O princípio da igualdade é um conceito fundamental na matemática, principalmente em álgebra, e é essencial para resolver equações. Entender esse princípio é o primeiro passo para dominar a resolução de problemas.
O Princípio da Igualdade
O princípio da igualdade nos diz que uma equação é como uma balança de dois pratos que precisa estar sempre equilibrada. O sinal de igualdade (=) no meio de uma equação significa que o que está de um lado é exatamente o mesmo que está do outro.
Por exemplo, na equação 5+3=8, o lado esquerdo (5+3) é igual ao lado direito (8). Se você mexer em um dos lados da balança (a equação), a balança fica desequilibrada, a menos que você faça a mesma coisa do outro lado.
Propriedades da Igualdade
Existem algumas propriedades básicas que ajudam a entender como a igualdade funciona:
1. Propriedade Reflexiva: Qualquer número é igual a ele mesmo. Por exemplo, 7=7. Isso pode parecer óbvio, mas é a base para a ideia de que um valor é idêntico a si mesmo.
2. Propriedade Simétrica: Se a=b, então b=a. Ou seja, a ordem não importa. Se sabemos que x+2=5, também sabemos que 5=x+2.
3. Propriedade Transitiva: Se a=b e b=c, então a=c. Imagine que se a altura de João é igual à de Pedro, e a altura de Pedro é igual à de Maria, então a altura de João é igual à de Maria. Em matemática, se x=4 e 4=y, podemos concluir que x=y.
Princípio de Equivalência Aditivo
O Princípio de Equivalência Aditivo diz que podemos adicionar ou subtrair o mesmo número dos dois lados de uma equação sem alterar a igualdade. Isso é o mesmo que adicionar ou remover o mesmo peso dos dois pratos da nossa balança.
Imagine a equação x+3=8. Para descobrir o valor de x, queremos que ele fique sozinho de um lado. Para "desfazer" a adição de 3, fazemos a operação inversa, que é a subtração de 3. Mas, para manter a balança equilibrada, precisamos fazer isso nos dois lados:
x+3−3=8−3
x=5
O mesmo vale para a subtração. Se temos y−2=6, adicionamos 2 dos dois lados:
y−2+2=6+2
y=8
Princípio de Equivalência Multiplicativo
O Princípio de Equivalência Multiplicativo diz que podemos multiplicar ou dividir os dois lados de uma equação pelo mesmo número (desde que esse número não seja zero) e a igualdade continua verdadeira.
Por exemplo, na equação 3x=12, queremos isolar o x. A operação inversa da multiplicação por 3 é a divisão por 3. Fazemos isso nos dois lados:
3x/3=12/3
x=4
Para a divisão, se temos 4z=5, a operação inversa é a multiplicação por 4:
z/4⋅4=5⋅4
z=20
Esses dois princípios são a base para resolver a maioria das equações lineares e são ferramentas poderosas para qualquer aluno que queira avançar na matemática. O segredo é sempre lembrar da balança: o que você faz em um lado, você precisa fazer no outro para manter o equilíbrio.
