Completamento de quadrados

Dada a equação: x² + 4x - 21 = 0
Note que a expressão do primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito, mas podemos transformá-la para que o seja. Para isso, primeiro somamos 21 aos dois membros da equação.
                                              x² + 4x - 21+21 = 0 + 21 e obtemos x² + 4x = 21

Em seguida, representamos geometricamente cada termo do primeiro membro, e à seguir, tentamos montar um quadrado com as figuras obtidas.
Observe que a área que falta para completar um quadrado perfeito é 2².
Dessa forma, devemos somar 2² ao primeiro membro para formar o trinômio quadrado perfeito. Para não alterar a equação, devemos somar 2² ao segundo membro também. Daí, temos:
                                           
                                              x² + 4x + 2² = 21 + 2²
Fatorando o trinômio quadrado perfeito no primeiro membro, temos:
                                             (x + 2)² = 25 
                                             x + 2 = ± √25
                                             x + 2 = ± 5

Logo, para x + 2 = 5, temos x' = 3.
          para x + 2 = -5, temos x" = - 7.        
Arraste os retângulos e o quadrado menor, para completar o quadrado.

A integral

Para refletir sobre cálculo

Diferencial

- Uma fração

- d : um pouquinho de;

- dx : significa um pouquinho de x;

- du : significa um pouquinho de u.

     No cálculo dx quer dizer um pouquinho de x. Essas coisa tais como dx, du e dy são chamadas de diferenciais.

Integral

- soma de todas as frações;

- ∫dx : significa a soma de todos os pouquinhos de x;

- ∫dt :  significa a soma de todos os pouquinhos de t;

- ∫ : "a integral de" --> Integral= inteiro, completo;

- portanto, a soma de todos os dx é a integral.

O grau relativo de miudeza

- No cálculo, lidamos com quantidades pequenas com vários graus de pequenez.

- Em algumas circunstâncias, quando temos uma quantidade pequena, como sendo tão miúda, que podemos desconsiderá-la.

- Tudo depende do grau relativo de miudeza.

Por exemplo: Percebemos que, um minuto é uma quantidade muito pequena, quando comparado com uma semana inteira, depois pela necessidade o minuto foi dividido em 60 partes ainda menores - os segundos.

Os segundos - quantidades pequenas na classe de segunda ordem de pequenez.

     Podemos dizer que dx é uma pequena porção de x, e relativamente pequena por si mesma, mas não podemos dizer que x.dx, ou x².dx, ou a^x.dx são valores desprezíveis. Mas dx.dx seria uma pequena quantidade desprezível.

     Podemos ilustrar isso tudo com um exemplo simples.

     Pense numa quantidade x que pode aumentar um pouquinho para se transformar em x + dx, em que dx significa o pequeno incremento no valor de x provocado pelo crescimento. O quadrado disso é:

(x + dx)² = x² + 2xdx + (dx)².

     Não podemos desprezar o segundo termo dessa soma porque é uma quantidade de primeira ordem; entretanto, o terceiro é da segunda ordem de pequenez, pois é uma fraçãozinha de uma fraçãozinha de x²

     Podemos representar isso tudo, geometricamente, como por exemplo na animação à seguir:

Aproxime o ponto E ao ponto B.