Regra da potência

1. Uma escada, esta apoiada na janela do segundo andar de um edifício de 10 metros. Acidentalmente esta escada deslizou alguns centímetros pela parede, conforme figura abaixo. Quanto esta escada deslizou pela parede?
   

   

   Visto que o pé da escada esta a 6m da parede e seu topo à 10 metros. Sendo que a escada deslizou 3 metros no chão. Logo calculamos a hipotenusa (h) da escada (seu comprimento), por Pitágoras:

   h² = x² + y²

   h² = 9² + 10²

   h = √ 181 = 13,45

   Calculemos agora o valor de dy. A nova altura tiramos de y – dy, por Pitágoras:

   13,45² = (y – dy)² + 9²

   13,45² – 9² = (y – dy)²

   180,90 – 81 = (y - dy)²

   99,90 = (y – dy)²

   y – dy = √ 99,90

   y – dy = 9,99

   - dy = 9,99 – 10

   dy ≈ 0,01

   Logo, podemos escrever a razão entre dy e dx:

   
   

       dy / dx = - 0,01 / 3 = - 0,0033 m ou 0,33 cm

   Para derivar x^{n 
        - multiplica-se a base pelo expoente, e reduz-se o expoente por 1 unidade, obtendo ao fim do algoritmo} x^n-1
   

   Assim temos: (xⁿ)' = n . x^n-1 . x'

   Exemplos:

   1. Derivada com n=2 → (x²)' = 2 . x^2-1 . X' = 2 . x¹ = 2x
   2. Derivada com n=3 → (x³)' = 3 . x^3-1 . X' = 3 . x² = 3x²
   3. Derivada com n=4 → (x⁴)' = 4 . x^4-1 . X' = 4 . x³ = 4x³

   
   

   Caso 1

   Dada a expressão y = x². (lembremos que a ideia fundamental no cálculo é a de crescimento ou variação).

   Mas o que queremos descobrir é a proporção entre o crescimento de y e o de x, ou seja a razão entre dy e dx (dy/dx).

   Então x crescendo um pouquinho, se transforma em x + dx e y crescerá transformando-se em y+ dy.

   Logo da expressão y = x², o aumento de y tem que ser igual ao quadrado de x, que podemos escrever: y + dy = (x + dx)², donde obtemos →

   y + dy = x² + 2xdx+(dx)² → produto notável – quadrado da soma.

   Obs: Lembremos que (dx)², significa uma fraçãozinha de x. (é uma quantidade pequena na segunda ordem de magnitude). Logo, ao compararmos (dx)² com os outros termos da expressão, podemos desconsiderá-lo. Então: y + dy = x² + 2x.dx

   Como y = x², podemos subtraí-los da equação, ficando: dy = 2x .dx

   Como queremos saber a razão pela qual y cresce em relação ao crescimento de x, temos:

   dy / dx = 2x, ou seja, conforme x cresce, y cresce 2x. 

   
   

   Caso 2

   Derivar y = x³

   • Fazemos crescer x até que vire x + dx, e daí y cresce até que vira y + dy. Com isso, se obtém:
     y + dy = (x + dx)³

   Ao expandirmos o lado direito da igualdade, chegamos a: y + dy = x³ + 3x² . dx + 3x(dx)² + (dx)³

   → Produto notável: Cubo da soma de dois termos.

   A seguir podemos omitir as quantidades de segunda e de terceira ordem de magnitude (ou de pequenez), visto que, quando dy e dx são ambos feitos tão pequenos quanto queira, (dx)² e (dx)³ ficam muito, muito menores em comparação. Sendo assim, ao tachar de desprezíveis, chega-se a:

   y + dy = x³ + 3x² . dx

   Sendo y = x³, podemos retirar y do lado esquerdo da igualdade e x³ do lado direito, para obter:

   dy = 3x² . dx \ dy/dx = 3x²

   
   

   
   Caso 3
   Derivar y = x⁴
        Fazemos como antes: x cresce para virar x + dx e fazemos as contas para ver como y cresce até virar y + dy.
        y + dy = (x + dx)⁴ 
   Calculando (x + dx)⁴:
        Pelo Binômio de Newton
        
   

   

   Em que:

   

   
   

   Calculamos:

   

   Logo:

   

   
   

   Finalmente para usar o teorema da regra da potência, trocamos y por dx e teremos:

   (x + dx)⁴ = 1 . (x)⁴ . (dx)⁰ + 4 . (x)³ . (dx)¹ + 6 . (x)² . (dx)² + 4 . (x)¹ . (dx)³ + 1 . (x)⁰ . (dx)⁴

                  = x⁴ + 4x³ . dx + 6x²(dx)² + 4x(dx)³ + x)⁴

   
   

   
   

   Como y = x⁴, podemos omitir todos os termos que contenham ordens mais altas de dx, pois, em comparação com dos outros termos, são desprezíveis quando dx é bem pequeno, então, temos:

   dy = 4x³.dx 
   dy / dx = 4x³

Cálculo do vértice da parábola

Mova os pontos para calcular o vértice de uma parábola.

