Resolução de um sistema linear de três equações a três incógnitas, pelo método do escalonamento.
Método prático
Dado o sistema: { 2x + y - z = 3
x + y + z = 6
3x - y + 2z = 4
1) Tornar o coeficiente de x, na 1ª equação, igual a 1.
Para isso, permutamos entre si a 1ª e a 2ª equações.
x + y + z = 6
2x + y - z = 3
3x - y +2z = 4
2) Anular os coeficientes de x da 2ª e 3ª equações.
Para isso:
Multiplicamos a primeira equação por -2, e somamos à 2ª equação.
Multiplicamos a primeira equação por -3, e somamos à 3ª equação.
x + y + z = 6 (-2) -> -2x -2y - 2z = -12 (primeira multiplicada por -2)
(-2x - 2y -2z = -12) + ( 2x + y - z = 3)
= 0x -y - 3z = - 9 (primeira somada à segunda)
x + y + z = 6 (-3) -> - 3x - 3y - 3z = - 18 (primeira multiplicada por -3)
(- 3x - 3y - 3z = - 18) + (3x - y + 2z = 4)
= 0x - 4y - z = - 14 (primeira somada à terceira)
Reforçando o entendimento:
Multiplicamos a primeira por -2 (convenientemente) e somamos a segunda equação.
Multiplicamos a primeira por -3 (convenientemente) e somamos a terceira equação.
Logo temos:
x + y + z = 6
0x + y - 3z = -9
0x - 4y -z = - 14
3) Tornar o coeficiente de y, na 2ª equação, igual a 1.
Multiplicamos a 2ª equação por -1.
x + y + z = 6
0x - y - 3z = -9 (-1)
0x - 4y - z = - 14
x + y + z = 6
0x + y +3z = 9
0x - 4y - z = -14
4) Anular o coeficiente de y na 3ª equação.
Para isso, multiplicamos à segunda equação por 4, e somamos à terceira equação)
x + y + z = 6
0x + y +3z = 9 (4) (0x + 4y + 12z = 36) + (0x - 4y -z = -14) = 0x + 0y + 11z = 22
0x - 4y - z = -14
Logo:
x + y + z = 6
0x + y +3z = 9
0x - 0y +11z = 22
5) A partir da última equação obtemos o valor de z e, substituindo esse valor na segunda equação, obtemos y e, finalmente, como os valores de z e y, tiramos o valor de x na primeira equação.
Da 3ª equação: 11z = 22 => x = 22/11 = 2
Da 2ª equação: y +3z = 9 => y + 3.2 = 9 => y + 6 = 9 => y = 3
Da 1ª equação: x + y + z = 6 => x + 3 + 2 = 6 => x + 5 = 6 => x = 1
S= {(1, 3, 2)}