EF09MA13

Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Demonstrando as relações métricas.

Relação entre altura e projeções dos catetos. Descobrir a relação entre as projeções dos catetos e a altura relativa à hipotenusa em triângulos retângulos.

Relação entre a hipotenusa e cateto 1. Relacionar que o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa por sua altura relativa.

As inclinações e as relações métricas em triângulos retângulos.

Aplicação das relações métricas para cálculos de medidas inacessíveis.

As relações métricas através de áreas.

EF09MA09 Eq Polinomiais

 (EF09MA09) 

Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações. 

• Equação do 2º grau com uma incógnita (completa e incompleta); 

• Forma reduzida; 

Observe as seguintes equações do 2 o grau com uma incógnita: 

• x² - 5x + 6 = 0; y² - 25 = 0; -3t² + 4t -1 = 0 ; -2x² + 8x = 0 

Essas equações estão escritas na forma ax² + bx + c = 0, que é denominada forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 

Há, porém, algumas equações do 2o grau que não estão escritas na forma ax² + bx + c = 0, como, por exemplo: 

• 3x² - 6x = x - 3 

Por meio de transformações, nas quais aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade, tais equações podem passar a ser expressas nessa forma. Acompanhe as situações a seguir. 

1 Escrever a equação 2x² - 7x + 4 = 1 - x² na forma reduzida. 

2x² - 7x + 4 = 1 – x² → equação dada 

2x² - 7x + 4 - 1 + x² = 0 → aplicamos o princípio aditivo 

3x² - 7x + 3 = 0 → forma reduzida da equação dada 

• Resolução de equações completas e incompletas; 

Equações incompletas 

Resolvendo equações da forma ax² + bx = 0 

Resolvendo equações da forma ax² + c = 0 

Equações completas 

O processo algébrico de Bhaskara 

Fórmula resolutiva. 

 é chamada fórmula resolutiva da equação completa do 2º grau ax² + bx + c = 0. 

A expressão b² – 4ac (que é um número real) é usualmente representada pela letra grega ∆(delta) e é chamada de discriminante da equação.  

Então a fórmula resolutiva pode ser escrita assim: 

  

A fórmula resolutiva recebeu, também, o nome de fórmula de Bhaskara em homenagem ao grande matemático hindu. 

A existência ou não de raízes reais, bem como o fato de elas serem duas iguais ou diferentes, depende, exclusivamente, do valor do discriminante ∆ = b² – 4ac.  

Na equação ax² + bx + c = 0, temos ∆ = b² - 4ac e consideramos:

• Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita: soma e produto das raízes; 

SOMA DAS RAÍZES 

Considere a equação ax² + bx + c = 0, com a 5≠0, e x‘ e x’ as raízes reais dessa equação. Entre as raízes x‘ e x’ e os coeficientes a, b e c da equação existem duas relações importantes, as quais veremos a seguir. 

1ª relação: Sendo x‘ e x’ as raízes reais da equação, temos: 

PRODUTO DAS RAÍZES 

2ª relação: Sendo x‘ e x’ as raízes reais da equação, temos: 

Multiplicando membro a membro as duas igualdades, obtemos a 2ª relação. 

• Escrevendo uma equação quando conhecemos as raízes; 

• Equações biquadradas; 

• Equações irracionais.

EF08MA04

Porcentagem Crescente e Decrescente. (Acréscimo e desconto)

Explorando porcentagem crescente e decrescente.

EF09MA11

 Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo.

"Os estudos referentes a ângulos na circunferência auxiliaram e auxiliam até hoje a geometria plana. Com aplicações na astronomia e em outras áreas do conhecimento, esse estudo foi se aprofundando e desenvolvendo relações e propriedades diferentes para cada um dos casos. Os casos são:
ângulo central;
ângulo inscrito;
ângulo interno;
ângulo excêntrico interno;

ângulo excêntrico externo:

ângulo de segmento.

Para cada um dos casos, existem propriedades específicas que relacionam o arco da circunferência com o ângulo."

EF09MA06

Relação e função

Dado dois conjuntos não vazios A e B e uma relação que associa elementos de A em B, dizemos que esta relação é uma função se todo elemento x do conjunto A está associado a um único elemento y do conjunto B.

Dado dois conjuntos A e B, uma relação que liga cada elemento x de A a um, e somente um, elemento de B recebe o nome de função de A em B.

