Equações do 2º grau

Um pouco de história
     Textos babilônicos, escritos há cerca de 4.000 anos, já faziam referências a problemas que resolvemos hoje usando equações de 2º grau.
     No século IX, al-Khowarizmi, matemático árabe, desenvolveu um processo para resolução desses problemas que deu início à chamada álgebra geométrica.
     No século XII, baseado nos estudos feitos por al-Khowarizmi, o matemático hindu Bhaskara (1114-1185) apresentou um processo puramente algébrico que permitia resolver qualquer equação de 2º grau. Ele chegou a uma fórmula que é usada até hoje e que ficou conhecida como fórmula resolutiva de Bhaskara para equações de 2º grau.

Objetivos
     - Reconhecer uma equação do 2º grau.
     - Identificar os elementos de uma equação do 2º grau.
     - Classificar equações do 2º grau em completas e incompletas.
     - Escrever equações do 2º grau na forma reduzida.
     - Representar situações por meio de uma equação do 2º grau.
     - Determinar as soluções de uma equação do 2º grau.
     - Determinar o número de raízes reais diferentes de uma equação do 2º grau, analisando o valor do
        discriminante.
     - Compreender a relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação do 2º grau.
     - Resolver sistemas que recaem em equações do 2º grau.

Caminhos para à resolução de uma equação do 2º grau:

• Método geométrico do completamento de quadrados.
• Método pela utilização pela fórmula de resolução da equação do 2º grau.
• Resolução de uma equação por meio das relações entre os coeficientes e as raízes.
• Resolução de equações escritas na forma fatorada.

Resolução de uma equação do 2º grau pelo método geométrico do completamento de um quadrado.

     Observe os passos para a resolução, por esse método, da equação x² + 12x - 85= 0.

     x² + 12x___ = 85___ (Observe a seguir que transformamos a expressão x² + 12x, em um quadrado perfeito com a adição de 6²)
     x² + 12x + 6² = 85 + 6²
     (x + 6)² = 121

     x + 6 =  ±√121

     x + 6 = ±11

     x = -6 + 11 = 5  ou  x= -6 - 11 = - 17

Então por ser negativa desprezamos a raiz -17.

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Trinômios quadrados perfeitos e equações do 2º grau
Dada à equação: 9x² - 6x + 1 = 6
Como 9x² - 6x +1 é um trinômio quadrado perfeito, podemos fatorá-lo e reescrever a equação:
(3x² - 1)² = 6, temos que:

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A área da figura, formada por 5 quadrados, é 20. Quanto mede o lado de cada quadrado?

     Resolução: Lembremos que podemos nomear a área de cada quadrado por x², e como temos 5 quadrados, escrevemos 5x², cuja área total da figura é de 20 m², logo: 5x² = 20

     Então, o lado de cada quadrado mede 2 unidades de medida. (desprezamos o -2, por tratarmos da medida do lado de uma figura geométrica plana).

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     Pensei em um número. Elevei-o ao quadrado e somei ao próprio número. Obtive o triplo do número inicial. Em que número pensei?

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     Método pela utilização pela fórmula de resolução da equação do 2º grau.

Em torno de uma quadra de futebol de salão, de comprimento 15 m e largura  8 m, deseja-se deixar uma faixa de largura constante.

     A área da quadra, com a faixa, deve ser 198 m². Qual deve ser a largura da faixa?

      Se x representa a largura da faixa em metros, a quadra com a faixa é um retângulo de dimensões
15 + 2x e 8 + 2x metros. Então, para determinar a área do retângulo, devemos multiplicar o comprimento pela largura : (15 + 2x)(8 + 2x) = 198, logo temos: 2x² + 23x - 39 = 0.
     Do resultado desta multiplicação, temos uma equação nomeada do 2º grau.
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     Uma equação do 2° grau pode ser colocada na forma ax² +bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R e a ≠ 0.

     Da equação 2x² + 23x - 39 = 0, os coeficientes numéricos são:
     a= +2, b= +23 e c= -39 

     Resolver uma equação significa encontrar suas raízes (ou soluções).
     Um número é raiz de uma equação quando, colocado em lugar da incógnita, a equação se transforma numa sentença verdadeira.

      Uma equação será incompleta, quando os coeficientes b e c, forem iguais a zero.
      Por exemplo, da equação do problema acima, se b fosse igual a zero, a equação seria escrita na forma: 2x² + 0.x - 39 = 0 => 2x² - 39 = 0
     Se a mesma equação tivesse o coeficiente c=0, escreveríamos: 2x² + 23x + 0 = 0 => 2x² + 23x=0
     Podemos resolver uma equação do 2º grau através da aplicação da “fórmula de Bháskara”:

Resolução de uma equação por meio das relações entre os coeficientes e as raízes

     Uma equação do 2º grau, com a incógnita x, pode ser expressa em função da soma S e do produto P de suas raízes: x² - Sx + P = 0

Exemplo:

     Resolver a equação: x² -5x + 6 = 0

Temos: S = 5 => x' + x" = 5

            P = 6 => x'  .  x" = 6

Procurando pelo cálculo mental, dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6, temos: x'=2 e x"= 3, pois: 2 + 3 = 5  e  2 . 3 = 6.

