semelhança III

Observando a figura, notamos que os triângulos AEC e ADB são semelhantes. Determine o número t indicado na figura. 

Semelhança II

O triângulo ACM é isósceles (CA≃CM). Sabendo que CA= 10 cm, MQ= 6cm, GP= 5 cm e CQ= 8 cm, calcule:

a) a medida x do segmento CG:
b) a medida y do segmento CP;
c) a razão x/y.

Razões trigonométricas

Trigonometria  no triângulo retângulo
Objetivos

• Identificar os elementos de um triângulo retângulo.
• Estabelecer as relações trigonométricas existentes em um triângulo retângulo.
• Identificar os catetos adjacente e oposto de um ângulo.
• Identificar os ângulos notáveis.
• Localizar o valor do seno, cosseno e tangente na tabela trigonométrica.
• Calcular o valor do seno, cosseno e tangente de ângulos.

Trigonometria
     Fundada por Hiparco - matemático  grego: 190 a.C. - 120 a.C.
     A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas), é estudo das relações existentes entre os lados e os ângulos de um triângulo.

Razões trigonométricas

         

       A finalidade do estudo da trigonometria, prende-se ao cálculo de medidas de ângulos e distâncias inacessíveis, como por exemplo: se você precisa medir a altura de uma casa, não possuindo no caso uma escada para tal, você pode valer-se do uso destas razões.

Observe que β + γ = 90º (ângulos complementares). Logo:
                         β= 90º- γ   e  γ = 90º - β são ângulos agudos.
Nas relações vimos que:
sen β = cos γ, ou seja, senβ = cos (90º - β)
cos β = sen γ, ou seja, cosβ = sen (90º - β)
Logo temos:
- O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento.
- O cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complemento.
Ainda no mesmo triângulo, usando a relação de Pitágoras, podemos mostrar que:
sen²γ + cos² γ = 1 --> relação fundamental entre seno e cosseno de um ângulo agudo.
Observamos ainda que:

Aplicações
     Sendo α a medida de um ângulo agudo  e sen α = 1/3, calcular cos α.
Solução:

 sen²α + cos²α = 1 => 1/9 + cos²α = 1 => cos² α = 8/9 => cos α = 2√2 / 3

Ângulos notáveis
     Os ângulos de 30º, 45º e 60º, são assim denominados por aparecerem com frequência em cálculos.

Trigonometria na circunferência: clique aqui

Semelhança e homotetia

A perspectiva nos mostra que os triângulos ABC e XYZ são semelhantes. No triângulo ABC, temos AB=15 cm, BC= 18 cm e AC= 27 cm. Se o perímetro do triângulo XYZ é 20 cm, qual é a medida do lado XZ?

Sendo o perímetro de ABC= 60 e o perímetro de XYZ= 20→60/20 = 27/x → Aplicamos a propriedade fundamental das proporções: XZ= 9 cm.

Exercícios: Semelhança de triângulos

1) Temos que BC= 15 cm, AH=10 cm e PQRS é um quadrado cujos lados medem x. Assim, determine o perímetro desse quadrado.

Observe que PQ é paralelo à CB, sendo assim utilizamos a propriedade fundamental da semelhança de triângulos.

2) A porta de entrada e a fachada de uma casa são figuras retangulares semelhantes e a razão de semelhança da altura da casa para a altura da porta é 5/2. Se a altura da casa é 6 m, qual é a altura da porta?

5/2 = 6/x -> x=2,4 m

3) A figura representa  a cúpula de um abajur. Qual é o valor de r?

Problemas e soluções

ENSINO FUNDAMENTAL
6º ano: Medidas,Geometria,
7º ano: Potências, Triângulos e quadriláteros,
8º ano: Ângulos, Geometria e álgebra
9º ano: Radiciação, Equação trigonométrica, Bissetriz, Função quadrática1,2 Conjunto dos Reais, Tales e triângulos, Trigonometria, Semelhança de triângulos, Semelhança I, Semelhança III, Geometria

O Cosseno

     Em qualquer subida, podemos determinar a razão entre o afastamento e o percurso, que será um número, que é chamado de cosseno do ângulo α.




