Grandezas inversamente proporcionais

 1. Uma impressora a jato de tinta imprime 100 páginas em 20 min. Quatro impressoras iguais a essa imprimirão essa mesma quantidade de folhas em quanto tempo?
1 impressora  → 20 min
4         “             → x       Como as grandezas são inversamente proporcionais(GIP)15, invertemos as razões, no caso às grandezas relativas ao tempo, que é o valor desconhecido.
¼ = x/20 → x = 5 min

2. Um cano, com área de 6 cm², esvazia uma caixa-d’água em 4,5 min. Outro cano, com área de 10 cm² e com a mesma vazão por minuto, esvaziará a mesma caixa-d’água em quanto tempo?
Área             Tempo
    6                   4,5
   10                   x   GIP
    6   =    x    
   10        4,5        10x = 6 . 4,5 → 10x = 2,7 min ou 2 min e 42 s

3. Para fazer uma viagem escolar até uma cidade próxima, a escola de Maria precisa alugar um ônibus. O custo desse aluguel será distribuído equitativamente entre os alunos que participarão da viagem. A direção avisa que, se 15 alunos participarem da viagem, cada um terá de pagar R$ 25,00 pelo aluguel do ônibus. Se 30 alunos participarem da viagem, quanto cada um pagará? R$ 12,50
15 alunos ----- R$ 25
30     “     ------     x     
15/30  = x/25 → 30x = 375 → x = 375/30 → x = 12,50 

4. Cinco homens levam 20 dias para recapear um trecho de estrada. Esse mesmo serviço seria realizado em quantos dias, se fossem 8 homens no total? 

5 h ----- 20

8 h ----    x   

5h ----x

8h ----20 -> 8x = 5 . 20 -> 8x = 100 -> x = 100/8 -> x= 12,5 dias

5. Um ciclista viaja 48 km em uma hora e meia.
a) Qual é sua velocidade média nesse percurso?

V = d / t -> V = 48 / 1,5 = 32 km/h
b) Mais tarde, ele faz o mesmo percurso, porém com uma velocidade média de 38,4 km/h. Quanto tempo ele gasta? 
V=d/t →38,4 = 48 / t -> 38,4 . t = 48 -> t = 48 / 38,4 -> t = 1,25 ou 1h15min

6. 38 professores foram convocados para corrigir um vestibular bastante concorrido. Estimam que levarão 14 dias para concluir a tarefa, trabalhando 8 h/dia. Se forem contratados mais 18 professores, mantendo o mesmo ritmo de trabalho, em quantos dias conseguirão finalizar o trabalho de correção? 

38 professores         14 dias

56     "                        x

   38  =  x   -> 56x = 38 . 14 -> 56x = 532 -> x= 9,5 dias.

    56    14

7. Um livro tem 150 páginas, e cada página tem 36 linhas. Um editor resolveu colocar apenas 30 linhas em cada página. Qual será a nova quantidade de páginas do livro?

150 páginas          36 linhas

       x                     30    "
    x    =   36  

  150        30   -> 30x = 150 . 36  -> x = 180 páginas 

8. Um grupo de 15 amigos parte para uma trilha, com alimentação contabilizada para 20 dias. Passados 5 dias, um novo grupo de 10 aventureiros, sem mantimentos, se junta ao anterior. Quantos
dias durarão os mantimentos, contados a partir da chegada do novo grupo?

15 amigos       15 dias

25    "                x dias

15/25 = x/15 -> 25x = 15.15 -> x = 225/25 = 9 dias

9. Caio dividiu certo número em parcelas inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4. A primeira parcela que ele obteve foi 200. Qual foi o número que Caio dividiu? Alternativa a.
a) 380
c) 400
e) 390
b) 360
d) 420

  x   =    x    =    x    -> 200  =   x   -> x = 80

 1/2    1/5        1/4       0,5        0,2

200 =   x   -> 0,5x = 50 -> x = 100

0,5      0,25 

10. Um terreno retangular tem 80 m de comprimento por 35 m de largura. Se diminuirmos 10 m na largura, em quantos metros deverá ser aumentado o comprimento para que a área do terreno seja mantida? Alternativa d.

