Todos os alunos de uma escola de ensino fundamental participarão de uma gincana. Para essa competição, cada equipe será formada por alunos de uma mesma série com o mesmo número de participantes. Veja no quadro a distribuição de alunos por série.
Divisores de 120: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 60, 120}
Divisores de 108: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36, 108}
Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 50, 100}
mdc (120, 108, 100) = 4
Logo cada equipe será composta no máximo por 4 alunos.
Resolução de método prático
Um teatro está em fase final de construção. Ele terá três setores para acomodar o público:
- setor A, de frente para o palco, com 135 lugares;
- setor B, na lateral direita do palco, com 105 lugares;
- setor C, na lateral esquerda do palco, com 90 lugares.
O número de poltronas em cada fileira será o mesmo nos três setores e esse número deve ser o maior possível. Quantas fileiras de quantas poltronas haverá em cada setor?
Resolução:
Como o número de poltronas em cada fileira deve ser o mesmo nos três setores, ele deve ser ao mesmo tempo divisor de 135, 105 e 90.
- divisores de 135: 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135.
- divisores de 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.
- divisores de 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Os números 1, 3, 5 e 15 são os divisores comuns de 135, 105 e 90.
Como queremos que esse divisor seja o maior possível, escolhemos o 15. Então, 15 é o máximo divisor comum de 135, 105 e 90. Assim: mdc(135, 105, 90) = 15
Logo, as fileiras devem ter 15 poltronas.
E quantas serão as fileiras?
Setor A: 9 fileiras de 15 poltronas cada. 135:15=9
Setor B: 7 fileiras de 15 poltronas cada. 105:15=7
Setor C: 6 fileiras de 15 poltronas cada. 90:15=6
Método prático, para calcular o M.D.C:
135 | 3 105 | 3 90 | 2
45 | 3 35 | 5 45 | 3
15 | 3 7 | 7 15 | 3
5 | 5 1| 5 | 5
1 | 1 |
135 = 3.3.3.5 = 3².5 105 = 3.5.7 90 = 2.3.3.5 = 2.3².5
ou pela decomposição simultânea:
135, 105,90 | 2
135, 105, 45| 3
45 , 35, 15 | 3
15, 35, 5 | 3
5, 35, 5 | 5
1, 7, 5 | 7
1, 1, 1 | 1 Observe que 3 divide: 135, 105 e 45;
5 divide: 5, 35 e 5, logo: 3 . 5 = 15 que é o MDC.