Posições relativas de dois planos no espaço

     Podemos representar dois planos α e β distintos e paralelos do seguinte modo:

Observação: Se dois planos têm todos os pontos comuns dizemos que eles são coincidentes (paralelos e iguais).

Movimente à construção com o lado direito do mouse:


     Dois planos distintos que têm uma reta em comum são chamados planos secantes (ou concorrentes) e essa reta comum é a intersecção dos dois planos. Ou seja:

Transformações trigonométricas

Fórmulas de adição
     Vamos comparar sen (60º + 30º) e sen 60º + sen 30º:
sen (60º + 30º) = sen 90º = 1
sen 60º + sen 30º = √3 + 1 = √3 + 1

                                 2     2         2

Logo, sen (60º + 30º) diferente sen 60º + sen 30º.

Expressão de sen (a + b)

sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

Expressão de sen (a - b)

sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos . a

Expressão de cos (a + b)

cos (a+b) = cos a . cos b - sen a . sen a . sen b

Expressão de cos (a - b)

cos (a - b) = cos a . cos b . + sen a . sen b

Aplicação das fórmulas na resolução de exercícios

Posições relativas de duas retas no espaço

Observe a figura na qual temos um paralelepípedo:

     São 12 as arestas do paralelepípedo: AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, BF, CG, AE e DH.
     São 6 as suas faces, determinadas por: ABCD, FGHE, CDHG, BFGC, ADHE e ABFE.

Retas coplanares
"Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas."
AB, BC, CD, DA, e AC são retas coplanares porque o plano p(ABCD) as contém. Também são retas coplanares as retas AE, EH e DH porque o plano p(AEHD) contém essas três retas.
Observação: Duas retas concorrentes são sempre coplanares.

Retas reversas
 dadas as retas AB e FG, não existe um plano que contém as duas; o mesmo ocorre com os pares de retas GH e AD, BC e EF e outros.
"Dadas duas retas, quando não existe um plano que contém as duas, elas são chamadas de retas reversas (ou não-coplanares).

Menor complementar

     Exemplo:

   Temos:
menor complementar de A pelo elemento a21:

= 50+3 = 53 ( foram suprimidas a 2ª linha e a 1ª coluna de A)

= 12 - 5 = 7 (foram suprimidas a 3ª linha e a 3ª coluna de A.

Matriz dos cofatores

    Cofator
     Sendo A uma matriz quadrada de ordem n>, denomina-se cofator do elemento aij de A o número real Aij = (-1)i^j . Dij é o menor complementar de A pelo elemento Aij.
Exemplo:
      Se A = ( 3  -5  2
                    0    1  4
                   -1    6 -2), temos:
Cofator de a21 = (-1)²⁺¹ . D21 = (-1)³ . | -5  2 |
                                                           |   6 -2| = (-1)(-2) = 2

Cofator de a13:
     A13 = (-1)¹⁺³ . D13 = (-1)⁴ . |  0  1  |
                                               | -1  6  | = (1)(1) = 1
Matriz dos cofatores
     Dada uma matriz quadrada A de ordem n, é possível saber se existe ou não a matriz A⁻ ¹, inversa de A, verificando se det A é diferente de zero. Existira o cofator de A, quando o determinante for diferente de zero.
                       det A é diferente de zero, se e somente se, existir a matriz inversa, tal que A.A⁻¹ = A⁻¹A=In (matriz identidade).
                                             det A ≠ 0 <=> ∃ A⁻¹ | AA⁻¹ = A⁻¹A= I_n
     Seja a matriz quadrada A = (aij) de ordem n.
     Denomina-se matriz dos cofatores de A (A') a matriz que se obtém substituindo cada elemento aij de A pelo seu respectivo cofator Aij.

                  | 1   3   5 |
Dado A =  | 2   0   6 |, calcule A':
                  |4   -1  3 |

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ . | 0 6|

                       |-1 3| = 6

A₁₂ = (-1)¹⁺² . | 2 6|

                       | 4 3| = 18

A₁₃ = (-1)¹⁺³ . | 2 0|

                       |4 -1| = -2

A₂₁ = (-1)²⁺¹ . | 3 5|

                       |-1 3| = -14

A₂₂ = (-1)²⁺² . | 1 5|

                        |4 3| = -17

A₂₃ = (-1)²⁺³ . | 1 3|

                       |4 -1| = 13

A₃₁ = (-1)³⁺¹ . | 3 5|

                        |0 6| = 18

A₃₂ = (-1)³⁺² . | 1 5|

                       |2  6| = 4

A₃₃ = (-1)³⁺³ . | 1 3|

                        |2 0| = -6

Logo A' = ( 6   18      -2

                  -14 -17   13

                 18      4    -6) é a matriz dos cofatores de A.

Matriz adjunta

     Considerando a matriz quadrada A de ordem n, denomina-se matriz adjunta de ( A ) a matriz transposta da matriz dos cofatores de A, isto é: A = (A')^{t 
Dado A = | 1   3   5 |
                | 2   0   6 |
                | 4  -1  3  |, calcule} A
A matriz dos cofatores é:
A' = | 6         18  -2 |
        | -14   -17   13|
        | 18        4    -6|
Vamos calcular  A   , matriz adjunta de A:
                  | 6   14  18 |
 A = (A')^t =|18  -17   4 |
                  | -2   13  -6 |