sábado, 26 de janeiro de 2013

Operações com polinômios

O que são polinômios
     Quantos termos têm estas expressões algébricas?
                                   3x ---------> Esta expressão é um monômio. Tem um termo.
                                  3x + 7; 0,5a + 2b - 3c - 3/5 ---------> Essas expressões são somas algébricas de monômio. Uma tem dois termos, a outra tem quatro termos.
     Todas essas expressões são denominadas polinômios.

Adição
     Quando um polinômio apresenta termos semelhantes, eles podem ser adicionados, ficando reduzidos a um só termo.
Exemplos:
     Dados os polinômios P= 7y² + 15 y - 12, Q= 5y² - 1 e R= -y² + 6y, vamos somá-los:
      7y² + 15 y -12
      5y²            - 1
      -y²  +  6y          
      11y² + 21y - 13

Polinômios opostos
Considere o polinômio A = 7x² - 4x + 8.
Qual é o polinômio cuja soma com A resulta no polinômio nulo?
O polinômio procurado é o polinômio oposto de A, indicado por - A.
A = 7x² - 4x + 8
- A = -7x² +4x - 8
A + A) = 0x² + 0x + 0
Para escrever o polinômio oposto de um polinômio dado, basta trocar os sinais de todos os termos. Assim, o oposto de B= 7x⁴ - 4x + 5 é: -B = -7x⁴ + 4x - 5.

Subtração de polinômios
     Para subtrair um polinômio B de um polinômio A, adicionamos o polinômio A ao polinômio oposto de B ou seja, A -B = A + (-B).
Exemplo:
Considere os polinômios A = 2x² + 4x - 1 e B = 5x² - 6x + 8.
Observe a subtração A - B
A - B = A + B)
         = (2x² + 4x - 1) + (-5x² + 6x - 8)
         = 2x² + 4x -1 - 5x² + 6x - 8
         = 2x² - 5x² + 4x + 6x -1 - 8
         = -3x² + 10x - 9 (Não é possível continuar, pois somente podemos somar ou subtrair termos semelhantes).

Adição algébrica de polinômios
Uma expressão que tem apenas adições e subtrações de polinômios é chamada adição algébrica de polinômios.
Exemplo:
Sendo A = 3y⁴ + 2y², B = -y⁴ + 2y³ e C= 2y³ + 4y², vamos calcular:
A+B-C
A+B-C =  (3y⁴ + 2y²) + ( -y⁴ + 2y³) - ( 2y³ + 4y²)
             =  3y⁴ + 2y² -y⁴ + 2y³ - 2y³ - 4y²
             = 2y⁴ - 8y²

Multiplicação de polinômios
     Observe como fazemos: multiplicamos cada termos de um polinômio por todos os termos do outro polinômio.
Exemplo:
Dados, A=(2x - 3)
            B= (3x² + 4x - 5)
Calcule: A X B
     (2x - 3)(3x² + 4x - 5) = 6x³ + 8x² - 10x - 9x² - 12x + 15
Reduzindo os termos semelhantes, temos: 6x³ - x² - 22x + 15.

Divisão de polinômios
Divisão de polinômio por monômio
     Para dividir um polinômio por um monômio não-nulo, dividimos cada termo do polinômio pelo monômio e adicionamos os novos termos.
Divisão de polinômio por polinômio
Exemplos:
Seja (10x² - 23x + 12) : (5x-4):

      dividendo              divisor
   10x² - 23x + 12       |5x - 4  
 - 10x² + 8x                2x - 3
            -15x + 12       quociente
            -15x -  12
                    0
              resto
a) Dividimos 10x² por 5x, obtendo 2x.
b) Multiplicamos 2x por 5x - 4 e adicionamos o produto 10x² - 8x, com sinal trocado, ao dividendo.
c) Dividimos -15x por 5x, obtendo -3.
d) Multiplicamos -3 por 5x -4 e adicionamos o produto -15x + 12, com sinal trocado, a - 15x + 12.
Então: Q(x) = 2x - 3 e R(x) = 0
Observação: O grau do resto é menor que o grau do divisor ou o resto é identicamente nulo.

Divisão de polinômios por x - a
Teorema do resto
   Considere a divisão de um polinômio P(x) por (x-a), onde obtemos quociente Q(x) e resto R(x):
                                            P(x)   | x - a 
                                            R(x)     Q(x)
Evidentemente temos: P(x) = (x-a ). Q(x) + R(x)
Observe, que fazendo x=a, temos:
P(a) = (a - a) . Q(a) + R(a) = 0 . Q(a) + R(a) => P(a) = R(a) => "O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio x -a é igual a P(a)."

Exemplo:
1. Dividindo P(x) = x² - 4x - 5 por x - 3,  o resto será:
    R(3) = P(3) = 3² - 4 . 3 - 5 = - 8

2. O resto da divisão de P(x) = x² + 3x - 1 por x + 1 será:
    R(-1) = P(-1) = (-1)² + 3 . (-1) - 1 = -3
Observe que quando o binômio divisor é x + a, devemos substituir no polinômio P(x) o x por -a, pois x + a = x - (-a).

Teorema de D'Alembert
     "Um polinômio P(x) é divisível por x -a se e somente se P(a) = 0."
     Este teorema é uma consequência do teorema do resto: R(a) = P(a), pois se P(x) é divisível por x-a, então R(a) = 0, o que é equivalente a P(a) = 0.
Exemplos:
1. O polinômio P(x) = x² - 4x - 5 é divisível por x - 5, pois: P(5) = 5² - 4 . 5 - 5 = 0
Contra-exemplo:
     O polinômio P(x) = x² - 4x - 5 não é divísivel por x - 3, pois:
P(3) = 3² - 4 . 3 - 5 = -8, ou seja, P(3) = -8 diferente de zero.