Os conjuntos numéricos

Estudo dos conjuntos numéricos
Objetivos

• Compreender o conceito de conjunto.
• Representar conjuntos utilizando chaves e diagramas.
• Identificar os elementos de um conjunto.
• Determinar se um elemento pertence a certo conjunto.
• Verificar se um conjunto está contido no outro.
• Realizar as operações de união e interseção de conjuntos.
• Identificar os elementos do conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
• Escrever números  decimais na forma de fração e vice-versa.
• Identificar dízimas periódicas e seus períodos.
• Representar os números reais na reta numérica.

     Em 1874, o matemático russo Georg Cantor revolucionou o estudo da Matemática com a Teoria dos Conjuntos. Essa teoria tornou-se o elemento central da estruturação do conhecimento matemático.
     Dois anos depois, o lógico inglês John Venn (1834-1923) utilizou pela primeira vez os diagramas, que facilitaram a compreensão das ideias abstratas dessa teoria.
   
Representação de conjuntos em um diagrama de Venn
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8}

     Entre as várias operações que podemos realizar com conjuntos, estão a união e a intersecção.
     A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos de A e de B. Indicamos o conjunto união por: 
     A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B ao mesmo tempo. Indicamos o conjunto intersecção por: 
     No diagrama, a união e a intersecção podem ser representadas por uma parte colorida ou hachurada.

 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

 =  {4, 5}

                                                       

EF09MA02: Números irracionais

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (|N)

N = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Subconjunto

N* = {1, 2, 3, 4,...} O sinal * significa que o zero foi excluído do conjunto.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)

Z ={...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Subconjuntos

Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}

Z+ = {0,1,2,3...}(conjunto dos números inteiros não-negativos)

Z_ = {0,-1,-2,-3,...}(conjunto dos números inteiros não-positivos)

NÚMEROS IRRACIONAIS

Conjunto dos números irracionais (|I)

     Este conjunto é formado por números cujas formas decimais não são exatas e nem periódicas.

Exemplos:

     O número PI= 3,141592..., resultado da divisão da medida do comprimento de uma circunferência ela medida do seu diâmetro.

     O número e = 2,718..., conhecido como número de Euler.

     Radicais do tipo: raiz quadrada de 2 = 1,4142...; raiz quadrada de 3 = 1,7320...

NÚMEROS REAIS (|R)

O conjunto |R dos números reais é formado pela reunião do conjunto Q dos números racionais com o conjunto |I dos números irracionais.

As propriedades válidas para a adição e a multiplicação de números racionais são válidas também para essas operações com números reais.

Propriedade associativa

Para qualquer 3 números reais x,y e z:

(x+y) + z = x + (y+z) e (x.y).z=x.(y.z)

Propriedade da existência do elemento neutro

Para qualquer número real x.

0+x=x+0=x e 1.x=x.1=x

Propriedade comutativa

Para quaisquer 2 números reais x e y:

x+y=y+x e x.y=y.x

Propriedade da existência do elemento oposto

Para qualquer número real x:

Existe -x, tal que: x + (-x)=0

Propriedade da existência do elemento inverso

Para qualquer número real x, com x diferente de 0:

Existe 1/x, tal que x.1/x=1.

Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Para quaisquer 3 números reais x, y e z:

x.(y+z) = x.y + x.z

A RETA NUMÉRICA

     Entre um número inteiro e outro na reta existem infinitos outros números.

Mova o ponto vermelho e observe que existem, entre um número inteiro e outro infinito outros números.