O número, da mesma forma que a medida do ângulo de subida, indica-nos o quanto a subida é íngreme.

Cosseno de um ângulo de subida.

Função exponencial

  O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão:

Imagen Google

N(t) --> número de bactérias em função do tempo.
N(t) = 1200 . 2^0,4t → N(t) = 38400

Igualando, temos:

1200 . 2^0,4t = 38400 → 2^0,4t = 38400 / 1200 = 32 → 2^0,4t = 2⁵ → 0,4t = 5 --> t = 5 / 0,4 = 12,5 h ou 12h 30min.

portanto, a cultura terá 38400 bactérias após 12h 30min.

  Dado um número real a (a>1 e a diferente de 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f: |R ---> |R*+ dada por f(x)=a^x
ou y = a^x 
Exemplos:
f(x) = 2^x 
                                              y = 5^{x
     Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos 2, 3, 4, etc..., moedas diferentes entre si, os resultados possíveis serão 4, 8, 16, etc. ou seja, o número de resultados possíveis é dado em função do número de moedas lançadas.
1 moeda --> 2¹ = 2 resultados possíveis
2 moedas --> 2² = 4 resultados possíveis.
3 moedas --> 2³ = 8 resultados possíveis.
.
.
.
n moedas -->} 2^{n resultados possíveis.
Logo: f(n) =} 2^{n ou y =} 2<sup>n , com n = 1, 2, 3...

Gráfico da função exponencial</sup>     

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
2x	2-3	2-2	2-1	2⁰	2¹	2²	2³
y = 2x	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

 

Máximos e mínimos

Os técnicos de uma fábrica de automóveis fizeram diversos testes com um de seus carros populares para examinar o consumo de gasolina. O carro percorria 100 km em uma estrada plana, com velocidade  constante. O percurso foi feito muitas vezes e, a cada vez, usou-se uma velocidade diferente. No final de cada viagem, os técnicos verificaram a quantidade de combustível gasta e observaram que o consumo não se mantinha o mesmo, pois era função da velocidade.
A conclusão foi a seguinte: para velocidade entre 40 e 120 km/h, o consumo desse carro é dado por:
                                                  y = 0,005x² - 0,6 x + 26
onde x é a velocidade em quilômetros por hora e y é o número de litros de gasolina gastos para percorrer 100 km.
Em que velocidade devemos andar com esse carro, para gastar o mínimo de combustível?
Solução:
A função é do tipo y= ax² + bx + c. Como o coeficiente a é positivo, sabemos que existe um valor mínimo dessa função. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima:
Observando a animação a seguir, vemos que o ponto mais baixo é o vértice (V) da parábola e o número x, é a velocidade que faz com que o consumo seja o menor possível. Primeiro calculamos a abscissa do vértice da parábola, cuja solução é 60 km/h para gastar a menor quantidade possível de gasolina. Mas se desejarmos saber qual o gasto mínimo de combustível para percorrer os 100 km, basta substituir o x da função por 60, cuja solução será 8.
Portanto, andando a 60 km/h, gastaremos apenas 8 litros de gasolina para percorrer os 100 km.