Aplicação em vídeo de uma equação do 2º grau

                           

Simplificação de equações do 2º grau

     Em algumas situações, antes de obter as raízes das equações, é necessário simplificá-las.

Exemplo de simplificação de equação do 2º grau:

2(5x - 10) + 5x² = 3x² + 2x + 22

10x - 20 + 5x² = 3x² + 2x + 22

5x² - 3x² + 10x - 2x - 20 - 22 = 0

2x² + 8x - 42 = 0 ---> equação na forma reduzida.

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

     Renata  foi a uma feira na qual o preço de 1 kg de laranjas era R$ 1,25. Sabendo que ela comprou 6 kg, quantos reais Renata vai pagar por essas laranjas?
Resolução

     Observando o quadro podemos notar que, se l kg de laranjas custa R$ 1,25, então 6 Kg de laranjas custará ? reais, logo o valor a ser pago depende da massa de laranjas. Se a massa aumentar 4 vezes, o preço a ser pago também aumentará 4 vezes e, se a massa diminuir pela metade, o preço a ser pago também diminuirá pela metade e assim por diante.
     Dessa forma, dizemos que a massa das laranjas e o preço a ser pago são grandezas diretamente proporcionais.
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     Para colher o milho que plantou, José utilizará duas colhedeiras que, juntas, vão colher toda a plantação em seis dias. Se José contratar quatro colhedeiras, em quantos dias, mantendo o mesmo ritmo de trabalho, será feita toda a colheita?

   Observando o quadro podemos notar que, de duas para quatro, colhedeiras a quantidade foi multiplicada por 2. Nesse caso, como as colhedeiras vão manter o mesmo ritmo de trabalho, o tempo gasto para a colheita será reduzida pela metade, ou seja, será dividida por 2.

    Se a quantidade de colhedeiras diminuir pela metade, o tempo de colheita será o dobro e assim por diante.

    Dessa forma, dizemos que a quantidade de colhedeiras e o tempo de colheita são grandezas inversamente proporcionais.

Regra de três

Objetivos

• Reconhecer grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.
• Compreender a regra de três como um método de resolver problemas que envolvam grandezas proporcionais.
• Utilizar a regra de três simples e composta para resolver problemas que envolvam grandezas proporcionais.

Regra de três simples

         Em um depósito, algumas caixas de mesma dimensão estão sendo estocadas, conforme a figura à seguir.

     Observando as imagens, podemos notar que quanto maior a quantidade de caixas, maior é a altura da pilha. Se dividirmos a altura de cada pilha pela quantidade de caixas da pilha, temos:

     As grandezas "altura da pilha" e "quantidade de caixas" são diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é 15,5. Assim, podemos escrever a seguinte proporção.

     Neste mesmo depósito há uma outra pilha com 12 caixas empilhadas. Qual a altura dessa pilha de caixas?

     Como a altura dessa pilha de caixas é desconhecida, nomeamos essa altura de: X 

     Comparando com a pilha maior apresentada na figura acima, poemos representar a situação pelo quadro à seguir.

     Escrevemos uma proporção baseada no quadro e resolvendo, temos:

     Essa maneira de encontrar o valor de X em uma proporção é chamada de regra de três simples.

   

     Regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais

     É um método para resolver problemas envolvendo grandezas proporcionais. Esse método consiste em resolver problemas que envolvam quatro valores, dos quais três são conhecidos e por meio deles determinamos o valor desconhecido.    

Porcentagem (%)

     O salário Mínimo Brasileiro atualmente é de R$ 622,73 (seiscentos e vinte e dois reais e setenta e três centavos). Segundo o DIEESE, deveria ser igual à R$ 2.293,31 (Dois mil, duzentos e noventa e três reais e trinta e um centavos), e a Contribuição dos Segurados Empregados para o INSS (Instituto Nacional da Previdência Social) é de 8%, que é descontado mensalmente de seu salário.
     Se um trabalhador recebe o Salário Mínimo Brasileiro (R$ 622,73) e descontados 8% de seu salário, quanto receberá no fim do mês?

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Resolução:

     No fim de cada mês, deverá ser descontado o valor correspondente ao cálculo à seguir, isto é:
     8% de R$ 622,73 = 8 : 100 . 622,73 = 0,08 . 622,73 =  49,82 (A palavra "de", deve ser entendida como produto).
     Isto é, o trabalhador receberá depois de descontado o valor a ser recolhido à Previdência Social, o valor referente à 622,73 - 49,82 = 572,91
     Logo o trabalhador "receberá": R$ 572,91 (Quinhentos e setenta e dois reais  e noventa e um centavos).
   
A porcentagem nada mais é do que uma notação (%), usada para representar uma parte de cem partes, ou uma porcentagem é uma fração de nominador 100.
     Assim, "cinco por cento" escreve-se 5% e significa "cinco centésimos", isto é, 5% = 5/100.
     É conveniente ter em mente os significados de algumas delas, face seu uso diário:
     100% = tudo
      50%  = a metade
      25% = a quarta parte
      20% = um quinto
      10% = um décimo
        5% = um vigésimo
        1% = um centésimo