|N = {0, 1, 2, 3,...n,...}
Para que a subtração fosse sempre possível, ele foi estendido e obtivemos o conjunto dos números inteiros:
Z = {..., -n,..., -2, -1, 0, 1, 2,..., n, ...}
Para que também a divisão fosse possível, estendemos este último e obtivemos o conjunto dos números racionais, que podem se escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros:
Q = { x= a/b, com a Є Z, b Є Z e b ≠ 0}
Em Q, a equação x² = 2 não pode ser resolvida, ou seja, a solução x=√2 não pode ser representada por uma fração a/b, com b diferente de zero e a e b pertencentes a Z. √2 é um exemplo dos números chamados de irracionais (II).
Da união dos racionais com os irracionais surgem os números reais (|R): |R = Q U I.
Portanto, podemos identificar |N como uma parte de Z, Z como parte de Q e Q como parte de |R:
|N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ |R
Sabemos que, se x pertence ao conjunto dos reiais (|), então x²> 0. Assim, a equação x² + 1=0 não tem solução no conjunto dos reais (|R), pois: x² + 1 = 0 => x² = -1 => x= ±√-1
e não existe um número real x que elevado ao quadrado resulte -1. Por isso, temos de estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto chamado de conjunto dos números complexos.
A unidade imaginária
Criamos um nome e um símbolo para o número complexo (0,1). Ele será chamado de unidade imaginária e indicado por i identifica-se com o número complexo (0,1).
Observamos que:
i² = i . i = (0, 1) (0,1) = (0.0 - 1.1, 0.1+1.0) = (-1,0) = -1
Portanto: i² = -1, que é a característica fundamental da unidade imaginária.
Número complexo
É todo número representado na forma de um binômio z = a + bi em que a e b são reais e i = √(-1).
Exemplo:
√-4 = √4.(-1) = √4 . √-1 = 2i
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Adição
(a + bi) + + di) = (a + c) + (b + d)i
Exemplo: (2 + 3i) +(-3 + 4i) = (2 - 3) + (3+ 4)i = -1 + 7i
Subtração
( a + bi) - (c + di) = (a - c) + b - d)i
Exemplo: (1 + i) - (3 + 2i) = (1 - 3) + - 2)i = -2 - 1i = -2-i
Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
(1 + 2i)(2 - 3i) = 1.2+1(-3i) +i)2 + i)(3i) = 2 - 3i + 4i - 6i² = 2 + i - 6(-1) = 2 + i + 6 = 8 + i
Potências de i
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i ; ... i^n = i^r, onde r é o resto da divisão de n por 4.
Conjugado
Z = a + bi Û `z = a – bi
Divisão
Exemplo:
Efetue z1 sabendo que z1= 1 + 2i e z2= 2 + 5i
z2
Resolução
Adição
(a + bi) + + di) = (a + c) + (b + d)i
Exemplo: (2 + 3i) +(-3 + 4i) = (2 - 3) + (3+ 4)i = -1 + 7i
Subtração
( a + bi) - (c + di) = (a - c) + b - d)i
Exemplo: (1 + i) - (3 + 2i) = (1 - 3) + - 2)i = -2 - 1i = -2-i
Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
(1 + 2i)(2 - 3i) = 1.2+1(-3i) +i)2 + i)(3i) = 2 - 3i + 4i - 6i² = 2 + i - 6(-1) = 2 + i + 6 = 8 + i
Potências de i
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i ; ... i^n = i^r, onde r é o resto da divisão de n por 4.
Conjugado
Z = a + bi Û `z = a – bi
Divisão
Exemplo:
Efetue z1 sabendo que z1= 1 + 2i e z2= 2 + 5i
z2
Resolução
