Os conjuntos numéricos

Estudo dos conjuntos numéricos
Objetivos

• Compreender o conceito de conjunto.
• Representar conjuntos utilizando chaves e diagramas.
• Identificar os elementos de um conjunto.
• Determinar se um elemento pertence a certo conjunto.
• Verificar se um conjunto está contido no outro.
• Realizar as operações de união e interseção de conjuntos.
• Identificar os elementos do conjunto dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
• Escrever números  decimais na forma de fração e vice-versa.
• Identificar dízimas periódicas e seus períodos.
• Representar os números reais na reta numérica.

     Em 1874, o matemático russo Georg Cantor revolucionou o estudo da Matemática com a Teoria dos Conjuntos. Essa teoria tornou-se o elemento central da estruturação do conhecimento matemático.
     Dois anos depois, o lógico inglês John Venn (1834-1923) utilizou pela primeira vez os diagramas, que facilitaram a compreensão das ideias abstratas dessa teoria.
   
Representação de conjuntos em um diagrama de Venn
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8}

     Entre as várias operações que podemos realizar com conjuntos, estão a união e a intersecção.
     A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos de A e de B. Indicamos o conjunto união por: 
     A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B ao mesmo tempo. Indicamos o conjunto intersecção por: 
     No diagrama, a união e a intersecção podem ser representadas por uma parte colorida ou hachurada.

 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

 =  {4, 5}

                                                       

Coeficiente angular da reta

MOVA o ponto C.  
A inclinação de uma reta é uma medida que nos informa o quão íngreme é a reta.
     O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (X1,Y1) e (X2,Y2), é a razão entre a elevação, dada pela diferença Y2 - Y1, e o avanço, dado por X2 - X1. Isto é,

O que você observa quando movimenta o ponto C da animação?
Exemplo
Dados: A(-6,4) e B(2,1)
Qual a inclinação da reta entre esses dois pontos?

Logo, a inclinação da reta é -3/8.

     A declividade ou o coeficiente angular de uma reta r é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação α, ou seja:
                                                      m = tg α
                                                  Tgα = d(C, P) = Y_{2 –} Y₁ então m = Y_{2 –} Y₁

                                                            d(A, C)   x₂ – x₁                           x₂ – x₁ 

Exemplo:
     Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(2, 3) e B(4,7).
 m = (7 - 3) / (4 - 2) = 4/2 = 2 

Fatoração de um radical

  Dadas algumas situações, deparamo-nos com a necessidade de extrair a raiz de um número. Se não dispusermos de uma calculadora, ou se o seu uso não for permitido, valemo-nos da fatoração.
  Por exemplo:
  Qual a raiz quadrada do número 256 (√256)?
  - decompomos o número 256, em fatores primos:
                                                     256 | 2
                                                     128 | 2
                                                       64 | 2
                                                       32 | 2
                                                        16| 2
                                                          8| 2
                                                          4| 2
                                                          2| 2
                                                          1|
Logo podemos escrever: √ 2² . 2² . 2² . 2² (considerando que a raiz é quadrada).
Simplificamos os expoentes de valor 2 com o índice 2 da raiz e multiplicando-se as bases temos:
                                                      2 . 2 . 2 . 2 = 16
Então a raiz quadrada do número 256 é 16.

Segmento circular

     Um segmento circular é a região de um circulo delimitada por uma secante e um arco de círculo.
Mova os pontos B ou C, para alterar as áreas.

Evolução histórica da matemática

• 4000 a.C. - Na Mesopotâmia, os sumérios desenvolvem um dos primeiros sistemas numéricos, composto de 60 símbolos.
• 520 a.C. - O matemático grego Eudoxo de Cnido define e explica os números irracionais.
• 300 a.C. - Euclídes desenvolve teoremas e sintetiza diversos conhecimentos sobre geometria. É o início da Geometria Euclidiana.
• 250 - Diofante estuda e desenvolve diversos conceitos sobre álgebra.
• 500 - Surge na Índia um símbolo para especificar o algarismo zero.
• 1202 - Na Itália, o matemático Leonardo Fibonacci começa a utilizar os algarismo arábicos.
• 1551 - Aparece o estudo da trigonometria, facilitando em pleno Renascimento Científico, o estudo dos astros.
• 1591 - O francês François Viète começa a representar as equações matemáticas, utilizando letras do alfabeto.
• 1614 - O escocês John Napier publica a primeira tábua de algorítimos.
• 1637 - O filósofo, físico e matemático francês René Descartes desenvolve uma nova disciplina matemática: a geometria analítica, com a mistura de álgebra e geometria.
• 1654 - Os matemáticos franceses Pierre de Fermat e Blaise Pascal desenvolvem estudos sobre o cálculo de probabilidade.
• 1669 - O físico e matemático inglês Isaac Newton desenvolve o cálculo diferencial e integral.
• 1685 - O inglês John Wallis cria os números imaginários.
• 1744 - O suíço Leonard Euler desenvolve estudos sobre os números transcendentais.
• 1822 - A criação da geometria projetiva é desenvolvida pelo francês Jean Victor Poncelet.
• 1824 - O norueguês Niels Henrik Abel conclui que é impossível resolver as equações de quinto grau.
• 1826 - O matemático russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky desenvolve a geometria não euclidiana.
• 1931 - Kurt Gödel, matemático alemão, comprova que em sistemas matemáticos existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.
• 1977 - O matemático norte-americano Robert Stetson Shaw faz estudos e desenvolve conhecimentos sobre A Teoria do Caos.
• 1993 - O matemático inglês Andrew Wiles consegue provar através de pesquisas e estudos o último teorema de Fermat.
  Fonte: http://www.suapesquisa.com/matematica/

Sistemas de inequações

     Um gramado retangular, em que a largura deve medir 80% do comprimento e a área deve ser de no mínimo 180 m², receberá uma cerca de proteção que custa R$ 8,00 o metro linear. O proprietário não deseja gastar mais do que R$ 500,00 com a cerca.

