Razões trigonométricas

Trigonometria  no triângulo retângulo
Objetivos

• Identificar os elementos de um triângulo retângulo.
• Estabelecer as relações trigonométricas existentes em um triângulo retângulo.
• Identificar os catetos adjacente e oposto de um ângulo.
• Identificar os ângulos notáveis.
• Localizar o valor do seno, cosseno e tangente na tabela trigonométrica.
• Calcular o valor do seno, cosseno e tangente de ângulos.

Trigonometria
     Fundada por Hiparco - matemático  grego: 190 a.C. - 120 a.C.
     A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas), é estudo das relações existentes entre os lados e os ângulos de um triângulo.

Razões trigonométricas

         

       A finalidade do estudo da trigonometria, prende-se ao cálculo de medidas de ângulos e distâncias inacessíveis, como por exemplo: se você precisa medir a altura de uma casa, não possuindo no caso uma escada para tal, você pode valer-se do uso destas razões.

Observe que β + γ = 90º (ângulos complementares). Logo:
                         β= 90º- γ   e  γ = 90º - β são ângulos agudos.
Nas relações vimos que:
sen β = cos γ, ou seja, senβ = cos (90º - β)
cos β = sen γ, ou seja, cosβ = sen (90º - β)
Logo temos:
- O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento.
- O cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complemento.
Ainda no mesmo triângulo, usando a relação de Pitágoras, podemos mostrar que:
sen²γ + cos² γ = 1 --> relação fundamental entre seno e cosseno de um ângulo agudo.
Observamos ainda que:

Aplicações
     Sendo α a medida de um ângulo agudo  e sen α = 1/3, calcular cos α.
Solução:

 sen²α + cos²α = 1 => 1/9 + cos²α = 1 => cos² α = 8/9 => cos α = 2√2 / 3

Ângulos notáveis
     Os ângulos de 30º, 45º e 60º, são assim denominados por aparecerem com frequência em cálculos.

Trigonometria na circunferência: clique aqui

Triângulo retângulo

Elementos do triângulo retângulo
(Mova os pontos).
     O triângulo retângulo em Geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois outros ângulos agudos.

Observe na animação, que movimentando o ponto D, formarmos uma semicircunferência, onde ângulo reto não se altera.

    É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e cálculo algébrico.

Área do triângulo retângulo
     A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados.

Na trigonometria
     A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo, é a base da trigonometria.

Medidas de lados e ângulos
     Sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos.

EF08MA15: Triângulo equilátero

Os ângulos de 30°, 45° e 60° são chamados notáveis por causa da frequência com que surgem em problemas e da grande importância para a Trigonometria. O estudo da Trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas.

Para entendermos a origem desses e outros ângulos (30º e 90º), que também podemos classificar como notáveis, para tanto, utilizamos demonstrações geométricas como pelo estudo do triângulo equilátero e do quadrado enquanto uma figura regular plana.

Elementos do triângulo equilátero
- Os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes, todos iguais á 60º.
- A altura do triângulo equilátero também é bissetriz e mediana.
- A altura do triângulo equilátero é função das medidas dos lados.
- Como a altura do triângulo equilátero também é mediana, ela divide a base ao meio e pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras:

- A área do triângulo equilátero também é função das medidas dos lados, que é dada por:
A = (base x altura) / 2
(Mova os pontos)

Observe que os três lados são iguais.

Cálculo da altura
Aplicando o teorema de Pitágoras

Exercício: Trigonometria (comentada)

Trigonometria na circunferência

Seno e cosseno de um arco trigonométrico
     Chama-se seno do arco trigonométrico AM de medida alfa à ordenada de M.
     Chama-se cosseno do arco trigonométrico AM de medida alfa à abcissa de M.
Mova o ponto M.