80m de comprimento       35m de largura  

    x                                    25 m

x                       35

80                     25

25x = 2800 -> x = 112 -> 112 - 80 = 32

a) 20 m
c) 25 m
e) 40 m
b) 24 m
d) 32 m

DESAFIO
11. (OBM) Anita imaginou que levaria 12 minutos para terminar a sua viagem, enquanto dirigia à velocidade constante de 80 km/h, numa certa rodovia. Para sua surpresa, levou 15 minutos. Com qual velocidade constante essa previsão teria se realizado?
12 min=60/12=5          80 km/h

15 min=60/15=4              x

  5  =  x  

  4       80     4 x = 5 . 80 -> x = 400 / 4 =100

a) 90 km/h
d) 110 km/h
b) 95 km/h
e) 120 km/h
c) 100 km/h

Exercícios: Grandezas diretamente proporcionais.

1. Copie e complete o quadro a seguir, considerando que as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.

2. O tempo de cozimento de um frango depende de sua massa em quilogramas.
Sabe-se que um frango de 2,5 kg leva 1h15min para assar. Maria tem 60 min para assar um frango. Qual a massa máxima de frango que ela poderá comprar? 
2,5 kg → 75min
   x      → 60 min
75x = 2,5 . 60 → 75x = 150 → x = 2 kg

3. Uma panificadora produz 230 pães franceses a cada 40 min. Em uma jornada de 8 h, quantos pães são produzidos?
230 pães → 40 min
     x        → 8h = 480 min
40x = 11040 → x = 2760 pães.

4. Duas bolachas de água e sal possuem 64 calorias. Marina diariamente consome 5 bolachas de água e sal em seu café da manhã. Quantas calorias de bolachas de água e sal Marina consome por dia?

2 bolachas → 64 cal
5       “        → x          → 2x = 320 → x = 160 calorias.

5. Um automóvel percorre uma estrada com velocidade constante de 110 km/h.

a) Que distância terá percorrido após 3h30min?
110 km   → 60 min
   x          → 210 min → 60 x = 23100  → x= 385 km

b) Uma viagem de 473 km demoraria quanto tempo, mantendo-se essa velocidade?

V = d/t => v . t = d =>110 . t= 473 => t = 473/110 = 4,3 h ou 4h18min

6. A maquete de um novo empreendimento imobiliário foi construída na escala de 1 : 390. Sabendo que esse edifício terá 26 andares e que, em média, cada andar tem 3 m de altura, determine a medida da altura desse edifício na maquete. 

Altura do prédio: 26 . 3 = 78 metros

escala= desenho/real -> 78/390 = 0,2 m ou 20 cm

7. Um caminhão pode levar 600 sacos de cimento ou 7 290 tijolos. Se o veículo já foi carregado com 100 sacos de cimento, quantos tijolos ainda podem ser colocados no caminhão? 

600 sacos → 7290 tijolos
100 sacos  →  x 
600x = 729000 → x = 1215
7290 – 1215 = 6075 tijolos.

8. Converta as velocidades dadas em m/s para km/h:
Das correspondências entre as unidades de medida de espaço e tempo, sendo 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s. Fazemos:

                   
a) 20 m/s = 72 km/h
b) 100 m/s = 360 km/h
c) 55 m/s = 198 km/h

9. O cachorro de Amanda pesa 4,5 kg. Para tratar uma infecção nas vias urinárias, o veterinário receitou um antibiótico cuja dosagem é de 6 mL a cada 10 kg de peso corporal.
Quantos mL de antibiótico Amanda dará a seu cachorro?
6 mL → 10 kg
   x     → 4,5 kg
10x = 27 → x = 2,7 mL

10. (Encceja) As telas dos televisores são medidas em polegadas. Quando dizemos que um televisor tem 20 polegadas, isso significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas (aproximadamente 51 cm).

