EF08MA06: Valor numérico de expressões algébricas.

As expressões algébricas são aquelas expressões matemáticas que possuem números e letras, também conhecidas como variáveis. Utilizamos as letras para representar valores desconhecidos ou até mesmo para analisar o comportamento da expressão de acordo com o valor dessa variável. As expressões algébricas são bastante comuns no estudo das equações e na escrita de fórmulas da Matemática e áreas afins.

Caso a expressão algébrica possua um único termo algébrico, ela é conhecida como monômio; quando possui mais de um, é chamada de polinômio. É possível também calcular operações algébricas, que são as operações entre expressões algébricas.

Vejamos alguns exemplos de expressões algébricas:

a) 2x²b + 4ay² + 2
b) 5m³n⁸
c) x² +2x - 3

Valor numérico das expressões algébricas

Quando conhecemos o valor da variável de uma expressão algébrica, é possível encontrar o seu valor numérico. O valor numérico da expressão algébrica nada mais é do que o resultado final quando substituímos a variável por um valor.

Exemplo:

Dada a expressão x³ + 4x² + 3x – 5, qual é o valor numérico da expressão quando x = 2.

Para calcular o valor da expressão, vamos substituir o x por 2.

2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5

8 + 4 · 4 + 6 – 5

8 + 16 + 6 – 5

30 – 5

25

EF08MA06: Estudo de expressões algébricas. Monômios e polinômios.

Operações com monômios

Grau de um monômio

O grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de sua parte literal.

Exemplo:

Qual é o grau do monômio 7x³y²?

Somando-se os expoentes da parte literal, temos:

3 + 2 = 5, logo o grau do monômio é do 5º grau.

Observação

O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma letra de sua parte literal.

Exemplo:

7x³y² -> é do 3º grau em relação a x; é do 2º grau em relação a y.

Redução de termos semelhantes

  

• Identificamos os termos semelhantes.

    • Efetuamos a adição ou subtração entre os termos semelhantes.

    • Obtemos uma expressão mais simples.

Em Matemática dizemos que reduzimos os termos semelhantes da expressão.

Observe que não há termo semelhante a 3a.

Adição e subtração de monômios

Ao adicionarmos ou subtrairmos monômios devemos levar em consideração as partes literais semelhantes, adicionando ou subtraindo os coeficientes e preservando a parte literal. Veja exemplos:

17x³ + 20x³ = (17 + 20)x³ = 37x³

2ax² + 10b – 6ax² – 8b = (2 – 6)ax² + (10 – 8)b = –4ax² + 2b

–4xy + 6xy – 5xy = (–4 + 6 –5)xy = – 3xy

5b³ + 7c³ + 6b³ – 2c³ = (5 + 6)b³ + (7 – 2)c³ = 11b³ + 5c³

Multiplicação de monômios

Na multiplicação de monômios devemos multiplicar coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. Ao multiplicar partes literais iguais, aplique a multiplicação de potências de bases iguais: somar os expoentes e repetir a base.

2x . 3x = (3 . 2) . (x . x) = 6x²

4x . 6z = (4 . 6) . (x . z) = 24xz

5b² . 10b² . c³ = (5 . 10) . (b² . b² . c³) = 50b4c³

4a²x³ . (–5ax²) = [4.(–5)] . (a²x³ . ax²) = –20a³x⁵

Divisão de monômios

Na divisão de monômios devemos dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. Ao dividir partes literais iguais, aplique a divisão de potências de bases iguais: subtrair os expoentes e repetir a base.

16x⁵ : 4x² = 4x³ → (16:4) e (x5 : x²)

20a²x³ : (–5ax²) = –4ax → [20 : (–5)] e (a²x³ : ax²)

81x : 9x = 9

144x³b² : 2xb = 72x²b

Potenciação de monômios

Para elevarmos um monômio a uma potência devemos elevar cada fator desse monômio a essa potência. Na prática elevamos elevamos o coeficiente numérico à potência e multiplicamos cada um dos expoentes das variáveis pelo expoente da potência.

Vamos calcular:

(5a³m)² = 25 a⁶m

Conclusão : Para elevarmos um monômio a uma potência, elevamos cada um de seus fatores a essa potência.

