Icosaedro

Icosaedro é uma figura sólida formada por vinte triângulos iguais entre si, e equiláteros.

(Mova a imagem com o lado direito do mouse).



Planificação

Dodecaedro

Dodecaedro é uma figura sólida formada por doze pentágonos iguais entre si, equiláteros, e equiângulos.
Com o botão direito do mouse, você pode animar o objeto abaixo.

Octaedro

Octaedro é uma figura sólida compreendida por oito triângulos iguais entre si, e equiláteros.
Mova o objeto de aprendizagem, com o lado direito do mouse.

Esfera

Esfera é uma figura sólida descrita pela revolução inteira de um semicírculo ao redor do seu diâmetro, que se considera como imóvel.
Eixo da esfera é aquele diâmetro ao redor do qual o semicírculo faz a sua revolução.
Centro da esfera é o mesmo centro do semicírculo.
Diâmetro da esfera se chama qualquer linha reta, que passa pelo centro da esfera, e se termina de uma e outra parte na superfície da mesma esfera.

APLICAÇÃO
Considere o radio do planeta Terra com medida 6370 km. Use as fórmulas acima e, com ajuda de uma calculadora e adotando π = 3,14, determine o valor aproximado:
a) da área da superfície do planeta Terra;
b) do volume do planeta Terra.

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro".

VOLUME DA ESFERA
O volume da esfera depende do tamanho do raio.

Área da superfície: A = 4.π.r²

Volume da esfera:

Tetraedro regular

Tetraedro é uma figura sólida formada por quatro triângulos iguais entre si, e equiláteros.


Mova o objeto de aprendizagem, com o lado direito do mouse.

Paralelepípedo

Paralelepípedo (Bloco retangular)
Sólido paralelepípedo é uma figura sólida compreendida por seis figuras quadriláteras, das quais cada duas opostas são paralelas.

Paralelepípedo reto retangular
Observe os elementos que constituem um bloco retangular: ARESTAS, FACES e VÉRTICE.
6 faces: retângulos iguais, dois a dois;
12 arestas: iguais, quatro a quatro;
8 vértices.
Com o lado direito do mouse, movimente o bloco retangular.

Prisma

Prisma é uma figura sólida compreendida por vários planos, entre os quais dois, que ficam opostos, são iguais, semelhantes e paralelos; os outros todos são paralelogramos.

Classificação quanto ao número de lados
Triangular – base constituída de triângulos.
Quadrangular – base constituída de quadriláteros.
Pentagonal – base constituída de pentágonos.
Hexagonal – base constituída de hexágonos.
Heptagonal – base constituída de heptágonos.
Octogonal – base constituída de octógonos.
(Mova o objeto com o lado direito do mouse).
RETOS OU OBLÍQUOS

ÁREA DE UM PRISMA

VOLUME DE UM PRISMA

Pirâmide

APLICAÇÃO
Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide, 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m². Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

OS ELEMENTOS DE EUCLIDES
Livro XI
XII
Pirâmide é uma figura sólida formada por diferentes planos, os quais todos, saindo de um mesmo plano, se terminam em um mesmo ponto.

Elementos de uma pirâmide, de base quadrangular:
- base (polígono);
- faces (triângulos);
- arestas da base (lados da base);
- arestas laterais (lados das faces que não pertencem à base);
- vértices da base (vértices do polígono da base);
- vértice da pirâmide (ponto de encontro das arestas laterais).

Você pode mover a animação com o botão direito do mouse, para observar os elementos constituintes da pirâmide:
Possível planificação

Pirâmide de base quadrangular.

Observando à planificação, percebe-se que à área nada mais é do que a soma da área lateral, com a área da base em vermelho.
A área lateral, é a soma das áreas das faces.

Mova o objeto abaixo com o lado direito do mouse.

Equação linear

É uma equação do 1º grau, que envolve somente somas, variáveis, constantes de primeiro grau e produtos.

É toda equação da forma:    

               
Sendo a, números reais;
           x, incógnitas;
           b, número real (termo independente).
Observação: quando b=0, a equação recebe o nome de equação linear homogênea.

Exemplos: 3x + 4y - 7z = 8; 3x + y + z = 9; 5x - 7y - z = 0 (homogênea).

Cubo

OS ELEMENTOS DE EUCLIDES
LIVRO XI
XXV
Cubo é uma figura sólida compreendida por seis quadrados iguais.
Com o lado direito do mouse, mova o objeto abaixo.

