Propriedades dos Conjuntos Numéricos
O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).
O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).
O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).
Propriedades das operações matemáticas
ℝ é fechado em relação à adição, subtração, multiplicação e divisão por números reais diferentes de zero. O conjunto dos números reais é denso, isto é, há infinitos reais entre dois reais quaisquer e, da mesma forma que o conjunto dos irracionais, não é enumerável.
O que e uma operação fechada?
Em matemática, um conjunto é fechado em relação a uma dada operação quando o resultado dessa operação em elementos desse conjunto é ainda um elemento desse conjunto.
Chamamos sentenças abertas, as sentenças que não podemos identificá-las como verdadeiras ou falsas: x + 1 = 0: não podemos afirmar se é verdadeira ou falsa, pois depende do valor de x.
Propriedades das expressões numéricas
Potenciação e Radiciação;
Multiplicação e Divisão;
Adição (soma) e Subtração.
Essa é a ordem de precedência em que as operações devem ser resolvidas. Se alguma dessas regras citadas acima aparecer mais de uma vez, deve-se resolvê-las da esquerda para a direta, preferencialmente nessa ordem.
Propriedades da multiplicação
Comutativa: a x b = b x a
Distributiva: a(b + c)
Associativa: 12 x 4 x 5 → 12 (4 x 5); (12 x 4) 5
Elemento neutro: a x1 = a
Elemento inverso: 1/a → a/1
Distributiva: a(b + c)
Associativa: 12 x 4 x 5 → 12 (4 x 5); (12 x 4) 5
Elemento neutro: a x1 = a
Elemento inverso: 1/a → a/1
Propriedades da adição
Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado.
Associativa: Somar as parcelas em uma ordem que torne a operação mais fácil.
Elemento neutro: Na adição o elemento neutro é o zero.
Propriedade do fechamento: Dois ou mais números naturais somados, resultam em um número natural.
Propriedade do elemento oposto: O oposto de um número positivo é o seu negativo.
Propriedades da subtração
A subtração não possui muitas propriedades específicas, pois ela não é comutativa nem associativa, mas existe um elemento neutro na subtração, que é o zero, pois por exemplo a - 0 = a.
Propriedades da divisão
A divisão não é comutativa.
A divisão não é associativa.
O quociente da divisão é o mesmo para múltiplos do dividendo e do divisor.
A divisão por 0 é indefinida e quando o dividendo é 0 o resultado da divisão é 0.
Todo número dividido por 1 tem como resultado o próprio número.
Fechamento: A propriedade de fechamento em que a divisão de dois números reais será um número real não satisfaz, pois a divisão por 0 (zero) não tem como resultado um número real.
Propriedades da divisibilidade
Propriedade fundamental das proporções
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
A soma (ou subtração) dos denominadores aos numeradores de suas razões, não altera a proporção.
A soma (ou subtração), dos numeradores e denominadores da segunda razão, aos da primeira, é igual à primeira ou segunda razão.
Propriedades das Frações
Uma fração não se altera, quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número diferente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum.
Uma fração é alterada quando é adicionado ou subtraído um valor igual tanto do numerador quanto do denominador.
Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural, diferente de 0, obtemos uma fração equivalente à fração dada.