Se a diagonal da tela de uma televisão mede 35,7 cm, podemos concluir que se trata de um aparelho de:

a) 12 polegadas.
b) 14 polegadas.
c) 16 polegadas.
d) 18 polegadas.
20 pol → 51 cm
 x pol  → 35,7 cm
51 x = 35,7 . 20 
51x = 714
x = 14 polegadas.

EF09MA18 - Nanômetro

Distâncias muito curtas - O nanômetro

Empregar potências de base 10 para expressar medidas de comprimento muito curtas.

Calcular distâncias muito curtas e expressá-las em metro, utilizando Notação Científica.

Profissionais como Biólogos e Cientistas da área da Saúde, precisam lidar em diversas situações com medidas de comprimentos minúsculas, tais como células, vírus e microorganismos em geral, invisíveis a olho nu. Uma das formas de simplificar essas medidas de comprimento muito curtas, tanto na escrita quanto nos cálculos, é a Notação Científica. Para expressar tais medidas, esses profissionais geralmente utilizam um submúltiplo do metro, chamado de nanômetro. Um nanômetro é igual a 0,000000001 m, ou

seja, é o metro dividido em 1 bilhão de partes! 

Utilizamos o prefixo ​n para representar o nano, logo, o nanômetro é abreviado por ​nm​.

Exemplo: 

a) Escreva um nanômetro em notação científica.

1 nm = 1.10⁻⁹ m

b) Considere um nanofio de 50 nm de diâmetro em volta de um fio de cabelo humano. O diâmetro médio de um fio de cabelo é cerca de 0,05 mm. 

Quantos nanofios iguais a esse precisaríamos para compor um fio cujo diâmetro é igual ao diâmetro médio de um fio de cabelo?

Primeiro, vamos determinar quantos nanômetros tem 1 mm e, posteriormente, converter 0,05 mm em nanômetros.

Como 1 mm = 1 · 10 m⁻³ e 1 nm = 1 . 10⁻⁹m. Queremos determinar quantos 1 · 10⁻³ m. Assim,

Regra de três

nm            m

1               1 . 10⁻⁹

x               1 · 10−3

x · 10⁻⁹ = 10⁻³ ⇔ x = 10⁻³ / 10⁻⁹ = 10⁶ = 1.000.000 nm.

Ou seja, 1 mm = 1 milhão de nanômetros.

Logo, 0, 05 mm = 5 · 10⁻² · 10⁶ = 5 · 10⁶⁻² = 5 · 10⁴ = 50.000 nm.

Equações do 1º grau com duas incógnitas

As equações do 1º grau com duas incógnitas são representadas pela expressão ax + by = c, onde a e b são diferentes de 0 e c assume qualquer valor real.

Exemplos: 10x – 2y = 0;   x – y = – 8;   7x + y = 5;   12x + 5y = – 10;   50x – 6y = 32;   8x + 11y = 12

Ainda:

a) x+y = 10 = a = 1, b = 1 e c= 10 

b) x - y = 3=a= 1, b = -1 e c= 3 

c) x = 5y +5 =x - 5y = 5= a= 1, b = -5 e c=5 

d) 3y = x+2=-x+ 3y = 2= a = -1, b = 3 e c= 2 

Você já viu também que as soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas são pares ordenados. Por exemplo, a equação x + y = 10 tem com soluções os pares ordenados (1,9); (2,8); (13, 13); (-1, 11); (4, 6); etc.

Exemplo: 

Determinar a solução da equação 3x + 2y = 16 quando y = -1.

3x + 2y = 16

3x + 2 . (-1) = 16

3x - 2 = 16

3x = 16 + 2

3x = 18

x = 18/3

x = 6

O par ordenado (6, -1) é solução da equação quando y = -1.

Representação geométrica

1. Representar a equação x + y = 3 no plano cartesiano.

Inicialmente, construímos um quadro e escolhemos alguns valores para x e calculamos o valor de y correspondente. Assim, encontramos alguns pares ordenados que são solução dessa equação.

Depois, indicamos os pares ordenados no plano cartesiano. Com uma régua, traçamos a reta

que passa por esses pontos.

A representação geométrica de uma equação do 1 o grau com duas incógnitas é uma reta.

Sistemas de equações do primeiro grau com duas incógnitas

Exercícios 9º série

 

1. Em 2016, Laura constatou que a produção de abacaxi em sua fazenda cresceu 18% em relação à produção do ano de 2015, quando foram colhidos 52 600 abacaxis. Quantos abacaxis foram colhidos em 2016?

A) 43 120

B) 52 618

C) 54 400

D) 62 068

2. Considere as retas representadas no plano cartesiano abaixo.

Representação geométrica

Um sistema de equações lineares que não tem solução é: C

3. Observe a expressão algébrica abaixo.

y²-2x-3y

O valor numérico dessa expressão para x = 1 e y=-26

A) - 12.

B) 0.

C) 2.

D) 8.

4. Para fazer uma moldura de madeira para um quadro, um marceneiro vai cortar 4 peças idênticas a que está representada na malha quadriculada abaixo.

28 quadradinhos, com 1 cm².

28 . 4 = 112

Quantos centímetros quadrados de madeira, no mínimo, esse marceneiro precisa para produzir essa moldura?

A) 30 

B) 32

C) 112

D) 120

5. Paulo tem 16 anos e sua altura já superou a média das alturas de seus pais em 0,15 metros. Sua mãe possui altura de 1,59 me seu pai, 1.75 m.

Qual é a altura de Paulo? 

A) 1,52 m

B) 1,67 m

C) 1,74 m 

D) 1.82 m

6. Davi efetuou um saque no valor de R $1.200,00 em um banco no qual o caixa só dispunha de cédulas de 10 e de 50 reais e, por isso, ele recebeu ao todo 56 cédulas. Qual é o sistema de equações que permite calcular as quantidades x e y das cédulas de 10 e de 50 reais, respectivamente, que Davi recebeu nesse saque? A

7) Para uma empresa criar 2 kg de um tipo de plástico biodegradável são necessários 3 kg de açúcar. Com o aumento da demanda, a empresa precisa produzir 1 000 kg desse plástico. Mantendo essa mesma proporção, qual é a quantidade de açúcar que deverá ser utilizada para atender essa demanda?

A) 6 000 kg 

B) 3 000 kg

C) 1 500 kg

D) 1001 kg

2kg de plástico —------3 kg

1000kg  —---------------  x

2x = 3000

x = 3000 / 2 = 1500

8)  O setor de informática de uma indústria criou um sistema que deverá ser acessado por todos os seus funcionários mediante uma senha. Cada um de seus 500 funcionários deverá receber uma senha diferente, porém todas as senhas devem conter a mesma quantidade de dígitos, que serão escolhidas entre os algarismos de 1 a 5.

Qual deve ser a quantidade mínima de dígitos que cada senha deverá conter?

A) 4 

B) 5

C) 100 

D) 120

9) Sebastiana ganhou um ingresso de um cinema e pretende sortear esse ingresso entre seus 10 sobrinhos, dos quais 7 são homens e 3 são mulheres. Qual é a chance de um dos sobrinhos homens de Sebastiana ganhar esse ingresso?

A) 1/10

B)1/7

C) 7/10

D) 7/3

10)  Um determinado tanque foi construído com capacidade para armazenar, no máximo, o conteúdo de 600 embalagens de 5 litros de um certo produto químico. Qual é a medida do volume interno desse tanque, em metros cúbicos?

A) 3 m². 

B) 30 m².

C) 300 m² 

D) 3 000 m².