Raiz quadrada

Para extrairmos a raiz de um monômio efetuamos a raiz de seu coeficiente numérico e a raiz de seus fatores. Na prática isso equivale a dividirmos cada expoente pelo índice da raiz.

Aplicando a definição de raiz quadrada, temos:

a) √49x² = 7x, pois (7x)² = 49x²

b) √25x⁶ = 5x³, pois (5x³)² = 25x⁶

Conclusão: para extrair a raiz quadrada de um monômio, extraímos a raiz quadrada do coeficiente e dividimos o expoente de cada variável por 2.

Exemplos:

a) √16x⁶ = 4x³

b) √64x⁴b² = 8x²b

Obs: Estamos admitindo que os resultados obtidos não assumam valores numéricos negativos.

Exercícios

Valor numérico de uma expressão algébrica.
Operações com monômios

Operações com polinômios

Sequência de Fibonacci

 Fibonacci ou Leonardo de Pisa (1170-1250), um famoso matemático italiano, criou a sequência que leva seu nome a partir da observação do crescimento de uma população de coelhos. Os números descrevem a quantidade de casais em uma população de coelhos após n meses, partindo dos seguintes pressupostos:

1. No primeiro mês nasce somente um casal;

2. Casais amadurecem sexualmente após o segundo mês de vida;

3. Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;

4. Todos os meses, cada casal dá à luz a um novo casal;

5. Os coelhos nunca morrem;

Com essas condições, inicia-se a construção da sequência:

No 1o mês há apenas 1 casal de coelhos. Como a maturidade sexual dos coelhos dá-se somente a partir do segundo mês de vida, no mês seguinte continua havendo apenas 1 casal. No 3º mês teremos o nascimento de mais um casal, totalizando 2 casais. No 4o mês, com o nascimento de mais um casal, gerado pelo casal inicial, (visto que o segundo ainda não amadureceu sexualmente ) teremos 3 casais. No mês seguinte (5º), com nascimento de dois novos casais gerados pelo casal 1 e pelo casal 2, totalizam-se 5 casais.

Seguindo essa lógica e as condições estabelecidas previamente por Fibonacci temos a sequência:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

Ela representa a quantidade de casais de coelhos mês a mês. Observando com mais cuidado, pode-se perceber que qualquer termo posterior dessa sequência é obtido adicionando os dois termos anteriores. Vejamos:

O 6o termo da sequência é 8. Somando os dois termos anteriores 5+3 =8.

Assim, 89 é o termo que virá após 55, pois 34+55=89.

Dessa forma, para determinar o próximo basta fazer 89 + 55 = 144, e assim por diante.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584...

EF09MA10 e 11: Sequência recursiva e não recursiva

 1. Sequência numérica é a ação de dar continuidade a algo que já foi definido previamente, obedecendo uma determinada ordem. 

Quando estudamos sequências é importante descobrir regularidades, para determinar seus termos faltantes ou futuros. Uma sequência numérica deve ser representada entre parênteses e ordenada. 

Exemplos:  

(1, 2, 3, 4, 5, 6, …): sequência dos números naturais;  

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …): sequência dos números primos positivos;  

(1, 3, 5, 7, 9, …): sequência dos números ímpares positivos; 

2. Sequência recursiva 

Uma sequência é recursiva quando um termo depende dos termos anteriores. Por exemplo: Quantos cubos formarão a próxima figura e como chegar à resposta

Representação numérica: termo 1= 1; termo 2 = 3; termo 3 = 6; termo 4 =10. 

Representação algébrica: Existe uma regularidade nesta sequência, onde cada termo a partir do segundo é igual ao termo anterior somado com sua posição na sequência. 

Exemplos: 

termo 2 = (T1) + 2 = 1 + 2 = 3 

termo 3 = (T2) + 3 = 3 + 3 = 6 

termo 4 = (T3) + 4 = 6 + 4 = 10

3. Sequências não recursivas 

As sequências não recursivas são aquelas que não dependem de termos anteriores para que se determine o próximo termo, pode-se obter o valor de um elemento da sequência apenas pela sua posição. 

Por exemplo, na sequência (7,14,21,28...), não é necessário saber o último termo para determinar o seguinte. Observando atentamente, essa sequência é formada pelos múltiplos de 7. 

