Cálculo de Derivadas

Exercício Proposto

Considere a função:

f(x) = 3x² - 4x + 1

Vamos calcular:

1. A derivada f'(x)
2. A equação da reta tangente em x = 2
3. Pontos críticos e sua classificação

Calculando f'(x) - Passo 1

A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:

f(x) = 3x² - 4x + 1

Vamos derivar cada termo separadamente:

f'(x) = d/dx(3x²) - d/dx(4x) + d/dx(1)

Calculando f'(x) - Passo 2

1. Derivando 3x² (usando a regra do poder):

d/dx(3x²) = 3·2x^(2-1) = 6x

2. Derivando -4x:

d/dx(-4x) = -4·1 = -4

Calculando f'(x) - Passo 3

3. Derivando a constante 1:

d/dx(1) = 0

Somando todos os termos:

f'(x) = 6x - 4 + 0 = 6x - 4

Resposta: f'(x) = 6x - 4

Reta Tangente em x = 2

1. Calcular f(2):

f(2) = 3(2)² - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5

2. Calcular f'(2):

f'(2) = 6(2) - 4 = 8

3. Equação da reta tangente:

y - f(2) = f'(2)(x - 2) ⇒ y - 5 = 8(x - 2)

y = 8x - 16 + 5 = 8x - 11

Pontos Críticos

1. Encontrar onde f'(x) = 0:

6x - 4 = 0 ⇒ x = 4/6 = 2/3

2. Analisar a segunda derivada:

f''(x) = d/dx(6x - 4) = 6

Como f''(x) = 6 > 0 para todo x, o ponto x = 2/3 é um mínimo local.

Resumo da Solução

f'(x) = 6x - 4

Reta tangente em x=2: y = 8x - 11

Ponto crítico: x = 2/3 (mínimo local)

Bons estudos!