Problemática

Marco é vendedor, e seu salário é composto de um valor fixo mais as comissões sobre as vendas realizadas no mês. A loja em que trabalha calcula seu salário por meio de uma função cuja lei de formação é dada por f(x)=0,01x+500, em que x representa à quantia vendida no mês.
Quanto Marco receberá sabendo que neste mês suas vendas totalizaram R$ 100.000,00?
Resolução:
Sendo a fórmula para o cálculo do salário, f(x)=0,01x+500 e tendo Marco, vendido R$ 100.000,00 no mês, seu salário será igual à: f(x)=0,01 . 100.000,00 + 500 = R$ 1.500,00
   
Função 2º grau

Atividade 1: Minimizando custos

Uma firma monopolista produz, mensalmente, x computadores ao custo de CT= x² +10x +120. Sendo a demanda de mercado definida pela função x = 10000 – p (onde p é o preço em reais de um computador). Faça: 
a) O gráfico da função custo. 

b) Calcule o preço e a quantidade de computadores que maximizem o lucro da firma.
C=x² + 10x + 120
x = 10.000 – p
C = (10.000 – p)² + 10.(10.000 – p) + 120
C= 10.000²-2.10.000.p + P² + 100.000-10p+120
C= 100.000.000-20.000p+p²+100.000-10p+120
C=100.100.120-20.010p+p²
V = p . x
V = p(10.000 – p)
V(p) = 10000p - p²
L = V – C 
L=(10.000p -p²) – (100.100.120 -20.010p + p²)
L=10.000p – p²-100.100.120+20.010p-p²
L =-2p² + 30.010p -100.100.120
∆ = (30.010)² -4.-2.-100.100.120 ==>∆ = 900.600.100 – 800.800.960=>
∆ = 99.799.140 ==> ∆>0
Pela equação quadrática: L₁ = 5.005,01
L₂ = 9.999,98
Estas raízes nos indicam para quais valores de p o lucro será igual a zero.
O lucro máximo é representado pelo x vértice (x_v)e é calculado usando o seguinte modelo matemático:
Xv = -b / 2a
Xv = - (30010)/2.-2
Xv = 7.502,50
Logo o lucro máximo é dado pelo seguinte modelo matemático:
Yv= - (b² – 4.a.c)/-4a
Yv = - (30.010,00² – 4.-2.-100.100.120)/4.-2
Yv= 12.474.892,50
Estabeleça para que valor de venda de computadores poderá haver Lucro ou, ainda, prejuízo.

P(preço de venda/unitário)	L(lucro em R$)
4005,01	-R$ 11.989.980,01
5005,01	0
6502,01	R$ 10.474.892,50
7502,5	R$ 12.474.892,50
8502,5	R$ 10.474.892,50
9999,98	0

Verifica-se também que haverá prejuízo, quando os computadores forem vendidos a menos de R$ 5005,01.

Deverão ser vendidos 1662,76 computadores ao preço de 7502,50, para haver lucro máximo.

Todo quadrado é um retângulo?

Desafio: Todo quadrado é um retângulo?

Observe a transformação de um quadrado em retângulo.

Resposta: clique aqui!

Matriz transposta

Chama-se transposta de uma matriz A, à matriz cujas colunas são ordenadamente as linhas de A.
Exemplo:

Mova os pontos.


Propriedades da matriz transporta

 (A^t)^t = A       (α A)^t=αA^t       (A+B)^t = A^t + B^t       (AB)^t = B^t A^t

EF08MA19: Área do trapézio

A área do trapézio é obtida pela metade do produto da medida da altura pela soma das medidas das bases.

A diagonal BD divide o trapézio ABCD em dois triângulos com bases de medidas b1 e b2 e altura de medida h.

A área do trapézio é a soma das áreas dos triângulos.

Atrap= b1/2 . h/2 + b2/2 . h/2 ==> Atrap = h.(b1+b2)/2
Para interagir, arraste o triângulo.

      Inicialmente, consideramos um trapézio congruente ao trapézio 1.
      Em seguida, compomos um paralelogramo com esses trapézios.
      A medida da altura do paralelogramo obtido é igual à do trapézio 1 e a medida da base do paralelogramo é igual à soma das medidas das bases do trapézio i (B+b).
      Temos também que a área do trapézio 1 é igual à metade da área do paralelogramo.
      Portanto, a área do trapézio 1 é dada por:

Observe: