Regra de Cramer

     A regra de Cramer é uma técnica para resolver sistemas lineares, em que o número de equações e o número de incógnitas são iguais. Por exemplo: para resolvermos um sistema com três incógnitas devemos calcular primeiramente o determinante da equação incompleta do sistema.
     A regra de Cramer, permite descobrir a solução de um sistema, por meio de determinantes, quando o sistema é possível e determinado.
Exemplo:
1. Resolva o sistema:

D=| 2  -5 |
     | 3   2 | = (2.2) - (-5.3) = 4 - (-15) = 19

Dx=| -2  -5 |
      | 16   2 | = (-2.2) - (-5.16) = (-4) - (-80) = -4 + 80 = 76

Dy=| 2  -2 |
      | 3  16 | = (2.16) - (-2.3) = (32) - (-6) = 32 + 6 = 38

x =   Dx   =    76   = 4
        D           19

y=   Dy   =   38   = 2
       D          19
S = {(4, 2)}

Frações: Gráficos

     No software abaixo, digitando-se uma fração, obtém-se seu gráfico na forma de pizza:

Adição

Sistemas lineares
Método da adição
Modelo da animação abaixo:
  x +  y = 14
4x+2y = 48
Mova os pontos, para modificar o modelo e obter outras soluções:

Matriz inversa

     Uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se, e somente se, existir uma matriz indicada por A⁻¹, tal que A . A⁻¹ = A⁻¹ . A = In.
Exemplo: Obter a inversa de A = 1   2 , se existir.
                                                   3   1
Seja A⁻¹ = a   b    a inversa de A.
                  c   d
Pela definição de inversa:
 A . A⁻¹ = A⁻¹ . A = 1   0
                                 0   1

Na sequência, resolvemos o sistema:

   a + 2c = 1

3a +   c = 0 Por substituição: c= 3/5 e a = - 1/5

b   + 2d= 0

3b +   d= 1 Por substituição: b= 2/5 e d = -1/5

Temos, então:

Inversa de A

Propriedades da matriz inversa
     Sendo A e B matrizes quadradas do mesmo tipo e invertíveis, temos que:
1) A inversa de uma matriz, se existir, é única.
2) (A⁻¹)⁻¹=A
3) (A⁻1)^t = (A^t)⁻¹
4) (AB)⁻¹ = B⁻¹  .  A⁻¹

Matriz simétrica

Dizemos que uma matriz quadrada A de ordem n é simétrica quando ela for igual a sua transposta:
                                                                A = A^t

Multiplicação de matrizes

Dadas as matrizes A e B, chama-se produto de A por B à matriz C: C = A . B

 Mova os pontos para compor e calcular as matrizes:

As propriedades associativa e distributiva valem para multiplicação de matrizes
1. A(BC) = (AB)C
2. (A+ B)C = AC + BC
3. A(B + C) = AB + AC

A multiplicação de matrizes não é comutativa
      Isto é AB, nem sempre é igual a BA.

Multiplicação de um número real por uma matriz
Observe que que o produto de um número real pela matriz A é uma matriz que se obtém multiplicando-se o número real porcada um dos elementos de A.

Subtração de matrizes

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo, define-se A - B = A + (-B).
Mova os pontos.


Equação matricial do tipo X + B = A
     Lembramos que: Sendo A, B e X matrizes do mesmo tipo m x n, vale a propriedade.
                                        X + B = A <=> X = A - B

Adição de matrizes

Chama-se soma das matrizes A e B do mesmo tipo, à matriz, cujos elementos são iguais à soma dos elementos correspondentes de A e B. Notação: A + B.

Mova os pontos.

Estudo das matrizes

Matriz
É um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas.
Exemplo:
Tabela de notas de três alunos no primeiro bimestre:

	Matemática	Física	Química	Biologia
Ana	6	4	5	6
Antônio	5	7	5	5
Beatriz	5	6	7	4

Se quisermos saber:
- a nota de Ana em matemática, basta olharmos o número que está na primeira linha e na segunda coluna;
- a nota de biologia de Beatriz, basta olharmos o número que está na terceira linha e na quarta coluna;
e assim por diante.

Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 4 colunas, denomina-se matriz 3 X 4, e podemos representá-la por:
| 6  4  5  6 |
| 5  7  5  5 |
| 5  6  7  4 |

Definição:
Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1.
Denomina-se matriz m x n uma tabela retangular formada por m . n números reais, dispostos em m linhas e n colunas.