11) Laura vende trufas e bombons na entrada de uma faculdade duas vezes por semana. primeiro dia de venda de certa semana, Laura vendeu 20 trufas e 40 bombons, arrecadando um total de R $140,00. No segundo dia de venda dessa semana, Laura vendeu 35 trufas e 80 bombons, faturando R $266,00. Os preços da trufa e do bombom não foram alterados nesses dois dias. O preço de cada trufa e o preço de cada bombom cobrados por Laura nessa semana foi, respectivamente

A) R$ 2,32 e R$ 2,32.

B) R$ 2,80 e R$ 2,10. 

C) R$ 3,43 e R$ 1,76.

D) R$ 7,39 e R$ 3,38.

Sistema linear por adição.

12) Considere a expressão numérica apresentada no quadro abaixo.

4,3 x 10⁻⁷ +5,8 x 10⁻⁶ -> 

O resultado dessa expressão é

A) 6,23 x 10⁻⁶

B) 4,88 x 10⁻⁷

C) 6.23 x 10⁻⁸

D) 1,01 x 10⁻¹²

4,3 + 5,8 = 10,1 . 10⁻¹³, mas o resultado da adição não deve ser maior que 10, então fazemos o acerto convenientemente, ou seja, 1,01 (deslocamos a vírgula uma casa), a potência de base 10 será: 10⁻¹²

 

13) Jaqueline deseja desenhar um triângulo. Para determinar as medidas dos lados desse triângulo, ela pensou em utilizar um dos quatro conjuntos de medidas apresentados no quadro abaixo.

1cm, 2cm e 3 cm	3 cm, 6 cm e 8 cm	3 cm, 3 cm e 6 cm	2 cm, 4 cm e 8 cm
Conjunto I	Conjunto II	Conjunto III	Conjunto IV

Com qual desses conjuntos de medidas Jaqueline consegue formar um triângulo?

A) Conjunto 1.

B) Conjunto II. 

C) Conjunto III.

D) Conjunto IV.

Condição de existência de um triângulo.

Em qualquer triângulo, a medida de qualquer lado deve ser sempre menor que a soma dos outros dois lados, ou, a medida do maior lado é menor do que a soma das medidas dos outros dois lados.

14) Observe a reta representada no plano cartesiano abaixo.

Qual é a equação linear de 1 grau que representa essa reta?

A) 2x + 2y = 1.

B) 2x-y=2 

C)-x+2y = 1.

D)-x+2y=2.

15) Uma caixa térmica, fabricada por uma empresa, tem o formato interno de um bloco retangular. As dimensões internas dessa caixa estão representadas na figura abaixo.

Qual é a medida da capacidade, em centímetros cúbicos, dessa caixa térmica?

A) 112 cm³.

B) 1 300 cm³.

C) 50 400 cm³.

D) 64 000 cm³.

V= c . l. h = 42 . 30 . 40 = 

16) A localização das vagas de um estacionamento são indicadas pelo número das fileiras verticais e a letra das fileiras horizontais, conforme representado abaixo.

Nesse estacionamento, a localização da vaga número 22 possui coordenadas

A) (4, H).

B) (6, F). 

C) (5, J).

D) (6, J).

17)  João leu um livro com 816 páginas, lendo o mesmo número de páginas por dia, Ele leu esse livro em 8 dias. Quantas páginas desse livro João leu por dia?

A) 12

B) 48

C) 102 

D) 408

816 p —----- 8d 

  x      —----- 1d

8x = 816

x = 816 / 8 = 102

18) Cristina participou de uma competição na qual correu 15 quilômetros. Quantos metros Cristina correu ao todo nessa competição?

A) 15.

B) 150

C) 1 500

D) 15 000

Km hm dam m dm cm mm

15   0    0     0

19) Beatriz foi até uma doceria famosa de sua cidade encomendar alguns doces para sua festa de aniversário. Ela encomendou 2 centos de brigadeiro, 1 cento de bombom, meio cento de trufas e meio cento de mini bolinhos. A doceira apresentou-lhe a seguinte tabela de preços.

