Triângulo retângulo

Elementos do triângulo retângulo
(Mova os pontos).
     O triângulo retângulo em Geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois outros ângulos agudos.

Observe na animação, que movimentando o ponto D, formarmos uma semicircunferência, onde ângulo reto não se altera.

    É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e cálculo algébrico.

Área do triângulo retângulo
     A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados.

Na trigonometria
     A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo, é a base da trigonometria.

Medidas de lados e ângulos
     Sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos.

EF09MA12: Semelhança de triângulos

Para determinar a medida de um lago, foi utilizado o esquema representado pela figura abaixo. Qual é a largura do lago?

Observe que o segmento AB, divide o triângulo CPD em dois, logo o triângulo CPD é semelhante ao triângulo APB, então:

Logo, a largura do lago é igual à 250 metros.

Semelhança de triângulos

     Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,  os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

     A razão entre os lados correspondentes é chamada de razão de semelhança.

  Propriedades da semelhança

Propriedade reflexiva
     Todo triângulo é semelhante a si mesmo.
                            ∆ABC ~ ∆ABC
Propriedade simétrica
     Se um triângulo é semelhante a outro, então esse outro é semelhante ao primeiro.
                           ∆ABC ~ ∆XYZ ⇒ ∆XYZ ~ ∆ABC
Propriedade transitiva
     Se um triângulo é semelhante a outro e esse outro é semelhante a um terceiro triângulo, então o primeiro é semelhante ao terceiro.
                           ∆ABC ~ ∆XYZ e ∆XYZ ~ ∆RST ⇒ ∆ABC ~ ∆RST

EF08MA14: Congruência de triângulos

Critérios de congruência de triângulos
     Diz-se que duas figuras são congruentes quando, além da mesma forma, ambas tenham o mesmo tamanho.

1) LLL (lado, lado, lado)
     Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.

2) LAL (lado, ângulo, lado)
     Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo entre eles, respectivamente congruentes.

3) ALA (ângulo, lado, ângulo)
     Dois triângulos são congruentes quando possuem dois ângulos e o lado entre eles, respectivamente congruentes.

4) LAAo (Lado, ângulo, ângulo oposto)
    Dois ângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo e o ângulo oposto a esse mesmo lado, respectivamente congruentes.

EF08MA17: Triângulos

     O triângulo é uma das formas geométricas mais importantes utilizadas na sociedade atual, como por exemplo na construção civil, na medição de distâncias, nas artes, etc.

     Triângulo é um polígono (figura plana limitada por uma linha fechada) de três lados.

Elementos dos triângulos
Os três pontos não colineares são os vértices do triângulo: A, B e C.
As linhas que os unem, são os lados do triângulo: AB, BC e CA.
Os ângulos internos do triângulo são os ângulos cujos vértices são os vértices do triângulo e os lados contem os lados do triângulo. Assim temos três ângulos internos: ângulo ABC, ângulo AĈB e ângulo BÂC.
Ainda o lado AB é oposto ao vértice C; o lado BC é oposto ao vértice A e o lado CA é oposto ao vértice B.


     Mediana de um triângulo
É o segmento de reta que liga um vértice deste triângulo ao ponto médio do lado oposto deste vértice.

Altura de um triângulo
É o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ao seu prolongamento.

AH -> altura do triABC

Bissetriz de um triângulo
É o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidade o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.

Medida de um ângulo externo


     Todo ângulo externo de um triângulo é igual a soma das amplitudes dos outros dois ângulos internos não adjacentes ao mesmo.

Demonstração: pela soma dos ângulos internos
 + D + B = 180º, mas B + δ = 180º (ângulos suplementares)
Comparando as igualdades
 + D + B = B + δ, então: Â(α) + D(β) = δ

Casos de congruência de triângulos: Clique aqui
Propriedades dos triângulos isósceles: Clique aqui.
Propriedades dos triângulos retângulos: Clique aqui.

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