Nomenclatura de matrizes
     Matriz quadrada
     É toda matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas, possuindo também duas diagonais, uma chamada diagonal principal e a outra a chamada diagonal secundária.

     Matriz nula
     É a matriz onde todos os elementos são nulos. Indica-se uma matriz nula por O.

     Matriz oposta de A
     É a matriz que se obtém trocando-se cada elemento de A pelo seu oposto. Assim, se

Então:

     Matriz identidade
     É a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a um, e os demais elementos são iguais a zero. Indica-se por: In   

     Igualdade entre matrizes
     Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, são do mesmo tipo e os elementos correspondentes são iguais. Assim, sendo

,devemos ter a = 8 e b = 9.

Adição de matrizes
Subtração de matrizes
Multiplicação de um número real por uma matriz
Multiplicação de matrizes
Matriz transposta
Matriz simétrica
Matriz anti-simétrica
Matriz inversa

                    |1   3|           | -1  -3|
Sendo A =   |1   5| e B = |1    -5|, obtenha a matriz X tal que X + A = B
                    |2   0|           |2     4|

Equações trigonométricas

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.

Exemplos:
senx = 1; 2 . cos x = √3; 1 + tg 2x = 0

Resolução de equações trigonométricas
Equações que aparecem ou podem ser escritas na forma: sen x = a
sen x = 1/2 (sendo π/6 = 1/2), usando o ciclo trigonométrico podemos fazer uma simetria em relação  ao eixo 0y. Obtemos então os possíveis valores de x da 1ª volta positiva:
x = π/6 ou x= 5π / 6. 


Exercícios comentados.
Exercício 1;
Exercício 2;
Exercício 3;

Sistemas lineares

Sistemas lineares
Exemplos
1. Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um?
     Sendo x e u, respectivamente, o número de pontos que cada jogador marcou, temos uma equação com duas incógnitas:     x + y = 42
Nessa equação: se x = 21, então 21 + y = 42 => y= 21. Logo, x = 21 e y = 21 constituem uma solução da equação, que indicamos por (21, 21);
                         se x = 16, então 16 + y = 42 => y= 26. Logo, x = 16 e y = 26 constituem uma outra solução da equação, que indicamos por (16, 26).
     Na verdade, essa equação admite várias soluções. Verificamos assim que os dados do problema não são suficientes para determinar o número de pontos marcados por cada jogador.

Equações lineares
Exemplos:
- 3x + 2y = 7 é uma equação linear nas incógnitas x e y;
- 2x + 3y - 2z = 10 é uma equação linear nas incógnitas x, y e z;
- x - 5y +z - 4t = 0 é uma equação linear nas incógnitas x, y, z, e t.
Forma geral:
 a₁x1 + a₂x₂+a₃x₃ +...+a_nx_x = b, na qual:

 a_1, a_2,a_3 ,...a_n    são números reais;

 x1, x_2, x_3,...,xn, são as incógnitas e b é o termo independente.  

Exemplos:
1. Verifique se o terno: (1, 3, 2) é uma solução da equação linear 2x + y + 5z = 15
Solução: 2 . 1 + 3 + 5 . 2 = 15 -> 2 + 3 + 10 = 15 -> 15 = 15.
Conclusão: vemos que o terno (1, 3, 2) é solução da equação linear.

2. Dada a equação linear 2x + 3y=-8,  construa geometricamente o gráfico:

Resolução gráfica de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas
a) x + y = 3
    x + y = 0

b) x - y = -3
    3x+2y=16

c) x+2y=1
    2x+4y=2

Quando as retas que representam as soluções das equações são:
- concorrentes, o sistema tem uma única solução.
- paralelas, o sistema não tem solução.
- coincidentes, o sistema tem infinitas soluções.

Sistemas lineares

     Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um?
Resolução:
     Sendo x e y, respectivamente, o número de pontos que cada jogador marcou, temos uma equação com duas incógnitas: x + y = 42
     Observe:
- se x = 21, então 21 + y = 42 => y = 21
- se x = 30, então 30 + y = 42 => y = 12.
- se x = 16, então 16 + y = 42 => y = 26.
Na verdade essa equação admite várias soluções: x pode assumir um valor qualquer natural de 0 a 42, e y será igual à diferente entre 42 e o valor atribuído a x.
Verificamos ainda  que os dados do problema não são suficientes para determinar o número de pontos marcados por cada jogador.

