TIPOS DE VARIÁVEIS
Como o nome diz, seus valores, variam de elemento para elemento. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos.
Variáveis discretas
Características mensuráveis, que podem assumir apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente são o resultado de contagem. Exemplos: número de filhos, número de bactérias por litro de leite.
Variáveis contínuas
Características mensuráveis, que assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para quais valores fracionais fazem sentido.Usualmente devem ser medidas através de algum instrumento. Exemplo: peso(balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade.
PROPORCIONALIDADE
Grandezas proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais
São grandezas diretamente proporcionais, quando a variação de uma, implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e mesmo sentido.
Grandezas inversamente proporcionais
São grandezas inversamente proporcionais, quando a variação de uma, implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mas com direção e sentido contrários.
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
a) Média aritmética
É uma medida de tendência que se aplica somente a variáveis numéricas.
Se as observações são x
1+x
2+,...,x
n, a média aritmética é dada por x = x
1+x
2+,...,x
n/n
b) Mediana
Chama-se de mediana de uma lista de valores ao valor que tem a seguinte propriedade: metade das observações são maiores ou iguais e a outra metade menores ou iguais a este valor. A mediana é o valor central entre os observados.
Por exemplo se há um número par de observações (40), há duas observações centrais, correspondentes às posições 20 e 21, respectivamente iguais a 7,3 e 7,4. A mediana, neste caso, é usualmente definida como a média aritmética deste valores, que é igual a 7,35.
c) Moda
Chamamos de moda o valor mais frequentemente observado de uma variável.
Exemplo: Num conjunto de notas de um curso a moda é 8 (com 4 ocorrências), isto significa que a nota 8, foi alcançada por 4 alunos do curso em questão.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D
1 e, tomada a decisão D
1, há y modos de tomar a decisão D
2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D
1 e D
2 é xy.
Exemplo:
1) Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?
D
1: Escolha do homem (5 modos).
D
2: Escolha da mulher (5 modos).
Há 5x5=25 modos de formar um casal.
2) Num restaurante há 2 tipos de saladas, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quantas são as possibilidades que temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?
Como temos 2 escolhas para saladas, 3 escolhas de pratos e 3 escolhas de sobremesa:
Pelo princípio fundamental da contagem: 2.3.3 = 18 possibilidades.
3) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
___6___ ___6___ ___6___ Pelo PFC: 6.6.6 = 216
centena dezena unidade
Como temos 6 algarismos, há 6 possibilidades para preencher a coluna das centenas, 6 possibilidades para preencher a coluna das dezenas e 6 possibilidades para preencher a coluna das unidades, pois um mesmo número pode aparecer mais de uma vez no mesmo número.
4) Quantos números de 3 algarismos DISTINTOS podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
Como os números devem ser diferentes, há 6 possibilidades para a centena, 5 possibilidades para a dezena e 4 possibilidades para a unidade.
___6___ ___5___ __4__
Pelo PFC: 6.5.4 =120 possibilidades.
5) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar?
__7__ __8__ __8__
O zero não é permitido. Pelo PFC: 7.8.8 =448
b) Quantos números de 3 algarismos DISTINTOS podemos formar?
__7__ __7__ __6__
Como o zero não é permitido e como não pode haver repetição pelo PFC, temos: 7.7.6=294 possibilidades.
6) Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção da cidade B e uma cidade C. De quantas maneiras pode-se ir de A a C, passando por B?
Pelo PFC: 2.3= 6 maneiras para irmos de A a C passando por B.
7) De quantas maneiras distintas pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meias e 2 pares de sapato?
8) Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas, quantas e quais são as possibilidades de resultado?
AAA AAB ABA BAA ABB BBB BBA BAB
Temos 8 possibilidades.
9) Quantos números de 2 algarismos podemos formar sabendo que o algarismo das dezenas é múltiplo de 2 e o algarismo das unidades é múltiplo de 3?
