Relações entre Álgebra eGeometria

Linguagem algébrica para expressar relações entre medidas

Observe os segmentos e suas relações.

1) Nesse esquema, podemos estabelecer as seguintes relações de desigualdade:
                     a > b
                     a > 3
E as igualdades:
                     a = b + 3
                     b = a - 3
                     a - b = 3

2) Esse esquema sugere as seguintes relações entre as medidas dos segmentos, representadas por letras:

           x = y + z

           y = x - z

           z = x - y                

3) Neste esquema  podemos estabelecer que c = d + 5 + d.

Esse esquema sugere as desigualdades:

           c > d

           c > 5

           c > 2d

Além da igualdade: c = 2d + 5

4) O segmento maior mede 5, que equivale aos segmentos A + 2 e B + C. Assim:

                     A + 2 = 5

                     B + C = 5

Se A + 2= 5, então A mede 3 (A=3)

Como A é maior que B (A>B) e A = 3, podemos concluir que B < 3.

O segmento C é maior do que 2 (C>2) e C = 5 - B.

5) Esse esquema sugere as desigualdades:

                        x < 4

                        y < 5

E a igualdade: x + 5 = 4 + y

Completamento de quadrados

Método geométrico
     As equações do 2º grau já eram resolvidas pelos babilônios (1800 a.C.), os quais usavam métodos de completar quadrados associados a tábuas de quadrados. A seguir um estudo desse procedimento.

Resolva a equação pelo completamento de quadrados

6x² – 7x + 2 = 0 → como a=6, dividimos todos os termos por 6.

6x² / 6 – 7/6x + 2/6 = 0/6

x² – 7/6x + 1/3 = 0

x² – 6/6x = - 1/3

Devemos encontrar um número que, somado aos dois membros, torne a expressão do primeiro membro um trinômio quadrado perfeito.

Para isso, dividimos a fração 7/6 por 2:

7/6 : 2= 7/12, que será o terceiro termo elevado ao quadrado para obtermos o trinômio quadrado perfeito:

x² – 7/6x + (7/12)² = (7/12)² – 1/3

(x – 7/12)² = 1/144

x – 7/12 = +/- √1/144

x – 7/12 = +/- 1/12

Desta forma, obtemos:

x₁ = 2/3

x₂ = 1/2