Introdução às Derivadas
O que é uma Derivada?
A derivada de uma função mede a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente. Em termos simples, a derivada representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um determinado ponto.
Definição formal:
f'(x) = limh→0 [f(x + h) - f(x)] / h
f'(x) = limh→0 [f(x + h) - f(x)] / h
Derivadas de Funções Elementares
| Função f(x) | Derivada f'(x) |
|---|---|
| c (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ |
| eˣ | eˣ |
| ln(x) | 1/x |
Derivadas de Funções Trigonométricas
| Função f(x) | Derivada f'(x) |
|---|---|
| sen(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sen(x) |
| tg(x) | sec²(x) |
| cotg(x) | -cosec²(x) |
| sec(x) | sec(x)tg(x) |
| cosec(x) | -cosec(x)cotg(x) |
Regras de Derivação
Regra da constante: (cf(x))' = cf'(x)
Regra da soma: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
Regra da diferença: (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)
Regra do produto: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Regra do quociente: (f(x)/g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²
Regra da cadeia: (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)
Exemplos de Derivação
Clique nos exemplos para ver a solução:
1. Derivada de 3x²
Aplicando a regra da potência e da constante:
(3x²)' = 3 * 2x = 6x
(3x²)' = 3 * 2x = 6x
2. Derivada de x³ + 2x
Aplicando a regra da soma e da potência:
(x³ + 2x)' = 3x² + 2
(x³ + 2x)' = 3x² + 2
3. Derivada de e^(x²)
Aplicando a regra da cadeia:
(e^(x²))' = e^(x²) * (x²)' = 2xe^(x²)
(e^(x²))' = e^(x²) * (x²)' = 2xe^(x²)
4. Derivada de sen(x)/x
Aplicando a regra do quociente:
(sen(x)/x)' = [cos(x) * x - sen(x) * 1] / x² = [xcos(x) - sen(x)] / x²
(sen(x)/x)' = [cos(x) * x - sen(x) * 1] / x² = [xcos(x) - sen(x)] / x²