Tabela de arcos notáveis

Arco	30º (π / 6 rad)	45º (π / 4 rad)	60º (π / 3 rad)
Seno	1/2	√2 / 2	√3 / 2
Cosseno	√3 / 2	√2 / 2	1/2

Tangente de um arco trigonométrico
     Chama-se tangente de um arco trigonométrico de medida x à razão entre o seno e o cosseno desse arco. Então:

Interpretação geométrica

Funções trigonométricas
Função cosseno
Função seno
Função tangente 
O círculo trigonométrico

Trigonometria no triângulo qualquer

Na figura abaixo são dados: tgâ= 0,5 e tgb = 1,5. Se d = 40 cm, qual é o valor de h + x?

Resolução:

Tgâ = h / d+x -> 0,5 = h / 40+x -> h= 0,5 (40+x) -> h= 20+0,5x

Tgb = h / x -> 1,5 = h / x -> h = 1,5 x

Igualando:
20 + 0,5x = 1,5 x

20 - 20 + 0,5x = 1,5x - 20

0,5 x = 1,5 x - 20

0,5x - 1,5 x = - 20

- x = - 20

x = 20

Se x=20, substituindo em h = 1,5 x -> h= 1,5 . 20 -> h =30

Trigonometria: Ângulos notáveis

    Os ângulos 30º, 45º e 60º são assim chamados, porque aparecem com frequência na resolução de cálculos e problemas.

Grandezas e medidas

Medidas de comprimento,

Medidas de massa,
Medidas de área,
Medidas de volume
Volume de um cilindro
Medidas de tempo,
Medidas de ângulos,
Medidas de temperatura,
Sistema monetário,
Relações  métricas no triângulo retângulo,
Trigonometria no triângulo retângulo.
Progressão aritmética P.A.
Progressão Geométrica P. G.
Arcos: conversão de unidades

Evolução histórica da matemática

• 4000 a.C. - Na Mesopotâmia, os sumérios desenvolvem um dos primeiros sistemas numéricos, composto de 60 símbolos.
• 520 a.C. - O matemático grego Eudoxo de Cnido define e explica os números irracionais.
• 300 a.C. - Euclídes desenvolve teoremas e sintetiza diversos conhecimentos sobre geometria. É o início da Geometria Euclidiana.
• 250 - Diofante estuda e desenvolve diversos conceitos sobre álgebra.
• 500 - Surge na Índia um símbolo para especificar o algarismo zero.
• 1202 - Na Itália, o matemático Leonardo Fibonacci começa a utilizar os algarismo arábicos.
• 1551 - Aparece o estudo da trigonometria, facilitando em pleno Renascimento Científico, o estudo dos astros.
• 1591 - O francês François Viète começa a representar as equações matemáticas, utilizando letras do alfabeto.
• 1614 - O escocês John Napier publica a primeira tábua de algorítimos.
• 1637 - O filósofo, físico e matemático francês René Descartes desenvolve uma nova disciplina matemática: a geometria analítica, com a mistura de álgebra e geometria.
• 1654 - Os matemáticos franceses Pierre de Fermat e Blaise Pascal desenvolvem estudos sobre o cálculo de probabilidade.
• 1669 - O físico e matemático inglês Isaac Newton desenvolve o cálculo diferencial e integral.
• 1685 - O inglês John Wallis cria os números imaginários.
• 1744 - O suíço Leonard Euler desenvolve estudos sobre os números transcendentais.
• 1822 - A criação da geometria projetiva é desenvolvida pelo francês Jean Victor Poncelet.
• 1824 - O norueguês Niels Henrik Abel conclui que é impossível resolver as equações de quinto grau.
• 1826 - O matemático russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky desenvolve a geometria não euclidiana.
• 1931 - Kurt Gödel, matemático alemão, comprova que em sistemas matemáticos existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.
• 1977 - O matemático norte-americano Robert Stetson Shaw faz estudos e desenvolve conhecimentos sobre A Teoria do Caos.
• 1993 - O matemático inglês Andrew Wiles consegue provar através de pesquisas e estudos o último teorema de Fermat.
  Fonte: http://www.suapesquisa.com/matematica/

A evolução histórica da matemática

A evolução histórica da Matemática*

4000 a.C. - Na Mesopotâmia, os sumérios desenvolvem um dos primeiros sistemas numéricos, composto de 60 símbolos.

520 a.C. - O matemático grego Eudoxo de Cnido define e explica os números irracionais.

