Sendo A uma matriz quadrada de ordem n>, denomina-se cofator do elemento aij de A o número real Aij = (-1)i^j . Dij é o menor complementar de A pelo elemento Aij.
Exemplo:
Se A = ( 3 -5 2
0 1 4
-1 6 -2), temos:
Cofator de a21 = (-1)²⁺¹ . D21 = (-1)³ . | -5 2 |
| 6 -2| = (-1)(-2) = 2
Cofator de a13:
A13 = (-1)¹⁺³ . D13 = (-1)⁴ . | 0 1 |
| -1 6 | = (1)(1) = 1
Matriz dos cofatores
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, é possível saber se existe ou não a matriz A⁻ ¹, inversa de A, verificando se det A é diferente de zero. Existira o cofator de A, quando o determinante for diferente de zero.
det A é diferente de zero, se e somente se, existir a matriz inversa, tal que A.A⁻¹ = A⁻¹A=In (matriz identidade).
det A ≠ 0 <=> ∃ A⁻¹ | AA⁻¹ = A⁻¹A= In
Seja a matriz quadrada A = (aij) de ordem n.
Denomina-se matriz dos cofatores de A (A') a matriz que se obtém substituindo cada elemento aij de A pelo seu respectivo cofator Aij.
| 1 3 5 |
Dado A = | 2 0 6 |, calcule A':
|4 -1 3 |
A11
= (-1)¹⁺¹ . | 0 6|
|-1 3| = 6
A12
= (-1)¹⁺² . | 2 6|
| 4 3| = 18
A13
= (-1)¹⁺³ . | 2 0|
|4 -1| = -2
A21
= (-1)²⁺¹ . | 3 5|
|-1 3| = -14
A22
= (-1)²⁺² . | 1 5|
|4 3| = -17
A23
= (-1)²⁺³ . | 1 3|
|4 -1| = 13
A31
= (-1)³⁺¹ . | 3 5|
|0 6| = 18
A32
= (-1)³⁺² . | 1 5|
|2 6| = 4
A33
= (-1)³⁺³ . | 1 3|
|2 0| = -6
Logo A' = ( 6 18 -2
-14 -17 13
18 4 -6) é a matriz dos cofatores de A.