Você pode digitar uma equação na caixa de entrada, para ver os resultados.

Divisibiidade

Um número x é divisível por um número y, quando a divisão de x por y, der como quociente um número natural e o resto igual a zero, isto é, quando a divisão é exata o resto é igual a zero.
Por exemplo: 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são os divisores de 12.

Critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

     Um número natural é divisível por 2 quando esse número for par, ou seja, quando o último algarismo for 0, 2, 4, 6 ou 8.

Divisibilidade por 3 e 9

     Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número múltiplo de 3.

     Todo número natural que é divisível por 9 também é divisível por 3.

Por exemplo, o número 231 (2 + 3 + 1 = 6) é um número múltiplo de 3.

     Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número múltiplo de 9. Por exemplo, o número 846 (8 + 4 + 6 = 18) é um número múltiplo de 9.

Divisibilidade por 4

     Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número que é múltiplo de 4. Por exemplo o número 716 é divisível por 4, pois seus dois últimos algarismos formam 16, que é múltiplo de 4.

Divisibilidade por 5

     Um número natural é divisível por 5 quando o último algarismo é 0 ou 5.

Divisibilidade por 6

     Um número natural é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e por 3.

Divisibilidade por 10

     Um número natural é divisível por 10 quando o último algarismo é 0.

Um curso sobre proporcionalidade

Acesso para o curso.

EF08MA08: Sistemas de equações polinomiais do 1º grau

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

Dado o sistema:

x + y = 25

2x + y = 35

Escolhemos uma das linhas para começar (qualquer uma):

x + y = 25 → isolamos uma das incógnitas (qualquer uma);

x = 25 – y → observe que não é possível descobrir o valor de x, pois não sabemos o valor de y.

Então, destacamos a próxima equação para descobrirmos o valor de y, e fazemos:

2x + y = 35 → substituímos a incógnita isolada por 25 – y , então a equação ficará:

2.(25 – y) + y = 35 → efetuamos a multiplicação, e obtemos:

50 – 2y + y = 35 → reduzimos os termos semelhantes, e obtemos:

50 – y = 35 → calculamos a equação, e obteremos:

- y = - 50 + 35 →

- y = - 15 → multiplicamos por (- 1), pois não existe variável negativa, e obtemos:

y = 15 → logo o valor de y é 15.

Mas ainda falta descobrimos o valor do x

Para isso escolhemos qualquer uma das equações do sistema dado, como por exemplo:

x + y = 25 → como já sabemos o valor do y (15), substituímos este valor pelo y, logo temos:

x + 15 = 25 → resolvendo a equação do 1º grau, obtemos:

x = 25 – 15

x = 10

Portanto a solução do sistema é o par ordenado: S=(10, 15)

MÉTODO DA ADIÇÃO

Dado o sistema:

x + y = 25

2x + y = 35

Para resolver este sistema, por este método devemos primeiro preparar o sistema da seguinte maneira:

multiplicamos a 1ª linha por (- 2), pois na segunda linha temos (2x), para desta maneira, anularmos a variável (x) pela adição algébrica. Assim, teremos:

- 2x – 2y = - 50

2x + y = 35

/ - y = - 15 (X – 1 ) → pela adição algébrica.

y = 15

Para calcularmos o valor de x que nos falta, usamos qualquer uma das equações do sistema.

2x + y = 35 → substituímos o y pelo valor encontrado anteriormente;

2x + 15 = 35 → resolvemos a equação e obtemos;

2x = 35 – 15 →

2x = 20 →

x = 20 / 2

x = 10

Logo a solução do sistema é o par ordenado: S= (10, 15).

MÉTODO DA COMPARAÇÃO

Dado o sistema:

x + y = 25

2x + y = 35

Isolamos a incógnita x na primeira linha: x = 25 – y

Isolamos a incógnita x na segunda linha: 2x = 35 – y → x = (35 – y )/ (2)

A seguir igualamos as duas expressões, obtidas para x:

25 – y = (35 – y )/(2) → resolvemos a equação

y = 15

Logo a solução do sistema é o par ordenado: S = (10, 15)