300 a.C. - Euclídes desenvolve teoremas e sintetiza diversos conhecimentos sobre geometria. É o início da Geometria Euclidiana.

250 - Diofante estuda e desenvolve diversos conceitos sobre álgebra.

500 - Surge na Índia um símbolo para especificar o algarismo zero.

1202 - Na Itália, o matemático Leonardo Fibonacci começa a utilizar os algarismo arábicos.

1551 - Aparece o estudo da trigonometria, facilitando em pleno Renascimento Científico, o estudo dos astros.

1591 - O francês François Viète começa a representar as equações matemáticas, utilizando letras do alfabeto.

1614 - O escocês John Napier publica a primeira tábua de algorítimos.

1637 - O filósofo, físico e matemático francês René Descartes desenvolve uma nova disciplina matemática: a geometria analítica, com a mistura de álgebra e geometria.

1654 - Os matemáticos franceses Pierre de Fermat e Blaise Pascal desenvolvem estudos sobre o cálculo de probabilidade.

1669 - O físico e matemático inglês Isaac Newton desenvolve o cálculo diferencial e integral.

1685 - O inglês John Wallis cria os números imaginários.

1744 - O suíço Leonard Euler desenvolve estudos sobre os números transcendentais.

1822 - A criação da geometria projetiva é desenvolvida pelo francês Jean Victor Poncelet.

1824 - O norueguês Niels Henrik Abel conclui que é impossível resolver as equações de quinto grau.

1826 - O matemático russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky desenvolve a geometria não euclidiana.

1931 - Kurt Gödel, matemático alemão, comprova que em sistemas matemáticos existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.

1940 - Na França, outros três volumes do Elementos de matemática, de Bourbaki são lançados no período da Segunda Guerra Mundial.

1977 - O matemático norte-americano Robert Stetson Shaw faz estudos e desenvolve conhecimentos sobre A Teoria do Caos.

1993 - O matemático inglês Andrew Wiles consegue provar através de pesquisas e estudos o último teorema de Fermat.

*Em construção.

Problemas e soluções

ENSINO FUNDAMENTAL
6º ano: Medidas,Geometria,
7º ano: Potências, Triângulos e quadriláteros,
8º ano: Ângulos, Geometria e álgebra
9º ano: Radiciação, Equação trigonométrica, Bissetriz, Função quadrática1,2 Conjunto dos Reais, Tales e triângulos, Trigonometria, Semelhança de triângulos, Semelhança I, Semelhança III, Geometria

Exercício: Trigonometria e equação do 2º grau (comentada)

Introdução

Oficina virtual de matemática A construção de um retângulo de ouro. Ângulo Ângulos na circunferência Ângulos no círculo (central e inscrito) Ângulos no triângulo A quadratura do círculo A ideia do Seno A ideia de Cosseno A ideia de tangente Área do quadrado Área do círculo Área do losango Área do retângulo Área do triângulo Área do trapézio Arco da circunferência Baricentro Binômio de Newton Bissetriz de um ângulo Cálculo algébrico Cálculo do zero da função quadrática Círculo Circuncentro Circunferência e círculo Classificação dos triângulos (lados) Classificação dos triângulos (ângulos) Circunferências em posições relativas Circunferências tangentes internas Circunferências tangentes externas Circunferências externas Circunferências secantes Circunferências internas Circunferências concêntricas Coeficiente angular da reta Coordenadas do vértice (triângulo) Comprimento da circunferência Construção da parábola Congruência de triângulos Completamento de quadrados Coroa circular Cosseno no círculo trigonométrico Cosseno no círculo trigonométrico II Criando o conceito sobre função Desigualdade triangular Diagonal de um polígono Equação Equações com duas variáveis Equação biquadrada Equação da reta Equação fracionária Equação irracional Equação linear Equação matricial Equação da circunferência Equação polinomial Equação trigonométrica Equações do 2º grau Equação e gráfico do 2º grau com uma variável Estudo das retas Estudo dos ângulos I Estudo dos ângulos II Evolução histórica da matemática Exercícios para download Formas geométricas Fatoração de polinômios Frações algébricas Fração de uma quantidade Função matemática Função do 1º grau Função do 1º grau (conceitos) Função afim ou do 1º grau Função do 1º grau (sistemas) Função do 2º grau Função crescente do 1º grau Função constante Função composta Função cúbica Função decrescente Função exponencial Função contínua Função cosseno Função identidade Função linear Função linear inversamente proporcional Função modular Função polinomial Função seno Clássicos da matemática Introdução à linguagem de programação(Scractch) Números e operações Álgebra e funções Espaço e forma Grandezas e medidas Tratamento da informação Didática Dicionário matemático Problemas e soluções Bibliografia

