Inequações do 2º grau são: ax² + bx + c > 0; ax²+bx + c < 0; ax² + bx + c ≥ 0; ax² + bx + c ≤ 0
Em que a, b e c são números reais conhecidos, a
≠
0, e x é a incógnita. Análise de sinais Para analisarmos os sinais das funções que aparecem no primeiro membro, o segundo membro deve ser 0. Exemplo: x² - 4x + 3 > 0 Devemos descobrir os valores de x para os quais f(x) = x² -4x +3 é positiva. Temos: a= 1, b= -4, c= 3 (por Bhaskara) zeros: x= 3 ou x = 1 Concavidade: a= 1 => a>0 => para cima Esboço do gráfico:
A função f é positiva para x<1 ou x> 3.
Logo, as soluções da inequação são os números menores que 1 ou maiores que 3:
V = {x ∈ℝ
| x < 1 ou x > 3}
Aplicações:
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Um pouco de história
Textos babilônicos, escritos há cerca de 4.000 anos, já faziam referências a problemas que resolvemos hoje usando equações de 2º grau.
No século IX, al-Khowarizmi, matemático árabe, desenvolveu um processo para resolução desses problemas que deu início à chamada álgebra geométrica.
No século XII, baseado nos estudos feitos por al-Khowarizmi, o matemático hindu Bhaskara (1114-1185) apresentou um processo puramente algébrico que permitia resolver qualquer equação de 2º grau. Ele chegou a uma fórmula que é usada até hoje e que ficou conhecida como fórmula resolutiva de Bhaskara para equações de 2º grau.
Objetivos - Reconhecer uma equação do 2º grau.
- Identificar os elementos de uma equação do 2º grau.
- Classificar equações do 2º grau em completas e incompletas.
- Escrever equações do 2º grau na forma reduzida.
- Representar situações por meio de uma equação do 2º grau.
- Determinar as soluções de uma equação do 2º grau.
- Determinar o número de raízes reais diferentes de uma equação do 2º grau, analisando o valor do
discriminante.
- Compreender a relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação do 2º grau.
- Resolver sistemas que recaem em equações do 2º grau.
Caminhos para à resolução de uma equação do 2º grau:
Método geométrico do completamento de quadrados.
Método pela utilização pela fórmula de resolução da equação do 2º grau.
Resolução de uma equação por meio das relações entre os coeficientes e as raízes.
Resolução de equações escritas na forma fatorada.
Resolução de uma equação do 2º grau pelo método geométrico do completamento de um quadrado.
Observe os passos para a resolução, por esse método, da equação x² + 12x - 85= 0.
x² + 12x___ = 85___ (Observe a seguir que transformamos a expressão x² + 12x, em um quadrado perfeito com a adição de 6²)
x² + 12x + 6² = 85 + 6²
(x + 6)² = 121
x + 6 = ±√121
x + 6 = ±11
x = -6 + 11 = 5 ou x= -6 - 11 = - 17
Então por ser negativa desprezamos a raiz -17.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Trinômios quadrados perfeitos e equações do 2º grau Dada à equação: 9x² - 6x + 1 = 6 Como 9x² - 6x +1 é um trinômio quadrado perfeito, podemos fatorá-lo e reescrever a equação: (3x² - 1)² = 6, temos que:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A área da figura, formada por 5 quadrados, é 20. Quanto mede o lado de cada quadrado?
Resolução: Lembremos que podemos nomear a área de cada quadrado por x², e como temos 5 quadrados, escrevemos 5x², cuja área total da figura é de 20 m², logo: 5x² = 20
Então, o lado de cada quadrado mede 2 unidades de medida. (desprezamos o -2, por tratarmos da medida do lado de uma figura geométrica plana).
Método pela utilização pela fórmula de resolução da equação do 2º grau.
Em torno de uma quadra de futebol de salão, de comprimento 15 m e largura 8 m, deseja-se deixar uma faixa de largura constante.
A área da quadra, com a faixa, deve ser 198 m². Qual deve ser a largura da faixa?
Se x representa a largura da faixa em metros, a quadra com a faixa é um retângulo de dimensões
15 + 2x e 8 + 2x metros. Então, para determinar a área do retângulo, devemos multiplicar o comprimento pela largura : (15 + 2x)(8 + 2x) = 198, logo temos: 2x² + 23x - 39 = 0.
Do resultado desta multiplicação, temos uma equação nomeada do 2º grau. ======================================================================== Uma equação do 2° grau pode ser colocada na forma ax² +bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R e a ≠ 0.
Da equação 2x² + 23x - 39 = 0, os coeficientes numéricos são: a= +2, b= +23 e c= -39
Resolver uma equação significa encontrar suas raízes (ou soluções). Um número é raiz de uma equação quando, colocado em lugar da incógnita, a equação se transforma numa sentença verdadeira.
Uma equação será incompleta, quando os coeficientes b e c, forem iguais a zero.
Por exemplo, da equação do problema acima, se b fosse igual a zero, a equação seria escrita na forma: 2x² + 0.x - 39 = 0 => 2x² - 39 = 0
Se a mesma equação tivesse o coeficiente c=0, escreveríamos: 2x² + 23x + 0 = 0 => 2x² + 23x=0 Podemos resolver uma equação do 2º grau através da aplicação da “fórmula de Bháskara”:
Resolução de uma equação por meio das relações entre os coeficientes e as raízes
Uma equação do 2º grau, com a incógnita x, pode ser expressa em função da soma S e do produto P de suas raízes: x² - Sx + P = 0
Exemplo:
Resolver a equação: x² -5x + 6 = 0
Temos: S = 5 => x' + x" = 5
P = 6 => x' . x" = 6
Procurando pelo cálculo mental, dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6, temos: x'=2 e x"= 3, pois: 2 + 3 = 5 e 2 . 3 = 6.
Aplicação em vídeo de uma equação do 2º grau
Simplificação de equações do 2º grau
Em algumas situações, antes de obter as raízes das equações, é necessário simplificá-las.