Propriedades dos polígonos

Polígonos são figuras geométricas fechadas que possuem muitos ângulos e lados. Os polígonos são formados por segmentos de retas unidos em pontos chamados de vértices.

Todo polígono possui as seguintes propriedades:

• Os polígonos possuem os mesmos números de lados, ângulos e vértices;
• A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados e convexo é dado por: S = (n – 2) . 180.
• O total de diagonais em um polígono é dado pela seguinte fórmula: d = n . (n – 3) / 2.

Polígonos regulares

Propriedades dos polígonos regulares

Os polígonos regulares têm propriedades que independem de serem convexos ou estelares (Tem formas de estrelas). Vamos conhecer algumas:

• Todos os polígonos regulares podem ser girados em torno de um eixo de simetria, e ele ainda será igual;
• Todo polígono regular pode ser circunscrito por um círculo que toca todos os seus vértices;
• Todo polígono regular tem um círculo inscrito, ou seja, um círculo que toca os pontos médios de cada lado.

Propriedades dos polinômios

Os polinômios são formados por termos. A única operação entre os elementos de um termo é a multiplicação. Quando um polinômio possui apenas um termo, ele é chamado de monômio. Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios (dois termos), separados por uma operação de soma ou subtração.

Fatoração e produtos notáveis

Propriedades da igualdade e da desigualdade

Propriedade reflexiva da igualdade

Todo número é igual a si mesmo, ou seja, a = a.

Propriedade simétrica da igualdade

Dados dois números a e b, se a = b, então b = a.

Propriedade transitiva da igualdade

Dados três números a, b e c, se a = b e b = c, então a = c.

1) Toda igualdade se mantém, ao adicionarmos ou subtrairmos uma mesma quantidade de ambos os lados
da igualdade.

2) Toda igualdade se mantém, ao multiplicarmos ou dividirmos uma mesma quantidade de ambos os lados
da igualdade. Exceto para o número zero, pois não existe divisão por zero.

Propriedade da desigualdade

Se a < b, então b > a.

Propriedade da desigualdade (propriedade transitiva)

Se a < b e b < c, então a < c; se a > b e b > c, então a a > c.

Propriedades dos sólidos geométricos

Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais, possuem largura, comprimento e altura, e podem ser classificados entre poliedros e não poliedros (corpos redondos).
Os elementos principais de um poliedro são: faces, arestas e vértices. Cada poliedro possui sua representação espacial e sua representação planificada (planificação de sólido geométrico).
Os nomes dos sólidos geométricos são dados, geralmente, a partir de sua característica determinante. Seja em relação ao número de faces que o compõe, seja como referência a objetos conhecidos no cotidiano.

Os poliedros

Os poliedros são compostos por três elementos fundamentais:
Faces - cada um dos lados do sólido.
Arestas - segmentos de reta que unem os lados do sólido.
Vértices - pontos de união das arestas.

Corpos redondos

Um corpo redondo é um sólido geométrico com, pelo menos, uma superfície arredondada. Estes sólidos podem rolar sobre estas superfícies. São formas tridimensionais, ou seja, ocupam espaço, por isso, possuem volume.

Propriedades na álgebra básica

Propriedades da potenciação
Multiplicação de potências de mesma base. 
Divisão de potências de mesma base.
Potência de potência. 
Potência de produto. 
Potência de quociente. 
Potência de quociente e expoente negativo.
Potência de expoente negativo. 
Potência com expoente racional;
Potência com expoente igual a 0;
Potência com expoente igual a 1
Potência de base negativa e expoente ímpar
Potência de base negativa e expoente par.

Propriedades dos radicais
Raiz enésima
Multiplicação ou divisão do índice de um radical e do expoente do radicando pelo mesmo fator.
A raiz do produto é igual ao produto das raízes;
A raiz da razão é igual à razão das raízes;
Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando.
Propriedade envolvendo uma raiz de algum radical, isto é, o produto dos índices dos radicais;
Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário.

Propriedades de uma função

Função é uma relação entre dois ou mais conjuntos, a caracterização da função irá depender do tipo de relação estabelecida entre os conjuntos, ou seja, como será feita a ligação do conjunto de partida com o conjunto de chegada.

