EF09MA09: Fatoração

     Em uma sala há três lâmpadas iguais, um televisor e um aparelho de ar condicionado. A TV consome o dobro dos quilowatts-hora (KWh) que uma das lâmpadas consome. O aparelho de ar condicionado consome 15 vezes o que consome uma lâmpada. Quando estão todos ligados ao mesmo tempo, o consumo total é de 1200 KWh. Qual é o consumo do televisor?
Resolução:
3x + 2x + 15x = 1200 (por evidência, fatoramos os monômios, à esquerda da igualdade)
x(3+2+15) = 1200
x(20)= 1200
20x = 1200
20x/20 = 1200/20
x = 60
Logo o consumo do televisor será: 2x = 2.60 = 120 KWh

     FATORAÇÃO
     É o termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação. Com a fatoração busca-se a simplificação das fórmulas matemáticas.

Fatoração dos termos comuns por evidência

Exemplos:

a) 10a + 10b = 10(a + b)

Observe:  

- 10 é fator comum;

- dividimos cada monômio pelo fator comum:

10a : 10 = a

10b : 10 = b

Logo, temos: 10(a + b)

b) xy - x³y³ = xy(1 - x²y²)

Observe:
- xy é o fator comum;
- dividimos cada monômio pelo fator comum:
xy : xy = 1
x³y³ : xy = x²y²
Logo, temos: xy(1 - x²y²)



Fatoração da diferença de dois quadrados

Exemplos:
a) x² - 81 = (x - 9)(x + 9)
b) 16x² - 9y² = (4x - 3y)(4x + 3y)
Observe que a forma fatorada da diferença de dois quadrados, é o produto notável, produto da soma pela diferença de dois termos algébricos.

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Exemplos:
a) 4x² - 12xy + 9y² = (2x - 3y)²
Pois:

•  √ 4x² = 2x (raiz exata)
• √ 9y² = 3y  (raiz exata)
• 2 . 2x . 3y = 12 xy (o dobro das raízes exatas)

 b) y² + 10y + 25 = (y + 5)²
Observe que a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito é um produto notável, que pode ser o quadrado da diferença de dois termos algébricos ou o quadrado da soma de dois termos algébricos.
Observação:
      Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É necessário reconhecer se um trinômio é ou não quadrado perfeito. Para isso devemos considerar as seguintes situações:
     - inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio (os extremos) são quadrados;
     - verificamos se o 2º termo do trinômio é dobro das raízes dos quadrados;
     Se o polinômio, seguir estas regras, então o trinômio é um trinômio quadrado perfeito.

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos
     Observe as multiplicações:
     (x + y) (x² - xy + y²) = x³ - x²y + xy² + x²y - xy² + y³ = x³ + y³, então:
x³ + y³ = (x + y) (x² - xy + y²) -> forma fatorada do polinômio x³ + y³.

Para: x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) -> forma fatorada do polinômio x³ - y³.

Fatoração do polinômio do tipo:
6x⁴ - 12x³ + 4x²
1. Decomposição em fatores primos: 2.3.x.x.x.x - 3.2.2.x.x.x + 2.2.x.x
2. Fatores comuns aos termos: 2.x.x, logo, temos: 2x²
3. Multiplicamos o resultado dos fatores comuns, pelos remanescentes: 2x²(3.x.x- 3.2.x + 2)= =2x²(3x²-6x+2)
 O polinômio 6x⁴ - 12x³ + 4x², simplificado é igual a 2x²(3x²-6x+2).