Cilindro

Mova com o lado direito do mouse:

Geometria espacial

Definições
I
Sólido é o que tem comprimento; largura e profundidade.
II
Os termos do sólido são superfícies.
III
Uma linha reta é perpendicular a um plano, quando faz ângulos retos com todas as retas que a tocam, existentes no mesmo plano.
IV
Um plano é perpendicular a outro plano, quando as linhas retas, que em um dos planos, qual quisermos, se conduzem perpendicularmente à seção comum dos mesmos planos, ficam sendo perpendiculares também ao outro plano.
V
A inclinação de uma linha reta sobre um plano é um ângulo agudo formado pela mesma reta e por outra existente no plano entre a dita reta e a perpendicular, que de qualquer ponto da reta inclinada cai sobre o mesmo plano.
VI
A inclinação de um plano sobre outro plano é um ângulo agudo feito por duas linhas retas existentes uma em um plano, e outra no outro, as quais conduzidas por um mesmo ponto, ficam sendo perpendiculares à seção
comum dos ditos planos.
VII
Dois planos se dizem semelhantemente inclinados a respeito de outros dois, quando os ângulos das inclinações são iguais.
VIII
Planos paralelos são aqueles que, produzidos como qual que quisermos, nunca concorrem para parte alguma.
IX
Ângulo sólido é um ângulo formado por mais de dois ângulos planos não existentes no mesmo plano, e os quais todos têm o mesmo vértice comum.

X
Esta décima definição se deixa pelas razões, que se deram nas Notas.
XI
As figuras sólidas semelhantes são aquelas, que têm iguais os ângulos sólidos correspondentes, como também semelhantes entre si, e em número igual os planos que se correspondem.
XII
Pirâmide é uma figura sólida formada por diferentes planos, os quais todos, saindo de um mesmo plano, se terminam em um mesmo ponto.
XIII
Prisma é uma figura sólida compreendida por vários planos, entre os quais dois, que ficam opostos, são iguais, semelhantes e paralelos; os outros todos são paralelogramos.
XlV
Esfera é uma figura sólida descrita pela revolução inteira de um semicírculo ao redor do seu diâmetro, que se considera como imóvel.
XV
Eixo da esfera é aquele diâmetro ao redor do qual o semicírculo faz a sua revolução.
XVI
Centro da esfera é o mesmo centro do semicírculo.
XVII
Diâmetro da esfera se chama qualquer linha reta, que passa pelo centro da esfera, e se termina de uma e outra parte na superfície da mesma esfera.
XVIII
Pirâmide cônica é uma figura sólida, que fica formada pela revolução inteira de um triângulo retângulo ao redor de um lado daqueles, que compreendem o ângulo reto. E este lado se deve considerar como imóvel no tempo de uma revolução inteira do triângulo.
Se o lado, que se imagina imóvel, for igual ao outro que gira, e que com o primeiro faz o ângulo reto, a pirâmide cônica se chamará ortogonia; se for menor, ambligonia, e se maior, oxigônia.
XIX
Eixo da pirâmide cônica é aquele lado considerado como imóvel, ao redor do qual gira o triângulo.
XX
Base da pirâmide cônica é o círculo descrito pelo outro lado, que pertence ao ângulo reto, e que faz uma revolução inteira juntamente com o triângulo.
XXI
Cilindro é uma figura sólida formada pela revolução de um paralelogramo retângulo ao redor de qualquer lado, que se deve considerar como imóvel.
XXII
Eixo do cilindro é aquele lado fixo, ao redor do qual o paralelogramo faz uma revolução inteira.
XXIII
Bases do cilindro são os dois círculos descritos pelos lados opostos do paralelogramo, que giram justamente com o mesmo paralelogramo.
XXIV
Tanto as pirâmides cônicas como os cilindros se dizem semelhantes, quando os eixos, e os, diâmetros das bases são proporcionais entre si.
XXV
Cubo é uma figura sólida compreendida por seis quadrados iguais.
XXVI
Tetraedro é uma figura sólida formada por quatro triângulos iguais entre si, e equiláteros.
XXVII
Octaedro é uma figura sólida compreendida por oito triângulos iguais entre si, e equiláteros.
XXVIII
Dodecaedro é uma figura sólida formada por doze pentágonos iguais entre si, equiláteros, e equiângulos.
XXIX
Icosaedro é uma figura sólida formada por vinte triângulos iguais entre si, e equiláteros.
Def. A.
Sólido paralelepípedo é uma figura sólida compreendida por seis figuras quadrilateras, das quais cada duas opostas são paralelas.