Função matemática

Funções

     Objetivos:

• Identificar relações entre duas grandezas.
• Compreender o conceito de função.
• Escrever a  lei de formação de uma função.
• Identificar a variável dependente e a variável independente.
• Representar uma função por meio de diagramas e gráficos.
• Verificar se um gráfico representa uma função.
• Reconhecer funções afim e quadrática.
• Identificar os termos associados às funções afim e quadrática.
• Construir gráficos de funções afim e quadráticas.
• Relacionar a função linear com a proporcionalidade entre duas grandezas.
• Determinar o zero de uma função afim e o ponto de interseção do gráfico dessa função com o eixo y.
• Classificar as funções quadráticas em completas e incompletas.
• Determinar os zeros de uma função quadrática, o ponto de interseção de seu gráfico com o eixo y e o vértice da parábola.
• Determinar o ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadrática.

Um pouco de história

Segundo à História da Matemática, Leibniz (1646-1716), ao analisar uma curva à procura de extremos usou a palavra função (1673) no sentido que ainda hoje é dado, como sendo uma aplicação entre conjuntos.
Atualmente, as funções estudadas, e usadas nas aplicações, retem no fundamental a ideia de dependência entre as variáveis, termo este também criado por Leibniz, que introduziu igualmente os termos de "constantes" e "parâmetros". 
A noção de função é atualmente, "chave" na Matemática.

Uma função pode ser:

- uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um dos seus elementos;

- uma lei para que cada valor x, é correspondido por um elemento y, também denotado por f(x);

Tipos de funções matemáticas

- função sobrejetora, injetora, trigonométrica, modular, do primeiro grau, do segundo grau, exponencial, logarítmica, polinomial, dentre outras.

Cada função é definidas por leis generalizadas e propriedades específicas.

Função no cotidiano

Na padaria em que Marcelo trabalha, o preço do pão francês é R$ 0,35.

Perto do balcão há uma placa com os preços:

- Que grandezas estão relacionadas nessa situação?

  (grandeza é tudo o que podemos contar, medir, pesar.)

  Na questão estão relacionadas duas grandezas: o número de pães e o respectivo preço, isto é, conforme varia uma, a outra varia também, de forma que a cada quantidade de pães corresponde a um único preço. 

Por isso, podemos dizer que o preço à pagar, é função do número de pães.

- Que fórmula poderia ser usada  para calcular o preço de uma quantidade qualquer de pão?

Para calcular o preço Y de uma quantidade n qualquer de pães, podemos usar uma sentença matemática para representar  essa função:

y = 0,35 . n ou y = 0,35n

Essa sentença é chamada lei de formação, ou fórmula dessa função.

Definição de função

É uma relação entre duas variáveis x e y, tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x esta associado, um e somente valor para y.

- a relação é expressa por y=f(x);

- o conjunto de valores de x é dito domínio (D) da função.

- as variáveis x e y são ditas, respectivamente, independente e dependente. 

Noção de função via conjuntos

Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B (f:A-> B), é uma regra que diz como associar cada elemento x que pertence à A a um único elemento y que pertence a B.

A função f, transforma x de A em y de B.

O conjunto A chama-se Domínio da função (D(f))

O conjunto B, chama-se contradomínio da função (CD(f))

Imagem de uma função f (Im(f)), é a regra que associa os dois conjuntos.

Este diagrama não representa uma função, pois existe um elemento no conjunto A (o número zero) que não tem correspondente em B.

ATENÇÃO

Não confundir função com equação, pois, enquanto uma função pode assumir várias valores; uma equação pode assumir determinados valores, isto é, uma equação tem um domínio restrito.

Por exemplo, quando resolvemos uma equação do 2º grau, podemos encontrar duas raízes reais e diferentes, duas raízes reais e iguais ou uma raiz nula.

Imagem de um elemento pela função

     O que significa dizer que um número é imagem de outro pela função f ?

Observe o diagrama que representa uma função f: A --> B, que relaciona x de A com y de B.

Mas observe o seguinte:

Como se calculou os valores da imagem, isto é, os elementos do conjunto B?

Resolvendo:

Para isso criou-se a função: f(x) = 2x + 1, veja que se substituirmos a incógnita x, pelos elementos do conjunto A, obtemos o conjunto B. 

Determinação do domínio de uma função

     São os números reais que ao serem substituídos no lugar  de x na lei da função (y=f(x)) satisfazem essa lei, dando como resultados apenas números reais.

Para que esses resultados sejam números reais, devemos observar:

- Não se pode dividir por zero.

-Não existe raiz real de índice par com o radicando negativo.

Exemplos:

1. f(x) = 3x² -2x => Seu domínio é todo conjunto dos números reais, ou seja: Dom = |R

(Observe que se substituirmos o x, por qualquer número real, teremos para f(x), um número real.)

2. f(x) = x / 4-x => Seu domínio é todo conjunto dos números reais com exceção do valor x=4, que anula o denominador, ou seja: Dom = |R- {4} ou Dom = {x  |R | x ≠ 4}

(Pois o denominador seria zero, o que não pode).

3. f(x) = √x => Seu domínio é todo conjunto dos números reais com exceção dos números  negativos, ou seja: Dom = {x  |R | x ≥ 0} = |R+

(Lembre-se que não existe raiz real de índice par com o radicando negativo.)

4. f(x) = ³√x - 1 => Seu domínio é todo conjunto dos números reais, ou seja: Dom=|R

(Observe que o índice da raiz é três, portanto o índice é ímpar).

5. f(x) = 1/√x => Seu domínio é o conjunto dos números reais positivos, pois x ≠ 0 e x  ≥ 0, simultaneamente, ou seja: Dom = { x   |R | x > 0} = |R^*₊

(Observe que o valor de x, deve ser diferente de zero e positivo, pois não existe raiz real de índice par com o radicando negativo).

Função linear

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