No caso da sequência (2,3,5,7,11..), percebe-se que ela é formada pelos números primos

4. Fractais Fractais são figuras geométricas que possuem autossimilaridade. São figuras que contém dentro de si cópias menores delas mesmas. Veja no exemplo a seguir:

Partindo da primeira figura formada por um triângulo equilátero, podemos formar uma sequência. Perceba que, a cada nova figura formada por triângulos equiláteros pretos, a figura anterior é reduzida e repetida algumas vezes, para dar origem a próxima. Essa sequência é chamada de triângulo Sierpinski. Considerando somente os triângulos pretos, temos: T1 = 1; T2 = 3, T3 = 9, T4 = 27,... 

Cada termo é obtido pelo termo anterior multiplicado por 3: 

T1 = 1; T2 = 3 x 1 = 3; T3 = 3 x 3 = 9; T4 = 3 x 9 = 27 

Como utilizar potência para determinar termos futuros de uma sequência. Usaremos para o termo da sequência “T” e posição do termo na sequência “n”. Assim teremos a seguinte representação algébrica: T1 = 1 

T2 = 32-1 = 31 = 3 

T3 = 33-1 = 32 = 9 

T 4 = 34-1 = 33 = 27 

Logo, Tn = 3n-1

As sequências numéricas podem ser finitas, quando é possível “contar” os seus elementos,

ou infinitas, quanto não é possível “contar” os seus elementos.

 Sequência finita: (a1, a2, a3, ..., an)

 Sequência infinita: (a1, a2, a3, ..., an,...)

Leitura dos termos acima:

a1 → a índice 1 (primeiro termo)

a2 → a índice 2 (segundo termo)

a3 → a índice 3 (terceiro termo)

an → a índice n (enésimo termo)

Veja exemplos de sequências finitas e infinitas:



 Sequência finita: (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)



 Sequência infinita (3, 5, 7, 11, 13, 17,...)

Em uma sequência numérica qualquer, o primeiro termo é representado por a1, o segundo termo é a2, o terceiro a3 e assim por diante. Em uma sequência numérica desconhecida,último elemento é representado por an. A letra “n” determina o número de elementos da sequência.

Alguns exemplos de sequências:

a) Estes palitos formam uma sequência. O palito verde mede 3 cm, o palito azul mede o dobro disso e o palito laranja o triplo do verde. É uma sequência porque segue uma regularidade. Como podemos representar numericamente os termos dessa sequência?

Representação numérica - palito verde: 3 cm; palito azul: 2 x 3 cm = 6 cm; palito laranja: 3x 3 cm = 9 cm. Logo, temos: (3, 6, 9). Continuando a sequência: (3, 6, 9, 12, 15, ...).

Representação algébrica : Como todos os termos são em função do primeiro, podemos representar:

T1 = 3

T2 = T1 x 2 =>3 x 2 = 6

T3 = T1 x 3 => 3 x 3 = 9

T4 = T1 x 4 => 3 x 4 = 12

T5 = T1 x 5 => 3 x 5 = 15

b) Uma sequência numérica pode ser representada por um padrão e por uma expressão

algébrica. Observe a sequência numérica decrescente abaixo:

● (2000, 400, 80,...)

Qual será o próximo valor desta sequência? Qual é o padrão?

O próximo termo será = 16 (80: 5 = 16), pois o padrão apresentado nesta sequência é o

valor anterior dividido por 5.

Representação numérica: 2000 : 5 = 400; 400 : 5 = 80; 80 : 5 = 16

Representação algébrica : Como todos os termos são em função do primeiro, podemos

representar:

T1 = 2000

T2 = T1 : 5 => 2000 : 5 = 400

T3 = T2 : 5 => 400 : 5 = 80

T4 = T3 : 5=> 80 : 5 = 16

Exercícios

Sequência de Fibonacci

EF09MA13 e 14: O Teorema de Pitágoras.

 

O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Se construirmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão área a², b² e c².
Assim podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos dois quadrados construídos sobre os catetos.

Eq 2º grau/Fatoração

Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

Fatoração soma-produto: x2 + Sx + P

Dada a expressão algébrica y2 – 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito.

Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é x2 + Sx + P. Dada a expressão y2 – 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes (do maior para o menor), se estiver basta achar dois números que somados resultem em -5 e que o produto deles resulte em 6. Assim:

2 . 3 = 6

(- 2) . (- 3) = 6

6 . 1= 6

- 6 . (- 1) = 6

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê -5. Concluímos que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será: (y – 2) (y – 3).

Fatoração de produtos especiais

Quadrado da soma => Forma fatorada: Trinômio do quadrado perfeito.

Quadrado da diferença => Forma fatorada: Trinômio do quadrado perfeito.

Produto da soma pela diferença => Forma fatorada: Diferença de dois quadrados.

Cubo da soma => Forma fatorada: x³ + y³

Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x + y) (x2 - xy + y2) utilize a propriedade distributiva;

x3 - x2y + xy2 + x2y –xy2 + y3 una os termos semelhantes;

x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados.

Assim, podemos concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde x e y poderão assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x3 + y3 será (x + y) (x2 - xy + y2).

Cubo da diferença => Forma fatorada: x³ - y³

BNCC: 9º ano.

(EF09MA01): Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta.

(EF09MA02): Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica.

(EF09MA03): Potências com expoentes negativos e fracionários.

(EF09MA04): Números reais: notação científica e problemas.

(EF09MA05): Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos.

(EF09MA06): Funções: representações numérica, algébrica e gráfica.

(EF09MA07): Razão entre grandezas de espécies diferentes.

(EF09MA08): Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais.

(EF09MA09): Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis.Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações.

(EF09MA10): Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

(EF09MA11): Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo.

(EF09MA12): Semelhança de triângulos.

(EF09MA13): Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração. 

(EF09MA14): Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações  experimentais.

(EF09MA15): Polígonos regulares.

(EF09MA16): Distância entre pontos no plano cartesiano.

(EF09MA17): Vistas ortogonais de figuras espaciais.

(EF09MA18): Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas. Unidades de medida utilizadas na informática.

(EF09MA19): Volume de prismas e cilindros.

(EF09MA20): Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes.

(EF09MA21): Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação.

(EF09MA22): Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos.

(EF09MA23): Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório.

BNCC: 8º ano

 (EF08MA01): Notação científica.

(EF08MA02): Potenciação e radiciação.

(EF08MA03): O princípio multiplicativo da contagem.

(EF08MA04): Porcentagens.

(EF08MA05): Dízimas periódicas: fração geratriz.

(EF08MA06): Valor numérico de expressões algébricas.

(EF08MA07): Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano.

(EF08MA08): Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano.

(EF08MA09): Equação polinomial de 2o grau do tipo ax² = b.

(EF08MA10): Sequências recursivas e não recursivas.

(EF08MA11): Sequências recursivas e não recursivas.

(EF08MA12): Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.

(EF08MA13): Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.

(EF08MA14): Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros.

(EF08MA15): Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

(EF08MA16): Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

(EF08MA17): Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas.

(EF08MA18): Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação.

(EF08MA19): Área de figuras planas. Área do círculo e comprimento de sua circunferência.

(EF08MA20): Volume de cilindro reto. Medidas de capacidade.

(EF08MA21): Volume de cilindro reto. Medidas de capacidade.

(EF08MA22): Princípio multiplicativo da contagem. Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral.

(EF08MA23): Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados.

(EF08MA24): Organização dos dados de uma variável contínua em classes.

(EF08MA25): Medidas de tendência central e de dispersão.

(EF08MA26): Pesquisas censitária ou amostral.

(EF08MA27): Planejamento e execução de pesquisa amostral.

BNCC - 7º ano

EF07MA01: Múltiplos e divisores de um número natural.

EF07MA02: Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples.

EF07MA03: Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e

operações.

EF07MA04: Operações com números inteiros.

EF07MA05: Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

EF07MA06: Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

EF07MA07: Frações: Fluxograma.

EF07MA08: Frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

.

EF07MA09: Frações: Associação entre razão e fração,

EF07MA10: Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações.

EF07MA11:  Multiplicação e a divisão de números racionais.

EF07MA12: Operações com números racionais.

EF07MA13:  Variável, representada por letra ou símbolo. Ideia de incógnita.

