Lei dos cossenos

Relações métricas em um triângulo qualquer
1) Quando o triângulo for retângulo, vale a relação de Pitágoras: a² = b² + c²
2) Para um triângulo qualquer, com ângulo agudo, vale a relação: a² = b² + c² - 2bc . Cos A.

ABC é um triângulo com A agudo.
No triângulo BCD: a² = n² + h²
No triângulo BAD: c² = h² + m² --> h² = c² - m²
                                b = m + n --> n = b - m
Fazemos então: a² = (b - m)² + c² - m² ==> a² = b² + c² - 2bm
Mas no triângulo BAD: cos A = m/c ==> m = c.cosA
Logo: a² = b² + c² - 2bc . cos A

Ou

3) Para um triângulo qualquer, com ângulo obtuso, vale a relação: a² = b² + c² + 2bc (180º - A).

ABC é um triângulo com A obtuso.
No triângulo BCD: a² = n² + h²
No triângulo BAD: c² = h² + m² --> h² = c² - m²
                                n = b + m
Fazemos então: a² = (b+m)² + c² - m²  ==> a² = b² + c² + 2bm
Mas no triângulo BAD: cos (180º - A) = m/c . cos (180º - A)
Logo: a² = b² + c² + 2bc (180º - A)