(EF09MA09)
Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações.
• Equação do 2º grau com uma incógnita (completa e incompleta);
• Forma reduzida;
Observe as seguintes equações do 2 o grau com uma incógnita:
• x² - 5x + 6 = 0; y² - 25 = 0; -3t² + 4t -1 = 0 ; -2x² + 8x = 0
Essas equações estão escritas na forma ax² + bx + c = 0, que é denominada forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita.
Há, porém, algumas equações do 2o grau que não estão escritas na forma ax² + bx + c = 0, como, por exemplo:
• 3x² - 6x = x - 3
Por meio de transformações, nas quais aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade, tais equações podem passar a ser expressas nessa forma. Acompanhe as situações a seguir.
1 Escrever a equação 2x² - 7x + 4 = 1 - x² na forma reduzida.
2x² - 7x + 4 = 1 – x² → equação dada
2x² - 7x + 4 - 1 + x² = 0 → aplicamos o princípio aditivo
3x² - 7x + 3 = 0 → forma reduzida da equação dada
• Resolução de equações completas e incompletas;
Equações incompletas
Resolvendo equações da forma ax² + bx = 0
Resolvendo equações da forma ax² + c = 0
Equações completas
O processo algébrico de Bhaskara
Fórmula resolutiva.
é chamada fórmula resolutiva da equação completa do 2º grau ax² + bx + c = 0.
A expressão b² – 4ac (que é um número real) é usualmente representada pela letra grega ∆(delta) e é chamada de discriminante da equação.
Então a fórmula resolutiva pode ser escrita assim:
A fórmula resolutiva recebeu, também, o nome de fórmula de Bhaskara em homenagem ao grande matemático hindu.
A existência ou não de raízes reais, bem como o fato de elas serem duas iguais ou diferentes, depende, exclusivamente, do valor do discriminante ∆ = b² – 4ac.
Na equação ax² + bx + c = 0, temos ∆ = b² - 4ac e consideramos:
• Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita: soma e produto das raízes;
SOMA DAS RAÍZES
Considere a equação ax² + bx + c = 0, com a 5≠0, e x‘ e x’ as raízes reais dessa equação. Entre as raízes x‘ e x’ e os coeficientes a, b e c da equação existem duas relações importantes, as quais veremos a seguir.
1ª relação: Sendo x‘ e x’ as raízes reais da equação, temos:
PRODUTO DAS RAÍZES
2ª relação: Sendo x‘ e x’ as raízes reais da equação, temos:
Multiplicando membro a membro as duas igualdades, obtemos a 2ª relação.
• Escrevendo uma equação quando conhecemos as raízes;
• Equações biquadradas;
• Equações irracionais.