EF07MA14: Sequências recursivas e não recursivas.

EF07MA15:  Simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

EF07MA16: Equivalência de expressões algébricas.

EF07MA17: Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais.

EF07MA18: Equações polinomiais do 1º grau.

EF07MA19: Transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

EF07MA20: Simetria.

EF07MA21: Simetrias de translação, rotação e reflexão.

EF07MA22: A circunferência como lugar geométrico.

EF07MA23: Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

EF07MA24: Figuras geométricas planas.

EF07MA25: Ângulos: noção, usos e medida.

EF07MA26: Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

EF07MA27: Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero.

EF07MA28: Fluxograma, da construção de um polígono regular.

EF07MA29: Problemas envolvendo medições.

EF07MA30: Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais.

EF07MA31:  Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

EF07MA32:  Cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

EF07MA33: Medida do comprimento da circunferência.

EF07MA34: Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências.

EF07MA35: Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados.

EF07MA36: Pesquisa censitária e amostral.

EF07MA37: Gráfico e setores.

BNCC - 6º ano

EF06MA01: Números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

EF06MA02:  Sistema de numeração decimal, características (base, valor posicional e função do zero),

a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

EF06MA03: Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais. Divisão euclidiana

EF06MA04: Fluxograma para determinar a paridade de um número natural.

EF06MA05: Múltiplos e divisores de um número natural.

EF06MA06: Números primos e compostos.

EF06MA07: A forma fracionária dos números racionais. Frações equivalentes.

EF06MA08: Números racionais positivos nas formas fracionária e decimal.

EF06MA09: Cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural.

EF06MA10: Problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

EF06MA11: Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais.

EF06MA12: Aproximação de números para múltiplos de potências de 10.

EF06MA13: Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

EF06MA14: Propriedades da igualdade. 

EF06MA15: Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo.

EF06MA16: Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados..

EF06MA17: Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

EF06MA18: Polígonos: lados, vértices e ângulos, classificação em regulares e não regulares.

EF06MA19: Características dos triângulos e classificação quanto às medidas dos lados e dos ângulos.

EF06MA20: Quadriláteros: Características dos quadriláteros, classificação quanto a lados e a ângulos.

EF06MA21: Figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução.

EF06MA22: Retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros.

EF06MA23: Construção de retas paralelas e perpendiculares.

EF06MA24: Soma das medidas dos ângulos internos.

EF06MA25: Abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

EF06MA26:  Fluxograma: Construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

EF06MA27: Ângulos internos dos polígonos regulares.

EF06MA28: Fluxograma: de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero).

EF06MA29: Problemas envolvendo medições.

EF06MA30: Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida.

EF06MA31:  Variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

EF06MA32: Dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

EF06MA33: Coleta de dados, organização e registro. Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações.

EF06MA34: Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

Sistema métrico decimal

 

Proporções

 1. Complete as igualdades de modo a obter proporções.

2. Num jardim há cravos e rosas na razão de 8 para 11. Há 88 rosas. Descubra qual é o núme

ro de cravos existentes no jardim. 64 cravos;

64 cravos → 8/11=x/88

3. Margarete utilizou a seguinte receita para fazer um bolo:

Que quantidade de açúcar será necessária se Margarete fizer o bolo com 140 gramas de

farinha? 80 gramas

4. Observe as figuras.

Quanto custam:

a) 5 chocolates? 10,75

b) 2 latas de óleo? 2,56

c) 1 kg de batata? 1,40

d) 7 kg de batata? 9,80

5. Numa lanchonete, a cada 27 pastéis de carne vendidos, vende-se 9 de palmito. Em certo dia, foram

vendidos 30 pastéis de carne. Quantos pastéis de palmito foram vendidos nesse dia? 10 pastéis de

palmito -> 27/9 = 30/x

6. Num 7º ano, a razão do número de meninos para o número de meninas é 7/6. 

Quantos são os meninos, se nessa classe há 18 meninas?

21 meninos → 7/6 = x/18

7. A sombra de uma árvore mede 9 m. À mesma hora, um vergalhão de 4 m projeta uma sombra de 3 m.

Qual é a altura dessa árvore? 12 m

Grandezas diretamente proporcionais

1) Veja o quadro:

Há proporcionalidade direta entre o preço e o peso do tomate? Sim. Justifique.