Doces	Preço do cento
Brigadeiro	R$ 70,00
Bombom	R$ 80,00
Trufas	R$ 100,00
Minibolinhos	R$ 120,00

Quanto Beatriz pagará pela sua encomenda?

A) R$ 330.00 

B) R$ 370,00

C) R$ 400,00

D) R$ 640,00

20) Angela procurou uma embalagem e encontrou as caixas abaixo à venda em uma loja de embalagens.

Nessa loja as caixas são vendidas desmontadas. Angela escolheu a caixa que tinha o formato da figura abaixo.

Qual é a caixa que Angela escolheu?

A) Caixa 1. 

B) Caixa 2.

C) Caixa 3 

D) Caixa 4.

21) Walter criou um canteiro decorativo em sua casa e, nas subdivisões desse canteiro, plantou sementes de diferentes espécies de flores. Na malha quadriculada abaixo, está representado esse canteiro, no qual a região colorida de cinza corresponde à uma subdivisão, onde foram plantadas as sementes de uma flor chamada Amor Perfeito.

Walter pagou 5 reais em cada pacote de sementes, sendo que cada pacote comprado cobriu uma região equivalente a 1 m².

Ao todo, qual foi a quantia, em reais, que Walter gastou para comprar essas sementes de Amor Perfeito que foram plantadas nessa subdivisão?

A) 30 reais.

B) 40 reais

C) 50 reais.

D) 80 reais.

22) Carmen colocou 120 balas em um recipiente para que seus três filhos, Henrique, Lucas e Tales, consumissem ao longo das semanas. Nessas semanas, Henrique consumiu uma determinada quantidade de balas. Lucas consumiu o dobro da quantidade de balas que Henrique consumiu, e Tales consumiu o triplo da quantidade de balas que Lucas e, assim, esvaziaram todo o recipiente. Uma equação que permite calcular a quantidade x de balas que Henrique consumiu ao longo dessas semanas é

A) x+x/2+3x/2 = 120.

B) x + 2x + 3x = 120.

C) (x + 2x + 6x)/3 = 120

D) x+2x+6x = 120

23)Marina verificou, na embalagem de seu biscoito favorito, que houve uma redução no conteúdo. O pacote, que continha 200 g de biscoitos, agora contém 120 g. O percentual que representa a redução no conteúdo desse pacote de biscoitos, em g. equivale a

A) 40% 

B) 60%.

C) 67%.

D) 80%

24)  Para participar de uma corrida de rua, Vera treina de segunda a sexta-feira de uma semana. Na segunda-feira, ela correu 5 km; na terça-feira, 6 km; na quarta-feira, 6 km; na quinta-feira, 8 km e, na sexta-feira, 7 km.

Quantos quilômetros por dia, em média, Vera correu nesses dias que ela treinou?

A) 6,5

B) 6,4

C) 13 

D) 16

25) Gabriela, Helena e Maria fizeram uma compra coletiva em uma loja virtual e o valor total da compra foi de R $900,00. Esse valor foi dividido de acordo com a compra que cada uma delas fez. Helena pagou o dobro do valor que Gabriela pagou e Maria pagou o triplo de Gabriela. Qual foi o valor que Gabriela pagou nessa compra?

A) R$ 150,00 

B) R$ 180,00

C) R$ 300,00 

D) R$ 450,00

x + 2x + 3x = 900

6x = 900

x = 900/6 = 150

26) Um marceneiro deseja construir uma mesa de madeira com formato de um triângulo isósceles, seguindo os ângulos indicados no projeto abaixo, que recebeu de seu cliente.

Para produzir essa mesa, o marceneiro precisa da medida do ângulo B indicado. A medida do ângulo ß. em graus, é

A) 36°

B) 72° 

C) 108º

D) 144°

Soma dos ângulos internos: 36 + 36 + X = 180 -> 72 + x = 180 -> x = 180 - 72 = 108

Exercícios: Grandezas inversamente proporcionais