A ideia do Seno

Em qualquer subida, podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, que será um número, que é chamado de seno do ângulo
(UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1.000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é:
Pensando com a animação abaixo, o ângulo alfa = 30º;
O percurso (p) é igual 1000 m;
Qual será a altura (h) atingida pelo avião, depois de depois de percorrer o percurso elencado?

Seno de um ângulo de subida.

A ideia de tangente

A ideia de tangente
Usamos a palavra tangente para associar a medida do ângulo de subida e o índice na mesma subida. A tangente de subida é igual ao índice de subida associado.

Mova e observe que, aumentando o "afastamento" aumenta a altura.

Tangente de um ângulo de subida

Logaritmos

     Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?
Nessas condições, podemos organizar o seguinte quadro:

Tempo	População
Início	Po
1 ano	P1 = Po . 1,03
2 anos	P2 = (Po . 1,03)1.03 = Po(1,03)²
3 anos	P3 = Po (1,03)3
:
X anos	Po = Po (1,03)x

Supondo que a população dobrará após x anos, temos: Px = 2Po  ==> Po(1,03)^x = 2Po <=>
(1,03)^x = 2
Como não é possível resolver essa equação transformando-a em uma igualdade de potências de mesma base. Para resolvê-la, utilizamos logaritmos.

Logaritmo (log)
     É o inverso de uma função exponencial.
     Um logaritmo é um expoente.
     Exemplo: 4² = 16. O logaritmo é Log4 16=2, em que 2 é chamado de logaritmo de 16 com base 4.
Se uma função exponencial é lida como  b^x = y, sua inversa ou logaritmo, é logby = x. Observe que o logaritmo é o expoente.

Logaritmos especiais
Decimais: Devido ao fato de que todo nosso sistema baseia-se no número 10, log y (sem uma base escrita) é sempre entendido como log base 10. Por exemplo: 10³ = 1000, por isso, log 1000 = 3

Naturais: é todo logaritmo de base e. O símbolo de um log natural é ln. Exemplo: loge y = lny

Propriedades e identidades
logb 1 = 0, para a função exponencial ficará: b⁰ = 1
logb x existe apenas quando x > 0.
logb b = x, independente do valor de b, essa equação sempre funciona. Logb b = 1.
bLogb x = x. É possível alternar essa equação de voltar para um log para confirmar que ela funciona. Logbx = Logbx.

Regra do produto
Logbx + Logby = Logbx (x . y)

Regra do quociente
Logbx - Logby = Logb(x/y)

Regra da potência

log_b x^y = y . log_bx

Fórmula da mudança de base

log_mn = log_b n

              log_b m

EF08MA18: Rotação

     A rotação também e uma das transformações geométricas no plano. Nessa transformação, o quadrado é girado ao redor de um ponto segundo um ângulo.
Observe a rotação do triângulo ABC ao redor do ponto A segundo o ângulo de 90º.

EF08MA18: Translação

Translação
     A translação é uma transformação geométrica que pode ser executada em um plano. Nessa transformação, a figura é deslocada, certo comprimento, em determinada direção e sentido, e cada um dos seus pontos terá o mesmo deslocamento.

Mova o ponto do vetor.

Lei dos senos

     A lei dos senos permite calcular a medida de dois lados (b e c) de um triângulo quando são conhecidas as medidas do terceiro lado (a) e de dois ângulos.

Sen A = a / 2R ==> a = 2R . sen A' ==> a = 2R . sen A ==> a / senC = 2R, logo:

OU

Lei dos cossenos

Relações métricas em um triângulo qualquer
1) Quando o triângulo for retângulo, vale a relação de Pitágoras: a² = b² + c²
2) Para um triângulo qualquer, com ângulo agudo, vale a relação: a² = b² + c² - 2bc . Cos A.

ABC é um triângulo com A agudo.
No triângulo BCD: a² = n² + h²
No triângulo BAD: c² = h² + m² --> h² = c² - m²
                                b = m + n --> n = b - m
Fazemos então: a² = (b - m)² + c² - m² ==> a² = b² + c² - 2bm
Mas no triângulo BAD: cos A = m/c ==> m = c.cosA
Logo: a² = b² + c² - 2bc . cos A

Ou

3) Para um triângulo qualquer, com ângulo obtuso, vale a relação: a² = b² + c² + 2bc (180º - A).

