O que são grandezas?
- É tudo o que podemos medir ou contar!
São exemplos de grandezas : o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
Mas e razão, quem se lembra o que é?
- É uma comparação que fazemos entre duas grandezas, uma fração!
A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.
Constante de proporcionalidade
Genericamente, podemos dizer que a constante para grandezas diretamente proporcionais é dada por x/y = C, onde x e y são grandezas e C é a constante.
Exemplo:
Segundo uma receita para fazermos biscoitos, serão necessários 2 ovos para fazermos 10 biscoitos; para fazermos 20 biscoitos serão necessários 4 ovos; para fazermos 30 biscoitos serão necessários 6 ovos. Observe se duplicarmos o número ovos, duplicaremos o número de biscoitos; se triplicarmos o número de ovos triplicaremos, o número de biscoitos, dizemos então que o número de biscoitos é diretamente proporcional ao número de ovos, assim também o número de ovos são diretamente proporcionais ao número de biscoitos.
Ainda observe que se dividirmos o número de biscoitos pelo número de ovos, a essa razão chamaremos de constante de proporcionalidade.
Assim: 10/2 = 5; 20/4 = 5 ; 30/6 = 5, ou seja a constante de proporcionalidade entre o número de biscoitos e o número de ovos é 5, ou seja: x/y = C
Grandezas diretamente proporcionais
São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra também é divida à metade.
Exemplo: Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos.
1. Dada a seguinte receita:
Bolo de laranja
1. Ingredientes
• 3 xícaras de farinha de trigo
• 2 xícaras de açúcar
• 4 ovos
• 1 xícara de suco de laranja
• 1 colher de sopa de fermento em pó
Se quisermos aumentar ou diminuir a receita, devemos usar quantidades de ingredientes proporcionais às da receita original para que o bolo dê certo. Dizemos que qualquer ingrediente é diretamente proporcional a cada um dos outros. Se um dobra, o outro deve dobrar. Se um cai pela metade, o outro deve cair pela metade e assim por diante.
Dobrando a quantidade de um dos ingredientes, todas as outras quantidades também devem dobrar. As grandezas são, duas a duas, diretamente proporcionais.
• E se você tivesse 7 ovos na geladeira e quisesse usá-los no bolo? Como adaptar a receita de 4 para 7 ovos?
Basta usar a proporcionalidade e a propriedade das proporções. Acompanhe.
Há proporcionalidade direta entre a quantidade de farinha e a de ovos.
Multiplicando em cruz, obtemos: 4x = 3 . 7 -> x= 5,25
Como 0,25 = ¼ , são necessárias 5 1/4 xícaras de farinha de trigo para 7 ovos.
Multiplicando em cruz, obtemos: 4x = 14 = 3,5. Portanto são necessários 3 1/2 xícaras de açúcar para 7 ovos.
4x = 7 = 1,75. Como 0,75 = 3/4, devemos usar 1 3/4 de xícara de suco de laranja para 7 ovos.
Observe que a proporção entre o fermento e os ovos é a mesma que entre o suco e os ovos.
Então, deve-se usar 3 1⁄4 (três inteiros e um quarto) de colher de sopa de fermento.
2. Classifique as grandezas apresentadas nas situações a seguir em Proporcionais (P) ou em Não Proporcionais (NP).
A medida do lado de um hexágono regular e seu perímetro. P : sim, pois perímetro é a soma das medidas dos lados de qualquer figura geométrica.
A quantidade de cestas convertidas em uma partida de basquetebol e o tempo de jogo. NP: não altera o tempo de jogo.
A temperatura e a hora em que foi medida ao longo de um dia. NP: A temperatura pode oscilar ao longo do dia.
A distância percorrida por um automóvel, a uma velocidade constante, e o tempo do percurso. P: Sendo a velocidade constante, a distância também pode aumentar.
A medida da aresta de um cubo e seu volume, em litros. NP: Não porque o volume depende também, da medida de outras dimensões.
3. Uma livraria decidiu fazer uma liquidação com alguns livros.
Ao chegar lá, é possível ler o anúncio: “2 livros por R$ 19,00”; “5 livros por R$ 38,00”.
Os preços são proporcionais ao número de livros comprados? Justifique sua resposta.
- Não, pois R$ 38,00 seriam o preço correspondente a 4 livros.
4. Maurício foi a uma quitanda e viu que três alcachofras custavam R$ 11,70.
Decidiu comprar 8. Quanto ele pagou no total? R$ 31,20
3 ---> 11,70
8 ----> x
3x = 8 . 11,70
3x = 93,6
x = 31,20, as grandezas são diretamente proporcionais.
5. Observe o gráfico a seguir:
Analisando as informações presentes no gráfico, responda:
a) Qual o preço de 2 kg de café? R$ 58,16
b) Qual o valor pago por 5,5 kg de café?
Um quilo custa: 29,08
1/2 kg, custa: 14,54
5 kg: 145,40 + 14,54 = 159,94 custarão 5,5 kg de café.
