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sábado, 6 de maio de 2017

Racionalização de denominadores, quando a raiz não é quadrada

Primeiro devemos entender o que seja o chamado FATOR RACIONALIZANTE
Sabemos que não é possível resolver a fração do tipo:
Visto o denominador conter um número irracional. Para resolver esse problema recorremos à RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES, quando comumente fazemos:
Assim pois, resolvemos o problema uma vez que eliminamos o número irracional do denominador da fração.
Logo o chamado FATOR RACIONALIZANTE será a expressão √3, observamos então que o número ou expressão irracional será o fator racionalizante.

MAS, se a raiz não for quadrada?
Para resolver esse impasse, lançamos mão de um artifício, ou seja, por exemplo dada a fração:
Sendo que não solucionamos o problema pois continuamos com denominador irracional.
Para resolver isso convenientemente fazemos: 4 - 1 = 3 (índice - expoente), logo o fator racionalizante será: 
Então, refazendo, teremos:
Observe que para esse novo denominador aplicamos a propriedade da multiplicação de potências de mesma base, isto é, 2¹ + 2³ = 2⁴, e simplificamos o denominador obtendo 2.



domingo, 21 de outubro de 2012

Fatoração de um radical

  Dadas algumas situações, deparamo-nos com a necessidade de extrair a raiz de um número. Se não dispusermos de uma calculadora, ou se o seu uso não for permitido, valemo-nos da fatoração.
  Por exemplo:
  Qual a raiz quadrada do número 256 (√256)?
  - decompomos o número 256, em fatores primos:
                                                     256 | 2
                                                     128 | 2
                                                       64 | 2
                                                       32 | 2
                                                        16| 2
                                                          8| 2
                                                          4| 2
                                                          2| 2
                                                          1|
Logo podemos escrever: √ 2² . 2² . 2² . 2² (considerando que a raiz é quadrada).
Simplificamos os expoentes de valor 2 com o índice 2 da raiz e multiplicando-se as bases temos:
                                                      2 . 2 . 2 . 2 = 16
Então a raiz quadrada do número 256 é 16.

domingo, 10 de junho de 2012

Raízes de uma equação do 2º grau

     Uma empresa precisa criar uma nova embalagem para um cereal. O formato escolhido foi o de um bloco retangular. A frente da embalagem deve ter 24 cm², para a marca do produto ficar bem evidente. As faces laterais devem ser quadradas. A  soma do comprimento da face frontal com o da face lateral deve ser  10 cm. A empresa obteve duas embalagens que obedecem  a essas condições.
Qual embalagem você escolheria?

Vamos calcular as dimensões dessas embalagens, pelo esquema abaixo:
A equação que relaciona essas medidas é: (10  -  x) . x = 24 => 10x - x² = 24 => x² - 10x + 24 = 0
Resolvendo pela chamada equação quadrática:


a = 1
b = -10
c = 24
Como a equação tem duas soluções, para cada valor de x há uma embalagem correspondente.
As soluções de uma equação são também chamadas raízes dessa equação.

Raízes de uma equação
     Um número é raiz (ou solução) de uma equação quando, colocado no lugar da incógnita, transforma a equação em sentença verdadeira.
     São os elementos do conjunto verdade de uma equação, ou são os resultados que encontramos ao resolvermos uma equação, seja ela de qualquer grau. Por exemplo:
    - em uma equação do 1º grau com uma variável, podemos encontrar uma raízes:
                                                        x-2 = 0 
                                                        x - 2 + 2 = 0 + 2
                                                        x = 2
Gráfico: x - 2 = 0


     - em uma equação do 2º grau, podemos encontrar duas raízes:
                                                         2x² + x = 0
                                                         x (2x + 1) = 0
                                                         x = 0
                                                         2x + 1 = 0
                                                         2x + 1 - 1 = 0 - 1
                                                         2x = -1
                                                         x = - 1/2


Discriminante
     É denominado discriminante o radical b² - 4 . a . c que é representado pela letra grega delta (Δ), isto é:
Δ = b² - 4 . a . c
    Visto isso, podemos escrever a fórmula de Bhaskara da seguinte maneira:
    Número de raízes reais
     Dada uma equação na forma ax² + bx + c = 0, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes, que dependerão do resultado do cálculo do discriminante (Δ) da equação, conforme tabela à seguir:

Relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2º grau
     As raízes reais de uma equação do 2º grau são determinadas por: