados:
f(x) = x²-6x + 1 e g(x) = 3x² - 10
Para:
x² -> (3x²-10)²
-6x -> -6(3x²-10)              
fºg(x) =(3x²-10)²-6(3x²-10)+1 :
            (3x²-10)² = 9x⁴-2.3x².10+100= 9x⁴ -60x²+100 : Produto notável (quadrado da diferença)
            -6(3x²-10) = -18x²+60 : Pela propriedade distributiva da multiplicação.
           -> 9x⁴-60x²+100 - 18x² + 60 +1 : Adição algébrica.
                = 9x⁴-78x²+161
(Observe que trocamos o x por 3x²-10, para fºg(x))