Propriedades das equações

Toda equação deve possuir: sinal de igualdade, primeiro e segundo membro e uma ou mais incógnitas. Podemos definir equação como uma sentença matemática que possui igualdade entre duas expressões algébricas e uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos) que são expressadas por letras.

Propriedades da Função quadrática

Qualquer função f de IR em IR representada por uma lei da forma f(x)=ax²+bx+c, em que a, b e c são números reais e a≠0, será denominada de função quadrática ou mesmo função polinomial do 2º grau.

Propriedades do Sinal

A função quadrática tem no máximo dois zeros. Determinar os zeros de uma função quadrática é equivalente a resolver a equação do 2ºgrau ax²+bx+c=0, assim poderá ser necessário recorrer à fórmula resolvente para equações do 2ºgrau.

Se o discriminante Δ=b2−4ac for negativo, a função quadrática não tem zeros e portanto ou é sempre positiva ou sempre negativa. Se a>0 a função é positiva para x∈R, pelo contrário se o coeficiente a<0 então a função é negativa em todo o seu domínio.

Se Δ>0 a função tem dois zeros, respetivamente: x1=(−b−Δ−−√)/2a; x2=(−b+Δ−−√)/2a

 com x1<x2. Neste caso, se a>0 a função é positiva no intervalo]−∞,x1[∪]x2,+∞[e negativa para x∈]x1,x2[. Já se a<0 a função toma valores positivos para x∈]x1,x2[e valores negativos no intervalo]−∞,x1[∪]x2,+∞[.

Finalmente se Δ=0 a função quadrática possui um único zero em x=−b/2a. Neste caso, se a>0

 a função é positiva em x∈R∖{−b/2a}. Já se a<0, a função é negativa em x∈R∖{−b/2a}. 

Propriedades da aritmética

Propriedades dos Conjuntos Numéricos

O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).

O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).

O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).

Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).

Propriedades das operações matemáticas

ℝ é fechado em relação à adição, subtração, multiplicação e divisão por números reais diferentes de zero. O conjunto dos números reais é denso, isto é, há infinitos reais entre dois reais quaisquer e, da mesma forma que o conjunto dos irracionais, não é enumerável.

O que e uma operação fechada?

Em matemática, um conjunto é fechado em relação a uma dada operação quando o resultado dessa operação em elementos desse conjunto é ainda um elemento desse conjunto.

Chamamos sentenças abertas, as sentenças que não podemos identificá-las como verdadeiras ou falsas: x + 1 = 0: não podemos afirmar se é verdadeira ou falsa, pois depende do valor de x.

Propriedades das expressões numéricas

Potenciação e Radiciação;

Multiplicação e Divisão;

Adição (soma) e Subtração.

Essa é a ordem de precedência em que as operações devem ser resolvidas. Se alguma dessas regras citadas acima aparecer mais de uma vez, deve-se resolvê-las da esquerda para a direta, preferencialmente nessa ordem.

Propriedades da multiplicação

Comutativa: a x b = b x a
Distributiva: a(b + c)
Associativa: 12 x 4 x 5 → 12 (4 x 5); (12 x 4) 5
Elemento neutro: a x1 = a
Elemento inverso: 1/a → a/1

Propriedades da adição
Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado.
Associativa: Somar as parcelas em uma ordem que torne a operação mais fácil.
Elemento neutro: Na adição o elemento neutro é o zero.
Propriedade do fechamento: Dois ou mais números naturais somados, resultam em um número natural.
Propriedade do elemento oposto: O oposto de um número positivo é o seu negativo. 

Propriedades da subtração

A subtração não possui muitas propriedades específicas, pois ela não é comutativa nem associativa, mas existe um elemento neutro na subtração, que é o zero, pois por exemplo a - 0 = a.

Propriedades da divisão
A divisão não é comutativa.
A divisão não é associativa.
O quociente da divisão é o mesmo para múltiplos do dividendo e do divisor.
A divisão por 0 é indefinida e quando o dividendo é 0 o resultado da divisão é 0.
Todo número dividido por 1 tem como resultado o próprio número. 
Fechamento: A propriedade de fechamento em que a divisão de dois números reais será um número real não satisfaz, pois a divisão por 0 (zero) não tem como resultado um número real.

Propriedades da divisibilidade

Propriedade fundamental das proporções

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

A soma (ou subtração) dos denominadores aos numeradores de suas razões, não altera a proporção.

