Uma escada, esta apoiada na janela do segundo
andar de um edifício de 10 metros. Acidentalmente esta escada
deslizou alguns centímetros pela parede, conforme figura abaixo.
Quanto esta escada deslizou pela parede?
Visto que o pé da
escada esta a 6m da parede e seu topo à 10 metros. Sendo que a
escada deslizou 3 metros no chão. Logo calculamos a hipotenusa (h)
da escada (seu comprimento), por Pitágoras:
h² = x² + y²
h² = 9² + 10²
h = √
181 = 13,45
Calculemos
agora o valor de dy. A nova altura tiramos de y – dy, por
Pitágoras:
13,45²
= (y – dy)² + 9²
13,45²
– 9² = (y – dy)²
180,90
– 81 = (y - dy)²
99,90
= (y – dy)²
y
– dy = √
99,90
y
– dy = 9,99
-
dy = 9,99 – 10
dy ≈
0,01
Logo,
podemos escrever a razão entre dy e dx:
dy
/ dx = - 0,01 / 3 = - 0,0033 m ou 0,33 cm
Para derivar
xn
- multiplica-se a base pelo expoente, e reduz-se o expoente por 1 unidade, obtendo ao fim do algoritmo xn-1
Assim temos: (xn)' = n . xn-1 . x'
Exemplos:
Derivada com n=2 → (x2)' = 2 . x2-1 . X' = 2 . x¹ = 2x
Derivada com n=3 → (x³)' = 3 . x3-1 . X' = 3 . x² = 3x²
Derivada com n=4 → (x4)' = 4 . x4-1 . X' = 4 . x³ = 4x³
Caso
1
Dada
a expressão y = x². (lembremos que a ideia fundamental no cálculo
é a de crescimento ou variação).
Mas
o que queremos descobrir é a proporção entre o crescimento de y e
o de x, ou seja a razão entre dy e dx (dy/dx).
Então
x crescendo um pouquinho, se transforma em x + dx e y crescerá
transformando-se em y+ dy.
Logo
da expressão y = x², o aumento de y tem que ser igual ao quadrado
de x, que podemos escrever: y + dy = (x + dx)², donde obtemos →
y
+ dy = x² + 2xdx+(dx)² → produto notável – quadrado da soma.
Obs:
Lembremos que (dx)², significa uma fraçãozinha de x. (é uma
quantidade pequena na segunda ordem de magnitude). Logo, ao
compararmos (dx)² com os outros termos da expressão, podemos
desconsiderá-lo. Então: y + dy = x² + 2x.dx
Como
y = x², podemos subtraí-los da equação, ficando: dy = 2x .dx
Como
queremos saber a razão pela qual y cresce em relação ao
crescimento de x, temos:
dy
/ dx = 2x, ou
seja, conforme x cresce, y cresce 2x.
Caso
2
Derivar
y = x³
Ao
expandirmos o lado direito da igualdade, chegamos a: y + dy = x³
+ 3x² . dx + 3x(dx)² + (dx)³
→ Produto
notável: Cubo da soma de dois termos.
A
seguir podemos omitir as quantidades de segunda e de terceira ordem
de magnitude (ou de pequenez), visto que, quando dy e dx são ambos
feitos tão pequenos quanto queira, (dx)² e (dx)³ ficam muito,
muito menores em comparação. Sendo assim, ao tachar de
desprezíveis, chega-se a:
y
+ dy = x³ + 3x² . dx
Sendo
y = x³, podemos retirar y do lado esquerdo da igualdade e x³ do
lado direito, para obter:
dy
= 3x² . dx \ dy/dx = 3x²
Caso 3
Derivar y = x⁴
Fazemos como antes: x cresce para virar x + dx e fazemos as contas para ver como y cresce até virar y + dy.
y + dy = (x + dx)⁴
Calculando (x + dx)⁴:
Pelo Binômio de Newton
Em que:
Calculamos:
Logo:
Finalmente para usar o teorema da regra da potência, trocamos y por dx e teremos:
(x + dx)⁴ = 1 . (x)⁴ . (dx)⁰ + 4 . (x)³ . (dx)¹ + 6 . (x)² . (dx)² + 4 . (x)¹ . (dx)³ + 1 . (x)⁰ . (dx)⁴
= x⁴ + 4x³ . dx + 6x²(dx)² + 4x(dx)³ + x)⁴
Como
y = x⁴, podemos omitir todos os termos que contenham ordens
mais altas de dx, pois, em comparação com dos outros termos, são
desprezíveis quando dx é bem pequeno, então, temos:
dy
= 4x³.dx
dy / dx = 4x³