Qual deve ser o comprimento do retângulo?
Resolução:
Comprimento: x
Largura: 80% de x = 80/100x = 0,8x, logo o comprimento do gramado é x e sua largura 0,8x.
A área deve ser de no mínimo 180 m². Então:  x . 0,8x ≥ 180 -> 0,8x² ≥ 180
O custo da cerca deve ser de no máximo R$ 500,00. Então: (x + x + 0,8x + 0,8x ) . 8 ≤ 500
                                                                                                   3,6x . 8 ≤ 500
                                                                                                    28,8 x ≤ 500
Observamos então que, o comprimento x deve satisfazer a duas condições, logo temos o sistema:
                                                       0,8x² ≥ 180    e
                                                       28,8 x ≤ 500
Resolvendo:
1ª equação: 0,8x² ≥ 180 => 180/0,8 => x² ≥ 225 => x ≥ 15.

2ª equação: 28,8 x ≤ 500 => x  ≤ 500 / 28,8 => x  ≤ 50 / 2,88 aproximadamente igual a 17,36.

Solução: o retângulo deve ter um comprimento entre 15 e 17,36 metros aproximadamente, em notação matemática: 15 ≤ x ≤ 17,36.

Marcando as soluções de cada uma numa reta, visualizamos as soluções comuns:

Glossário

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z

A

Adição algébrica

Toda expressão numérica que contém somente as operações de adição e subtração.
                             -17 + 40 +21 - 16 -33

Altura de um triângulo

É o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto e é perpendicular a esse lado ou ao seu prolongamento.

Ângulo

Região convexa formada por duas semi-retas não opostas que têm a mesma origem.

Ângulo agudo

Ângulo cuja medida é menor que a de um ângulo reto.

Ângulo central da circunferência
É qualquer ângulo que tem o vértice no centro de uma circunferência.

Ângulo de meia-volta

O mesmo que ângulo raso.

Ângulo de uma volta

Ângulo cuja medida é 360º.

Ângulo inscrito na circunferência

É todo ângulo que tem o vértice na circunferência, sendo seus lados secantes a ela.

Ângulo obtuso

Ângulo cuja medida é maior que a medida de um ângulo reto.

Ângulo raso

Ângulo que mede 180º.

Ângulo reto

Ângulo que mede 90º

Ângulos complementares
Dois ângulos cuja soma de suas medida é 90º.

Ângulos congruentes

Ângulos de mesma medida.

Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.)

Dois ângulos são o.p.v. quando os lados de um forem prolongamento dos lados do outro, e vice-versa.

Ângulos suplementares

Ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 180º.

Apótema de um polígono regular

Segmento que vai do centro O até o ponto médio M de um dos lados do polígono.

Área

Medida de uma superfície.

Arco de circunferência

Dois pontos distintos da circunferência e que não são extremidades de um diâmetro determinam na circunferência um arco.

A teoria dos números

     A Matemática começou com a criação dos números para contar e para determinar quantidades, desenvolvendo-se em função das necessidades cotidianas, como por exemplo: "Uma tribo tinha de saber quantos eram seus membros e quantos eram seus inimigos; um homem necessitava saber se seu rebanho de carneiros estava diminuindo, e também devido à curiosidade do ser humano.
     No primeiro período histórico, o conceito de número era expresso por meio de palavras, como por exemplo: "Uma parelha de faisões e um par de dias eram casos do número 2".
     Quanto ao número zero, trata-se de uma adição muito recente; os gregos e os romanos não possuíam esse dígito.
     Podia-se contar por exemplo, fazendo-se ranhuras no barro ou numa pedra.
     Mais tarde com o surgimento da escrita, foram surgindo símbolos para representar esses números, nos períodos matemáticos egípcio e babilônico, grego, chinês, hindu, árabe, idade média e moderno.
     Do limiar do século XX, valemo-nos hoje dos axiomas formulados pelo matemático italiano Giuseppe Peano, de onde podemos descrever concisa e precisamente o conjunto N dos números naturais:
a) Todo número natural tem um único sucessor;
b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro;
d) Seja X um conjunto de números naturais. Se 1 pertence a X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, então X = N.

Diagonais de um polígono

Diagonal
     Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.
   
Desenvolvimento da fórmula do cálculo de diagonais de um polígono

     Tendo um retângulo como base, isolamos um dos vértices, por exemplo o vértice A, sendo que desse vértice somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, no caso o vértice C.
Logo: d = n - 3 (pois desconsideramos os vértices, aos quais não é possível fazer diagonal). Aplicando esta fórmula ao retângulo do exemplo temos d = 4 - 3 = 1, portanto para o vértice A, temos somente uma diagonal.
Sendo n o número de lados de um polígono e isolando-se um vértice da origem da primeira diagonal, podemos escrever a seguinte relação para qualquer polígono:
                                                       d = n (n - 3)
Mas como uma diagonal, tem duas origens, dividimos então a relação construída por 2. Então:
                                                       d = n (n -3 ) / 2