Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Exemplos:
a) 4x=3²
b) (1/3)x= 81
c) 25x+1=√25x
d) 22x=2x+12
Lembrar que: O domínio de qualquer função exponencial é (-∞, ∞).
Resolução de equações exponenciais que podem ser transformadas numa igualdade de potências de mesma base.
a) 3x-1 = 81 => 3x-1 = 3⁴
Igualamos os expoentes: x-1 = 4 → temos uma equação 1º grau, logo: x = 5
b) (1/2)x = 3√4 →
Transformamos ½ em 2-1 , pois 2-1 = 1/2¹ : potenciação.
Transformamos 3√4 em 4¹/³: radiciação.
Então:
(2-1)x = 4¹/³ →
(2-1)x : pela potenciação. -> 2-x
41/3 : fatoramos o 4. --> (2²) --> (2²)¹/³ --> pela potenciação: 2²/³
Temos, então:
2-x = (2²)¹/³ → 2-x = 2²/³
Igualando os expoentes:
-x = 2/3 (.-1)→ x = -2/3
c) 2x² -3x -4 = 1 → Como 1 é igual 2º → 2x² -3x -4 = 2º → igualando os expoentes:
x² -3x-4 = 0 (equação do 2º grau): resolvendo por Bhaskara → x’= 4 e x”=-1
Resolução de equações exponenciais usando artifícios de cálculo
a) 3 . 4x+1 = 96 --> isolamos 4x+1 = 96/3 --> 4x+1 = 32 -->
Fatoramos 4: (2²) --> (2²)x+1 = 22x+2
Fatoramos 32: 2⁵
Obtemos potências de mesma base e igualamos os expoentes:
2x+2 = 5 ---> Eq. do 1º grau.
x = 3/2
b) 2x+2 + 2x-1 = 18
2x+2 = 2x . 2²
2x-1 =2x . 2-1
Logo: 2x . 2² + 2x . 2-1 = 18
Transformamos a base numa variável: 2x = y, logo:
y . 4 + y . 1/2 = 18 --> multiplicamos
4y + y/2 = 18 --> resolvendo a equação obtemos: 8y + y = 36 --> 9y = 36 --> y = 4
Como igualamos 2x = y e como y=4, logo obtemos 2x=4; fatorando o 4 : 2² -->
Igualamos os expoentes: x = 2
(Observe que para resolver problemas que envolvem equações e funções exponenciais, você deve dominar o conteúdo chamado de cálculo algébrico, na 7ª/8ª séries do Ensino Fundamental).