Algarismos das dezenas: 2, 4, 6 e 8
Algarismos das unidades: 0,3, 6 e 9
Como os algarismos das dezenas são em número de 4 e os algarismos das unidades, também são em número de 4, então: pelo PFC, temos 4.4=16 possibilidades.
FATORIAL(n!)
n! é: "n fatorial";
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n;
n! = n . (n-1).(n-2).,...,1
pela definição: 0!=1 e 1!=1.
Exemplos:
a) 2! = 2.1 = 2
b) 5! = 5.4.3.2.1=120
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutação simples de n elementos
distintos é qualquer grupo ordenado desses n elementos.
P
n = n!, ou seja, P
n = n . (n-1).(n-2).,...,1
Exemplos:
1. Calcular o número de anagramas da palavra LÁPIS.
Como a palavra LÁPIS possui 5 letras, basta calcular:
P
5 = 5! = 5.4.3.2.1= 120
2. Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?
Por tentativa: 123 132 321 213 312 231
Pelo PFC: 1. 2 . 3 = 6 possibilidades.
3. Responda:
a) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO?
Basta calcular P
6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
b) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam por O?
Fazemos: P _ _ _ _ O
Permuta-se as 4 letras não fixas, ou seja, calcule P
4:
P
4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
c) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e nessa ordem (ÃO)?
Nesse caso é como se a expressão ÂO fosse uma só letra; assim temos que calcular P
5.
P
5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
d) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que P e O aparecem nos extremos?
P_ _ _ _O
O_ _ _ _P
Observamos que temos 4 letras não fixas, então 2P
4=2 . 4! = 48 anagramas.
ARRANJO SIMPLES
Chamam-se arranjos simples todos os
agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro pela
ordem ou natureza de seus elementos.
Notação: A
n,
pExemplo:
Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha?
Os agrupamentos são arranjos simples, pois 2 deles se distinguem por terem algum professor diferente ou por terem as mesmas pessoas mas em cargos diferentes.
Fórmula dos arranjos simples
A
n,p = n! / (n-p)!
Exemplos:
1. Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?
Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2, logo:
A
9,2=9! / (9-2)! = 9!/7! = 72
Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9.
COMBINAÇÕES SIMPLES
Nesse caso, a ordem em que os elementos aparecem não importa, por exemplo:
Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades?
Quais, podem ser as duplas? AE AR AF AG ER EF EG RF RG FG
Quantas são as possibilidades: a esses subconjuntos chamamos de combinações simples de 5 elementos tomados com 2 elementos e escrevemos: C
5, 2 = 10
Fórmula das combinações simples
Exemplos:
1. Uma equipe de corrida de aventura é composta por quatro membros, sendo um deles obrigatoriamente mulher. Dez pessoas foram convidadas a partir da seleção da equipe, das quais 4 são mulheres. Quantas equipes diferentes podemos formar com esse grupo?
C
10,4 = (10!) / 4!(10-4)! = (10!) / 4!6! = 10.9.8.7.6!/4!6! = 10.9.8.7/4.3.2.1 = 5040/24 = 210 é o total de equipes a serem formadas.
Formando 4 equipes, cada uma, com uma mulher, restam 6 homens, para formar mais equipes, portanto, devemos retirar do total de equipes, as equipes formadas somente por homens, para tal, por combinação, calculamos o número de equipes formada somente por homens:
C
6,4= 6! / 4!(6-4)! = 6! / 4!2! = 6.5!/2! = 30/2=15 equipes formadas por homens.
Resposta: 210 - 15 = 195 equipes.
PROBABILIDADE
Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais).
Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado ocorrer.
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral. Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento.
Exemplos:
1. Lançamento de um dado e registro do resultado.
Como um dado possuí 6 faces, temos: {1,2,3,4,5,6}
Subconjunto: {1,3,5}, "números ímpares no lançamento de um dado."
Espaço amostral: {1,2,3,4,5,6}
Evento A:{1,3,5}
Cálculo de probabilidades
p(A) = (número de elementos do evento)/(número de elementos do espaço amostral)