2) Para responder às perguntas abaixo, consulte a tabela: 

a) Qual é o tempo gasto para o automóvel percorrer 150 km? 1,5 h

b) Em 1 hora, quantos quilômetros o automóvel percorre? 100 km

c) Complete em seu caderno a tabela acima até 4 horas, de meia em meia hora. 250, 300, 350, 400

d) Qual é o tempo gasto pelo automóvel para percorrer 350 km? 3,5 h

e) Quando o tempo aumenta, a distância percorrida aumenta ou diminui? Aumenta.

f) Quando o tempo diminui, a distância percorrida aumenta ou diminui? Diminui.

g) Qual número obtemos dividindo a distância percorrida pelo tempo gasto em percorrê-la? Qual é o seu significado?

100 → É a razão entre as grandezas.

3) Uma fotocopiadora tira 10 fotocópias em 12 segundos.

a) Quantas fotocópias ela tira em 5 minutos? 250 fotocópias. E num quarto de

hora? 750 fotocópias.

b) Quanto tempo ela demora para tirar 110 fotocópias? 132 segundos.

c) Outra fotocopiadora tira 48 fotocópias por minuto. Qual delas é mais rápida? A primeira.

4) Se um relógio com defeito atrasa 2 minutos por dia, quantos dias se passaria para o atraso ser de 1 hora?

a) 60

b) 50

c) 30

d) 20

e) 15

O tempo de atraso é diretamente proporcional ao número de dias passados. Como 1 hora equivale a 60 minutos, temos:

Atraso = k . nº de dias

2 = k . 1

k = 2

Logo:

60= 2 . nº de dias

no de dias = 62= 30

5) Se três torneiras iguais enchem um tanque em 2 horas e 40 minutos, quanto tempo  

será necessário para que esse tanque seja completamente cheio por 4 torneiras do mesmo 

tipo? Colocando os dados numa tabela temos:

Tempo (min)	Quantidade  de  torneiras
t	4
160	3

Como as grandezas são inversamente proporcionais:

4 . t = 160 . 3 →  t = (160 . 3) / 4 → t= 40.3 = 120 min

Portanto, 4 torneiras levarão 2 horas para deixar o tanque completamente cheio.

Medidas de comprimento

 1.Em marcha, o passo de Antônio mede, em média, 75 cm, e o de Pedro, 60 cm. Em um percurso de 300 m, quantos passos Pedro dá a mais que Antônio?

R: 100 passos. 

300 m = 30.000 cm

30.000 : 75 = 400

30.000 : 60 = 500

2. Observe a figura a seguir: 

A relação entre as partes pintadas no retângulo e seu todo é:

(A) 0,1 

(B) 0,2 → 2 : 10 = 0,2

(C) 0,8 

(D) 1,0

3. O terreno do Sr. João é retangular e mede 54 m de comprimento por 76 m de largura. Calcule quantos metros de arame farpado serão necessários para cercá-lo com três voltas.                                                                                                                                    54 m

76cm

R: 780 m                                                                                       

1 volta= 54 + 76 + 54 + 76 = 260 m

3voltas= 3 . 260 = 780

4. Para cada prego de 30 mm que a máquina do Sr. Augusto fábrica, perde-se 0,2 cm de arame. Quantos pregos podem ser fabricados com um rolo de arame de 64 m de comprimento? 

R: 2000 pregos.

30mm + 0,2cm de perda= 30mm + 2mm = 32mm

64 m : 32mm =64m : 0,032m = 2000

5. A massa de um pãozinho francês é de aproximadamente 50g. Sabendo-se que uma pessoa consome 2 pãezinhos por dia, quantos quilogramas (kg) deste alimento ela consumirá em 30 dias? 

(A) 100 

(B) 60 

(C) 15 

(D) 3

100 g por dia.

100 . 30 = 3000g ou 3 kg.

6. Na tabela a seguir temos algumas unidades de medidas não padronizadas, e os objetos que podem ser medidos a partir delas. 

