Sistema Binário e Outras Bases Numéricas

Sistema Binário (Base 2)

Características

- Utiliza apenas dois dígitos: **0 e 1**

- Cada posição representa uma potência de 2

- Base fundamental para computadores e sistemas digitais

Estrutura Posicional

128  64  32  16  8  4  2  1  ← Valores posicionais (2ⁿ)

  0   1   1   0  1  0  1  1  ← Dígito binário

Conversão Binário → Decimal

Exemplo: 1101₂

(1 × 2³) + (1 × 2²) + (0 × 2¹) + (1 × 2⁰)

= (1 × 8) + (1 × 4) + (0 × 2) + (1 × 1)

= 8 + 4 + 0 + 1

= 13₁₀

Outras Bases Comuns

Octal (Base 8)

- Dígitos: 0-7

- Cada posição representa potência de 8

- Usado em sistemas de permissão do Unix

Exemplo: 347₈ → Decimal

(3 × 8²) + (4 × 8¹) + (7 × 8⁰) = 192 + 32 + 7 = 231₁₀

Hexadecimal (Base 16)

- Dígitos: 0-9 e A-F

  - A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

- Cada posição representa potência de 16

- Amplamente usado em programação e endereçamento de memória

Exemplo: 2F3₁₆ → Decimal

(2 × 16²) + (15 × 16¹) + (3 × 16⁰) = 512 + 240 + 3 = 755₁₀

Tabela de Comparação

| Decimal | Binário | Octal | Hexadecimal |

|---------|---------|-------|-------------|

| 0         | 0000    | 0     | 0           |

| 1         | 0001    | 1     | 1           |

| 2         | 0010    | 2     | 2           |

| 3         | 0011    | 3     | 3           |

| 4         | 0100    | 4     | 4           |

| 5         | 0101    | 5     | 5           |

| 6         | 0110    | 6     | 6           |

| 7         | 0111    | 7     | 7           |

| 8         | 1000    | 10    | 8           |

| 9         | 1001    | 11    | 9           |

| 10       | 1010    | 12    | A           |

| 15       | 1111    | 17    | F           |

Métodos de Conversão

Decimal para Outras Bases (Divisões Sucessivas)

1. Dividir o número decimal pela base desejada

2. Anotar o resto

3. Usar o quociente na próxima divisão

4. Repetir até quociente = 0

5. Ler restos de baixo para cima

Entre Bases 2, 8 e 16 (Método Agrupamento)

Binário ↔ Octal

- Agrupar bits de 3 em 3 (da direita para esquerda)

- Cada grupo de 3 bits = 1 dígito octal

Exemplo: 101110₂ → Octal

101 110 = 5₈ 6₈ = 56₈

Binário ↔ Hexadecimal

- Agrupar bits de 4 em 4

- Cada grupo de 4 bits = 1 dígito hexadecimal

Exemplo: 10101101₂ → Hexadecimal

1010 1101 = A₁₆ D₁₆ = AD₁₆

Aplicações Práticas

1. Binário: Circuitos digitais, processamento de dados

2. Octal: Permissões de arquivo Unix (ex: chmod 755)

3. Hexadecimal: Endereços de memória, cores em CSS (#RRGGBB)

4. Base 64: Codificação para transferência de dados

Exercício Prático

Converta:

1. 45₁₀ para binário: `45 ÷ 2 = 22 resto 1 → 101101₂`

2. 101011₂ para hexadecimal: `0010 1011 = 2B₁₆`

3. 3A7₁₆ para decimal: `(3×256) + (10×16) + (7×1) = 935₁₀`

Conclusão

Entender diferentes bases numéricas é essencial para:

- Programação e ciência da computação

- Eletrônica digital

- Análise de sistemas

- Resolução de problemas matemáticos e lógicos

Cada base tem vantagens específicas para diferentes aplicações, sendo o binário a base fundamental da computação moderna.