Gráfico de frações Gráfico da função de 1º grau (análise) Grau Graus, minutos e segundos Inclinação de uma curva Incentro Inequação de 1º grau Inequação do 2º grau Introdução ao estudo dos limites Propriedades dos limites O tangram Pi - um número irracional Projeção ortogonal Todo quadrado é um retângulo? Representação da raiz quadrada O completamento de quadrados Quadrado da soma Quadriláteros (trapézios) Lei dos senos Lei dos cossenos Linguagem algébrica Logarítimos Matrizes Matriz transposta Máximos e mínimos (situação didática) MMC de expressões algébricas Introdução ao estudo dos limites Máquina de função Números opostos O que é medir Operações com funções Ortocentro Homotetia Parábola Parábola (diretriz e foco) Paralelismo Paralelogramos Perpendicularismo Posições entre uma reta e uma circunferência Posições relativas de dois planos no espaço Polígonos Polígonos regulares Postulado das paralelas (duras retas paralelas cortadas por uma transversal Postulados de Euclides Problemas do envolvendo equações do 2º grau Produtos notáveis Produto cartesiano Raízes de uma equação do 2º grau Razão: lista de exercícios Reflexão Retas no espaço Regra da potência Regra de Sarrus Regra de Cramer Retas e circunferências Relações entre cordas Relações métricas na circunferência (exercícios) Relações de Girard Relações entre álgebra e geometria Segmento circular Segmentos de reta Semelhança de triângulos Seno no círculo trigonométrico Setor circular Sólidos geométricos Sólidos platônicos Sinais da função quadrática Sistema cartesiano Sistemas de equações Sistemas de inequações Sistemas escalonados Sistemas equivalentes Sistemas lineares Sistemas lineares: classificação Taxa de variação Teoremas da geometria plana Teorema das raízes racionais Teorema de Pitágoras Teorema de Tales Teorema dos ângulos internos de um triângulo Teorema da semelhança de triângulos Translação Triângulos Triângulo equilátero Triângulo isósceles Triângulo retângulo Trigonometria no triângulo retângulo Triângulo retângulo: relações métricas Vértice da parábola Vértice da parábola (cálculo online) Volume dos sólidos geométricos Volume de um cilindro Volume do cone Zero da função de 1º grau Zeros da função quadrática ou de 2º grau

Glossário T

T
Tales
Filósofo e matemático grego, viveu no século VI a.C. e começou sua vida como mercador. É o primeiro personagem conhecido a quem se associa descobertas matemáticas.

Tangente de um ângulo agudo
Num triângulo retângulo, a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente.

Trapézio
Quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos.

Triângulo
Polígono de 3 lados.

Triângulo acutângulo
É o triângulo em que os três ângulos internos são agudos (<90º).

Triângulo equilátero
É o triângulo que possui os três lados com a mesma medida.

Triângulo escaleno
É o triângulo que possui os três lados com medidas diferentes.

Triângulo isósceles
É o triângulo que possui dois lados com a mesma medida.

Triângulo obtusângulo
É o triângulo em que um dos seus ângulos internos é obtuso (>90º).

Triângulo retângulo
É o triângulo em que um dos seus ângulos internos é reto (90º).

Trigonometria
Ramo da matemática que estuda no triângulo as relações entre as medidas dos lados e amplitude dos ângulos.

O Círculo trigonométrico

     O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto (x,y) pertencente ao círculo esta a uma distância 1 da origem, então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: x² + y² = 1.




 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA