Os axiomas da aritmética

     Os seguintes axiomas são tudo o que se necessita como base da estrutura elaborada da aritmética:

1. Para quaisquer números m e n: m+n = n +m e mn = nm.
2. Para quaisquer números m, n e k(m + n) + k = m + (n + k) e (mn)k = m(nk)
3. Para quaisquer números m, n e km(n + k) = mn + mk
4. Existe um número 0 que possui a propriedade de que, para qualquer número n, n + 0 = n.
5. Existe um número 1 que tem a propriedade de que, para qualquer número n, n x 1 = n.
6. Para cada número n, existe outro número k tal que n + k = 0.
7. Para quaisquer números m, n e kse k ≠ 0 e kn = km, então m = n.
        A partir desses axiomas outras regras podem ser demonstradas. Por exemplo, aplicando-se rigorosamente os axiomas e presumindo-se nada mais, nós podemos provar rigorosamente a regra aparentemente óbvia de quese m + k = n + k, então m = n. Para começar podemos declarar que m + k = n + k. Então, pelo axioma 6, façamos l ser um número tal que k + l = 0, assim(m + k) + l = (n + k) + l. Então, pelo axioma 2, m + (k + l) = n + (k + l). Tendo-se em mente que k + l = 0, nós sabemos que m + 0 = n + 0. E aplicando o axioma 4 nós podemos finalmente declarar o que nos propusemos a demonstrar: m = n.