Introdução ao estudo dos limites

A ideia intuitiva de limite
Exemplos:
      Consideremos uma região quadrada de área igual a 1.
      - Num primeiro estágio, colorimos metade dela.
      - No estágio seguinte, colorimos metade da região e mais metade do que restou.
      - No próximo, colorimos o que havia sido colorido e mais metade do que restou.
      - E assim sucessivamente indefinidamente, a área da região colorida resultante vai tendendo a 1.
Observemos como os valores 1/2, 3/4, 7/8 vão se aproximando de 1. Dizemos, então, que o limite desse desenvolvimento, quando o número de estágios tende a infinito, é colorir a figura toda, ou seja, é obter uma área colorida igual a 1.
Observe a figura abaixo:

Exemplo:

Observamos que, à media que n cresce indefinidamente, o valor de 1/n vai se aproximando, vai tendendo, vai convergindo para 0. Dizemos, então, que, quando n tende a infinito, o limite da sequência é igual a 0.

Coeficiente angular da reta

O coeficiente angular m de uma reta não-vertical é a razão: m = variação de y / variação de x.
O número m dá a medida de quão íngreme é uma subida ou descida.

Mova os pontos A e B, para encontrar outros coeficientes.

Função do 1º grau

Problematizando
     O preço médio do quilowatt-hora (kWh) é de R$ 0,28. Um chuveiro elétrico funcionando com uma potência de 4400 W (watt) ou seja, 4,4Kw (quilowatt) apresenta, a cada hora de funcionamento, um consumo de energia igual a 4,4 KWh. Evidentemente, o preço pago por esse tempo (1 h) será de 4,4 X R$ 0,28 = R$ 1,232.
     Então, o preço pago por um banho de x horas é:
   p(x) = 1,232 . x, onde x: é o tempo gasto em um banho em horas;
                                      p(x): é o preço desse banho em reais.
     Essa função é um caso particular, pois as funções desse tipo, onde a variável x está sujeita ao expoente 1, são chamadas de funções do 1º grau.

Definição:
     Chama-se função do 1º grau à função f de R em R que a cada x (elemento do domínio) faz corresponder o valor ax + b, com a, b pertencendo ao conjunto dos números reais (|R).

     Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau, f(x) = ax + b, para a diferente de zero, o número real x tal que f(x) = 0. Temos, então: ax + b = 0  => x = - b/a.
Exemplos:
Cálculo do zero da função f(x) = 2x + 2:
f(x) = 0  =>  2x + 2 = 0  => x = -1
  
Cálculo da raiz da função f(x)=2x+2:
     f(x)=0 => 2x + 2 = 0 => x = -1

Cálculo da abcissa do ponto em que o gráfico corta o eixo das abcissas:
     O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x, é aquele em que f(x) = 0. Logo, para f(x) = 0 =>
2x + 2 = 0  =>  x = -1
     (Mova com o mouse a reta vermelha, e calcule outras funções, que aparecem em vermelho.)

 
Gráfico da equação do 1º grau

Completamento de quadrados

Dada a equação: x² + 4x - 21 = 0
Note que a expressão do primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito, mas podemos transformá-la para que o seja. Para isso, primeiro somamos 21 aos dois membros da equação.
                                              x² + 4x - 21+21 = 0 + 21 e obtemos x² + 4x = 21

Em seguida, representamos geometricamente cada termo do primeiro membro, e à seguir, tentamos montar um quadrado com as figuras obtidas.
Observe que a área que falta para completar um quadrado perfeito é 2².
Dessa forma, devemos somar 2² ao primeiro membro para formar o trinômio quadrado perfeito. Para não alterar a equação, devemos somar 2² ao segundo membro também. Daí, temos:
                                           
                                              x² + 4x + 2² = 21 + 2²
Fatorando o trinômio quadrado perfeito no primeiro membro, temos:
                                             (x + 2)² = 25 
                                             x + 2 = ± √25
                                             x + 2 = ± 5

Logo, para x + 2 = 5, temos x' = 3.
          para x + 2 = -5, temos x" = - 7.        
Arraste os retângulos e o quadrado menor, para completar o quadrado.

A integral

Para refletir sobre cálculo

Diferencial

- Uma fração

- d : um pouquinho de;

- dx : significa um pouquinho de x;

- du : significa um pouquinho de u.

     No cálculo dx quer dizer um pouquinho de x. Essas coisa tais como dx, du e dy são chamadas de diferenciais.

Integral

- soma de todas as frações;

- ∫dx : significa a soma de todos os pouquinhos de x;

- ∫dt :  significa a soma de todos os pouquinhos de t;

- ∫ : "a integral de" --> Integral= inteiro, completo;

- portanto, a soma de todos os dx é a integral.

O grau relativo de miudeza

- No cálculo, lidamos com quantidades pequenas com vários graus de pequenez.

- Em algumas circunstâncias, quando temos uma quantidade pequena, como sendo tão miúda, que podemos desconsiderá-la.

- Tudo depende do grau relativo de miudeza.

Por exemplo: Percebemos que, um minuto é uma quantidade muito pequena, quando comparado com uma semana inteira, depois pela necessidade o minuto foi dividido em 60 partes ainda menores - os segundos.

Os segundos - quantidades pequenas na classe de segunda ordem de pequenez.

     Podemos dizer que dx é uma pequena porção de x, e relativamente pequena por si mesma, mas não podemos dizer que x.dx, ou x².dx, ou a^x.dx são valores desprezíveis. Mas dx.dx seria uma pequena quantidade desprezível.

     Podemos ilustrar isso tudo com um exemplo simples.

     Pense numa quantidade x que pode aumentar um pouquinho para se transformar em x + dx, em que dx significa o pequeno incremento no valor de x provocado pelo crescimento. O quadrado disso é:

(x + dx)² = x² + 2xdx + (dx)².

     Não podemos desprezar o segundo termo dessa soma porque é uma quantidade de primeira ordem; entretanto, o terceiro é da segunda ordem de pequenez, pois é uma fraçãozinha de uma fraçãozinha de x²

     Podemos representar isso tudo, geometricamente, como por exemplo na animação à seguir:

Aproxime o ponto E ao ponto B.

Representação geométrica da raiz quadrada

     Para observarmos a representação geométrica da √2, construímos um triângulo isósceles de modo que um de seus catetos seja o segmento que representa o segmento de 0 a 1 na reta numérica.
     A partir do zero, para a direita, transportamos o segmento que mede √2 (hipotenusa) sobre  a reta. A extremidade direita desse segmento é o ponto  que representa √2.
     Mova o ponto até a reta numérica (linha horizontal), e repare que o número √2 ficou entre 1 e 2 na referida reta numérica. Então, √2 fica entre o ponto que corresponde a 1 e o ponto médio do segmento que vai de 1 a 2, ou seja, o ponto que corresponde a 1,5.

(Mova o ponto para interagir!

A parábola

A parábola é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica
de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone.
Observe que ao mover à parábola aparecem dois pontos no eixo x: Os zeros da função.
Digite uma equação do 2º grau na caixa de entrada abaixo e observe o resultado.