Utilizando o objeto	O que medir
(1) Cabo de vassoura	(3) o comprimento de um lápis.
(2) Palmo aberto	(4) a largura da quadra da escola.
(3) Palitos de fósforos	(1) a altura da sala.
(4) Passos simples	(2) ocomprimento da mesa da sala de aula.

A correspondência correta entre as colunas é: 

(A) 2, 1, 3 e 4

(B) 1, 2, 3 e 4 

(C) 3, 4, 1 e 2 

(D) 2, 1, 4 e 3. 

7. A imagem a seguir apresenta o comprimento de um lápis medido com a régua. 

O comprimento do lápis é de 

(A) 0,5 unidades de medida 

(B) 6,5 unidades de medida. 

(C) 7,0 unidades de medida. 

(D) 14,0 unidades de medida. 

8) O esquema a seguir informa a distância da casa de Camila à Escola. 

Observando o esquema, podemos estimar que a distância da casa de Beatriz à Escola é de, aproximadamente: 

(A) 180 m. 

(B) 200 m. 

(C) 300 m. 

(D) 500 m. 

9) Observe o lápis e a borracha na figura a seguir 

Se o lápis mede 10 centímetros, a borracha mede aproximadamente. 

(A) 9 centímetros. 

(B) 5 centímetros. 

(C) 4 centímetros. 

(D) 3 centímetros.

10) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: 

a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; 

b) altura b entre o solo e o encosto do piloto. 

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, 

(A) 2,3 e 1,6 

(B) 23 e 16 

(C) 230 e 160 

(D) 2300 e 1600

Exercícios: Operações com monômios e polinômios

1)     Quais são os pares de termos semelhantes?

a)     7a e 4a 

b)     2x² e -6x²

c)      4y e 5y²

d)     8xy e –xy

e)     -5a e -4ab

2) Reduza os termos semelhantes:

a)     8a + 2a = 10a

b)     7x – 5x = 2x

c)      2y²- 9y² = - 7y²  

d)     4a² - a² =  3a²

e)     4y – 6y =  - 2y

3) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas:

a)      6x² - [ 4x² + (3x – 5) + x] = 2x² – x +5

b)      3X + { 2Y – [ 5X – (Y + X)]} = - x + 3y

c)       – 3x + [ x² - ( 4x² - x ) + 5x] = - 3x² + 3x

d)      Xy – [ 2x + (3xy – 4x ) + 7x]  = 2xy+13x

e)      8a – [ ( a + 2m) – ( 3a – 3m)] = 10a- 5m

4) Efetue:

a) (+7x) + (-3x) = 4x

b) (-8x) + (+11x) = 3x 

c) (-2y) + (-3y) = - 5y 

d) (-2m) + (-m) = - 3 m

e) (+5a²) + (-3a²) = a²

5) Efetue :

a) (+ 3xy) – (-xy) + (xy) = 5xy

b) (+ 15x) – (-3x) – (+7x) + (-2x) = 9x 

c) (-9y) –( +3y) – (+y) + (-2y) = - 15 y

d) (3n) + (-8n) + (+4n) – (-5n) – (-n) = 5n 

6) Multiplique os monômios:

a) (+5x) . (-4x²) = - 20 x³

b) (-2x) . (+3x) = - 6x²

c) (+5x) . (+4x) = 20x²

d) (-n) . (+ 6n) = - 6 n²

e) (-6x²) . (+3x²) = - 18 x⁴

7) Calcule os quocientes:

a)      (10xy) : (5x) = 2 y

b)      (x³y²) : (2xy) = ½ x² y

c)       (-3xz²) : (-3xz) = z

d)      (-14m⁶n³) : ( 7m⁴n²) = - 2m²n

e)      (1/2a³b²) : (-a³b²) = - ½ 

8) Calcule as potências:

a) ( + 3x²)² = 9 x⁴

b) (-8x⁴)² = 64x⁶ 

c) (2x⁵)³ = 8 x¹⁵

d) (3y²)³ = 27 y ⁶

e) (-y²)⁴ = y⁸

9) Extraia a raiz quadrada: 

a) √4x⁶ = 2x³

b) √x²y⁴ = x²

c) √36c⁴ = 6c²

d) √81m² = 9 m

e) √25x¹² = 5x⁶ 

Operações com polinômios