ABC é um triângulo com A obtuso.
No triângulo BCD: a² = n² + h²
No triângulo BAD: c² = h² + m² --> h² = c² - m²
                                n = b + m
Fazemos então: a² = (b+m)² + c² - m²  ==> a² = b² + c² + 2bm
Mas no triângulo BAD: cos (180º - A) = m/c . cos (180º - A)
Logo: a² = b² + c² + 2bc (180º - A)

Função identidade

     É uma função que dá como imagem de cada elemento o próprio elemento.
     A função identidade do conjunto X, é uma função definida por: f :  X --> X
     O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e segundo quadrante (x=y), ou seja, a reta passa pela origem (0,0). (se parece com a função linear).
Mova o ponto azul...

Logaritimação

     Dados dois números reais a e b, positivos com a diferente de 1, define-se o logaritmo de b com base a: Logab = L se e só se a^L = b.
Exemplos:
Log10 100 = 2, pois 10² = 100
Log2 8 = 3, pois 2³ = 8
Log10 (-1) não corresponde a um número real, pois não existe número real L tal que 10^L = -1.

EF08MA18: Reflexão

     As figuras podem sofrer transformações geométricas, dando origem a outra figura, que poderá ser sobreposta à figura original de forma que todos os pontos coincidam.

     Reflexão em relação a uma reta
     A reflexão em relação a uma reta também é uma transformação geométrica. Ela pode ser comparada à reflexão em um espelho. Nesta  transformação, a figura original e a figura refletida são simétricos em relação à reta, chamada de eixo de reflexão.

Mova os pontos A, A', D ou D'.

Segmentos de reta

Relações entre segmentos

Operações com segmentos
Segmentos proporcionais
     Segmentos de reta são proporcionais quando as razões entre suas medidas são iguais.
Dados os segmentos a seguir:

AB e CD são proporcionais a EF e GH.

EF08MA15: Triângulo equilátero

Os ângulos de 30°, 45° e 60° são chamados notáveis por causa da frequência com que surgem em problemas e da grande importância para a Trigonometria. O estudo da Trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas.

Para entendermos a origem desses e outros ângulos (30º e 90º), que também podemos classificar como notáveis, para tanto, utilizamos demonstrações geométricas como pelo estudo do triângulo equilátero e do quadrado enquanto uma figura regular plana.

Elementos do triângulo equilátero
- Os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes, todos iguais á 60º.
- A altura do triângulo equilátero também é bissetriz e mediana.
- A altura do triângulo equilátero é função das medidas dos lados.
- Como a altura do triângulo equilátero também é mediana, ela divide a base ao meio e pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras:

- A área do triângulo equilátero também é função das medidas dos lados, que é dada por:
A = (base x altura) / 2
(Mova os pontos)

Observe que os três lados são iguais.

Cálculo da altura
Aplicando o teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

TEOREMA DE PITÁGORAS

Uma escada de 5 m de comprimento esta apoiada num muro.  O pé da escada esta afastado 3 m da base do muro. Qual é a altura, no muro, que escada alcança?

O Teorema de Pitágoras (matemático grego 570 a.C. - 495 a.C.), diz que: "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos."
Sendo a (hipotenusa), b e c (catetos).

  

UMA APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Diagonal do quadrado

     Cálculo da diagonal de um quadrado.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo DCB, temos:

d² = l² + l² => d² = 2l² => d= l√2

Altura de um triângulo equilátero

     A altura de qualquer triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos iguais.

Simplificando o radical:

Teorema de Tales

TEOREMA DE TALES

     A figura abaixo indica três lotes de terreno com frentes para a rua A e para a rua B. As divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para A medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m.

     A frente do lote 2 para a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?

Resolução

Logo a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3, são respectivamente 21 e 35 metros.

     O Teorema de Tales (filósofo grego) ou Teorema das retas paralelas, diz que: "Se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre o segmentos correspondentes da outra."

(Para interagir: mova os pontos azuis).

A partir desse teorema, podemos considerar outras proporções, como:

Teorema de Tales nos triângulos

     Traçando uma reta p paralela a s passando pelo vértice A, temos um feixe de retas paralelas, que corta duas transversais.

    Pelo teorema de Tales:

     Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que cruza os outros dois lados, divide esses dois lados em segmentos de reta proporcionais.