A soma (ou subtração), dos numeradores e denominadores da segunda razão, aos da primeira, é igual à primeira ou segunda razão.

Propriedades das Frações

Uma fração não se altera, quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número diferente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum.

Uma fração é alterada quando é adicionado ou subtraído um valor igual tanto do numerador quanto do denominador.

Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural, diferente de 0, obtemos uma fração equivalente à fração dada.

Propriedades da igualdade e desigualdade

Propriedades da Geometria Plana

Propriedades da geometria plana

A geometria plana estuda o comportamento de estruturas no plano, a partir de conceitos básicos primitivos como ponto, reta e plano. Estuda o conceito e a construção de figuras planas como quadriláteros, triângulos, círculos, suas propriedades, formas, tamanhos e o estudo de suas áreas e perímetro.

Propriedades dos triângulos

Algumas propriedades valem para todos os tipos de triângulos:

• têm três vértices;
• têm três medianas (segmento de reta que vai do vértice até o ponto médio do lado oposto) que se interceptam em um único ponto, chamado de centro do triângulo;
• o lado menor é sempre oposto ao menor ângulo interior;
• o lado maior é sempre oposto ao maior ângulo interior;
• a soma dos ângulos internos é 180º;
• a soma dos ângulos externos é 360º.

Propriedades do triângulo equilátero

O triângulo equilátero possui propriedades específicas devido aos seus lados serem congruentes, além das propriedades já existentes para todos os triângulos.
1ª propriedade: os ângulos internos de um triângulo equilátero possuem sempre 60º.
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º, como em um triângulo equilátero todos os ângulos são congruentes, então 180 : 3 = 60°.
2ª propriedade: a altura relativa a um dos seus lados é também a bissetriz e a mediana.
Vale lembrar que:

• A altura é o segmento de reta perpendicular à base do triângulo.
• A mediana é o segmento de reta que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto a ele.
• A bissetriz é o segmento de reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

Propriedades do triângulo isósceles

Primeira propriedade: os ângulos da base são congruentes;

Segunda propriedade: as medidas de altura, mediana e bissetriz coincidem.

Propriedades básicas da circunferência e do círculo

A circunferência é uma região no plano formada por pontos que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro. Círculo é a região interna dessa circunferência. A circunferência e o círculo são figuras geométricas planas que aparecem com frequência na natureza.

Propriedades do quadrado

    • as diagonais são iguais

    • as diagonais são ortogonais

    • as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos

    • as diagonais são eixos de simetria

    • as diagonais cortam-se no ponto médio que é um centro de simetria.

Propriedades do retângulo

    • as diagonais são iguais

    • o retângulo tem dois eixos de simetria

    • as diagonais cortam-se no ponto médio que é um centro de simetria.

Propriedades do losango

    • as diagonais são ortogonais

    • as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos

    • as diagonais são eixos de simetria

    • as diagonais cortam-se no ponto médio que é um centro de simetria.

Propriedades dos paralelogramos

    • as diagonais cortam-se no ponto médio

    • cada diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos iguais.

Propriedades dos polígonos

EF07MA27

Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhos.

EF07MA25

Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

Histórias da matemática

 

Determinação da distância Terra-Sol na antiga Grécia

EF08MA09

 EF08MA09 - Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo ax² = b.

Resolver uma equação polinomial de 2º grau do tipo ax²=b.

Representar um problema a partir de uma equação polinomial de 2º grau do tipo ax² = b.

Reconhecer diferentes resoluções de uma equação  polinomial de 2º grau do tipo ax² = b.

EF09MA07

Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Explorar problemas que envolvam uso da proporcionalidade em cálculo de velocidade.

Resolver situações problemas envolvendo proporcionalidade, utilizando densidade demográfica.

Teste: grandezas proporcionais

 Teste I – 1º Bimestre 

1) Escreva em notação científica, os números muito pequenos: 

0,00125 = 1,25 . 10⁻³

0,000 000 000 000 016 = 1,6 . 10⁻¹⁴

0,000 000 001 = 1,0 . 10⁻⁹

2) Escreva em notação científica, os números muito grandes: 

200.000.000 = 2,0 . 10⁸

560.000 = 5,6 . 10⁵

602.000.000.000.000 = 6,02 . 10¹⁴

3) Um cano, com área de 6 cm², esvazia uma caixa-d’água em 4,5 min. Outro cano, com área de 10 cm² e com a mesma vazão por minuto, esvaziará a mesma caixa-d’água em quanto tempo? 
Área             Tempo

  6cm²            x min

 10cm²            4,5      : Grandezas inversamente proporcionais.

10x= 6 . 4,5 

10x = 27 

x= 2,7 min

4) Uma impressora a jato de tinta imprime 200 páginas em 20 min. Quatro impressoras iguais a essa imprimirão essa mesma quantidade de folhas em quanto tempo? 

impressora         min

   1                       x

  4                       20 : GIP

4x = 20

x = 5 min

5) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

8 horas       x dias   GIP

5  "               20

5x = 160

x = 32

6) Cinco homens levam 10 dias para recapear um trecho de estrada. Esse mesmo serviço seria realizado em quantos dias, se fossem 6 homens no total?

5 homens     x dias GIP

6      "             10

6x = 50

x = 8,33

7) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? 

3 camisetas       R$ 120,00

5                             x

3x = 600

x= 200

8) Um automóvel está a uma velocidade de 50 km/h e gasta duas horas para chegar a seu destino. Esse mesmo automóvel gastaria quantas horas se estivesse a 75 km/h?

50 km/h       x horas

75                  2         GIP

75x = 150

x = 2

9) Qual é a velocidade de um automóvel que gasta duas horas em um percurso, sabendo que gastaria 6 horas nesse mesmo percurso se estivesse a 30 km/h?

6 horas      x km/h

2                 30          GIP

2x = 180

x= 90

10) Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos! Quanto custam 96 cadernos?

3 cadernos      8,00

96                    x     GDP

3x = 768

 x=256

EF09MA08: Divisão proporcional

Em uma divisão diretamente proporcional estamos dividindo um número de maneira proporcional a uma sequência de outros números. 

Em uma divisão inversamente proporcional estamos dividindo o inverso de um número de maneira proporcional a uma sequência de outros números. 

Exemplos:

1) Uma herança de R$ 2.950.000, foi dividida aos três herdeiros de uma forma inversamente proporcional aos números 2, 5 e 7. Quanta parte da herança coube a cada um?

Nesse caso temos uma divisão inversamente proporcional, logo:

Neste caso, os valores de a, b e c são relacionados as partes recebidas por cada herdeiro e x, y e z são as partes proporcionais aos números 2, 5 e 7. Então, escrevemos:

A seguir, igualamos cada razão ao valor da constante de proporção:

=======

Regra de três composta

Regra de três composta

A regra de três composta também é uma estratégia para o cálculo de valores desconhecidos em problemas que relacionam três ou mais grandezas diretamente, ou inversamente, proporcionais.

1. Em uma fábrica de chocolates, trabalham 21 funcionários na produção. Juntos, eles fazem, ao longo da jornada de trabalho de 6 h diárias, 420 barras de chocolate.
Próximo de datas comemorativas, como Páscoa, Dia dos Namorados e Natal, a fábrica costuma aumentar a jornada de trabalho para 8 h/dia e faz novas contratações, pois tem como meta a produção de 960 barras de chocolate por dia. Quantos funcionários precisam estar na produção para que essa meta seja atingida?
21 funcionários 6h 420 barras
    x                          8h            960     “
                               GIP          GDP
__21   =    8    .    420  
     x          6          960
   21   =   3360   → 3360x = 21.5760 → 3360x = 120960 → x = 120960 / 3360 = 36 funcionários.
    X         5760

2. Três crianças constroem 5 castelos de areia em 2 h. Cinco crianças construirão 6 castelos de areia em quanto tempo?

3 crianças      5 castelos    2h
5     “              6   “             x
GIP                GDP
  5     .    5    =   2  
  3          6         x
  25  =   2  
  18       x   
25 x = 36 → x = 36/25 = 1,44 ou 1,27 min, pois 44 . 60 ≃ 27 

3. Para preparar 3 receitas de bolo, 5 cozinheiras utilizam 12 xícaras de farinha de trigo. Quantas receitas de bolo serão feitas por 14 cozinheiras, usando 45 xícaras de farinha de trigo?

3 receitas       5 cozinheiras 12 xícaras
     x               14     “            45    “
                       GDP               GDP
3/x = 5 . 12 / 14 . 45
3/x = 60 / 630
x = 31,5 receitas de bolo