As expressões algébricas são aquelas expressões matemáticas que possuem números e letras, também conhecidas como variáveis. Utilizamos as letras para representar valores desconhecidos ou até mesmo para analisar o comportamento da expressão de acordo com o valor dessa variável. As expressões algébricas são bastante comuns no estudo das equações e na escrita de fórmulas da Matemática e áreas afins.
Caso a expressão algébrica possua um único termo algébrico, ela é conhecida como monômio; quando possui mais de um, é chamada de polinômio. É possível também calcular operações algébricas, que são as operações entre expressões algébricas.
Vejamos alguns exemplos de expressões algébricas:
a) 2x²b + 4ay² + 2
b) 5m³n8
c) x² +2x - 3
Valor numérico das expressões algébricas
Quando conhecemos o valor da variável de uma expressão algébrica, é possível encontrar o seu valor numérico. O valor numérico da expressão algébrica nada mais é do que o resultado final quando substituímos a variável por um valor.
Exemplo:
Dada a expressão x³ + 4x² + 3x – 5, qual é o valor numérico da expressão quando x = 2.
Para calcular o valor da expressão, vamos substituir o x por 2.
2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5
8 + 4 · 4 + 6 – 5
8 + 16 + 6 – 5
30 – 5
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EF08MA06: Estudo de expressões algébricas. Monômios e polinômios.
Operações com monômios
Grau de um monômio
O grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de sua parte literal.
Exemplo:
Qual é o grau do monômio 7x³y²?
Somando-se os expoentes da parte literal, temos:
3 + 2 = 5, logo o grau do monômio é do 5º grau.
Observação
O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma letra de sua parte literal.
Exemplo:
7x³y² -> é do 3º grau em relação a x; é do 2º grau em relação a y.
Redução de termos semelhantes
• Identificamos os termos semelhantes.
• Efetuamos a adição ou subtração entre os termos semelhantes.
• Obtemos uma expressão mais simples.
Em Matemática dizemos que reduzimos os termos semelhantes da expressão.
Observe que não há termo semelhante a 3a.
Ao adicionarmos ou subtrairmos monômios devemos levar em consideração as partes literais semelhantes, adicionando ou subtraindo os coeficientes e preservando a parte literal. Veja exemplos:
17x³ + 20x³ = (17 + 20)x³ = 37x³
2ax² + 10b – 6ax² – 8b = (2 – 6)ax² + (10 – 8)b = –4ax² + 2b
–4xy + 6xy – 5xy = (–4 + 6 –5)xy = – 3xy
5b³ + 7c³ + 6b³ – 2c³ = (5 + 6)b³ + (7 – 2)c³ = 11b³ + 5c³
Multiplicação de monômios
Na multiplicação de monômios devemos multiplicar coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. Ao multiplicar partes literais iguais, aplique a multiplicação de potências de bases iguais: somar os expoentes e repetir a base.
2x . 3x = (3 . 2) . (x . x) = 6x²
4x . 6z = (4 . 6) . (x . z) = 24xz
5b² . 10b² . c³ = (5 . 10) . (b² . b² . c³) = 50b4c³
4a²x³ . (–5ax²) = [4.(–5)] . (a²x³ . ax²) = –20a³x⁵
Divisão de monômios
Na divisão de monômios devemos dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. Ao dividir partes literais iguais, aplique a divisão de potências de bases iguais: subtrair os expoentes e repetir a base.
16x⁵ : 4x² = 4x³ → (16:4) e (x5 : x²)
20a²x³ : (–5ax²) = –4ax → [20 : (–5)] e (a²x³ : ax²)
81x : 9x = 9
144x³b² : 2xb = 72x²b
Potenciação de monômios
Para elevarmos um monômio a uma potência devemos elevar cada fator desse monômio a essa potência. Na prática elevamos elevamos o coeficiente numérico à potência e multiplicamos cada um dos expoentes das variáveis pelo expoente da potência.
Vamos calcular:
(5a³m)² = 25 a⁶m
Conclusão : Para elevarmos um monômio a uma potência, elevamos cada um de seus fatores a essa potência.
Raiz quadrada
Para extrairmos a raiz de um monômio efetuamos a raiz de seu coeficiente numérico e a raiz de seus fatores. Na prática isso equivale a dividirmos cada expoente pelo índice da raiz.
Aplicando a definição de raiz quadrada, temos:
a) √49x² = 7x, pois (7x)² = 49x²
b) √25x⁶ = 5x³, pois (5x³)² = 25x⁶
Conclusão: para extrair a raiz quadrada de um monômio, extraímos a raiz quadrada do coeficiente e dividimos o expoente de cada variável por 2.
Exemplos:
a) √16x⁶ = 4x³
b) √64x⁴b² = 8x²b
Obs: Estamos admitindo que os resultados obtidos não assumam valores numéricos negativos.