Adição

Sistemas lineares
Método da adição
Modelo da animação abaixo:
  x +  y = 14
4x+2y = 48
Mova os pontos, para modificar o modelo e obter outras soluções:

Sistemas lineares

Sistemas lineares
Exemplos
1. Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um?
     Sendo x e u, respectivamente, o número de pontos que cada jogador marcou, temos uma equação com duas incógnitas:     x + y = 42
Nessa equação: se x = 21, então 21 + y = 42 => y= 21. Logo, x = 21 e y = 21 constituem uma solução da equação, que indicamos por (21, 21);
                         se x = 16, então 16 + y = 42 => y= 26. Logo, x = 16 e y = 26 constituem uma outra solução da equação, que indicamos por (16, 26).
     Na verdade, essa equação admite várias soluções. Verificamos assim que os dados do problema não são suficientes para determinar o número de pontos marcados por cada jogador.

Equações lineares
Exemplos:
- 3x + 2y = 7 é uma equação linear nas incógnitas x e y;
- 2x + 3y - 2z = 10 é uma equação linear nas incógnitas x, y e z;
- x - 5y +z - 4t = 0 é uma equação linear nas incógnitas x, y, z, e t.
Forma geral:
 a₁x1 + a₂x₂+a₃x₃ +...+a_nx_x = b, na qual:

 a_1, a_2,a_3 ,...a_n    são números reais;

 x1, x_2, x_3,...,xn, são as incógnitas e b é o termo independente.  

Exemplos:
1. Verifique se o terno: (1, 3, 2) é uma solução da equação linear 2x + y + 5z = 15
Solução: 2 . 1 + 3 + 5 . 2 = 15 -> 2 + 3 + 10 = 15 -> 15 = 15.
Conclusão: vemos que o terno (1, 3, 2) é solução da equação linear.

2. Dada a equação linear 2x + 3y=-8,  construa geometricamente o gráfico:

Resolução gráfica de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas
a) x + y = 3
    x + y = 0

b) x - y = -3
    3x+2y=16

c) x+2y=1
    2x+4y=2

Quando as retas que representam as soluções das equações são:
- concorrentes, o sistema tem uma única solução.
- paralelas, o sistema não tem solução.
- coincidentes, o sistema tem infinitas soluções.

Sistemas lineares

     Em uma partida de basquete, dois jogadores marcaram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um?
Resolução:
     Sendo x e y, respectivamente, o número de pontos que cada jogador marcou, temos uma equação com duas incógnitas: x + y = 42
     Observe:
- se x = 21, então 21 + y = 42 => y = 21
- se x = 30, então 30 + y = 42 => y = 12.
- se x = 16, então 16 + y = 42 => y = 26.
Na verdade essa equação admite várias soluções: x pode assumir um valor qualquer natural de 0 a 42, e y será igual à diferente entre 42 e o valor atribuído a x.
Verificamos ainda  que os dados do problema não são suficientes para determinar o número de pontos marcados por cada jogador.

Resolução de sistemas

Resolução de sistemas lineares 2 x 2, em |R X |R.
Métodos de resolução de equações do 1º grau  
Oito alunos da 7ª série formaram um grupo de estudo. O número de moças é igual ao triplo do número de rapazes. Quantas moças e quantos rapazes há nesse grupo?
Nomeando
x: número de moças.
y: número de rapazes.
Oito alunos (moças e rapazes), formam um grupo de estudos: x + y = 8
O número de moças (x), é igual ao triplo do número de rapazes(y): x = 3y
 Essas duas equações formam um sistema de equações.

As incógnitas são x e y.
Resolução
Se x=3y, podemos substituir x por 3y na primeira equação.
3y + y = 8, logo: 4y = 8 --> 4y/4 = 8/4 --> y = 2
Logo valor de y (número de rapazes) é igual 2.
A seguir resta calcular o número x (número de moças).
Substituindo o valor de y (2), na primeira equação temos:
x + 2 = 8
x +2 - 2 = 8 -2
x = 6
A solução desse sistema de equações é x = 6 e y =2.
O grupo de estudos é formado por 6 moças e 2 rapazes.
Resolvemos o sistema substituindo x por 3y em uma das equações. Por isso esse método de resolução é chamado método da substituição.

     Método da adição
     Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos.

Representação geométrica do sistema

Observe que o ponto verde do gráfico, representa a intersecção das duas retas, é a solução do sistema.

Resolvendo o sistema pelo método da substituição, obtemos: x= 10 e y= 15, logo o sistema é possível e determinado, pois a única solução é o par ordenado (10, 15).

Este tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y podem assumir vários valores. No exemplo acima, x e y podem inúmeros valores, como (0,8), (1,7), (2, 6), (3,5), etc.

Escalonamento
Resolver por escalonamento, os sistemas:

x + 2y + z = 9

2x + y – z = 3

3x – y – 2z = -4

1. Tornar o coeficiente de x, na1ª equação, igual a 1.
   Como o coeficiente de x, já é 1, logo:
2. Anular os coeficientes de x da 2ª e 3ª equações.
   X + 2y + z = 9 (-2), logo: -2x – 4y – 2z = - 18 => somamos este resultado à 2ª:

-2x -4y -2z = -18

2x + y – z = 3

-3y – 3z = -15 (anulamos o coeficiente x da 2ª equação)

===========================================

x + 2y + z = 9 (-3), para anularmos o coeficiente de x na 3ª, temos então:

-3x – 6y – 3z = - 27 a qual somamos a 3ª:

-3x – 6y – 3z = - 27

3x – y -2z = -4

-7y – 5z = - 31

(anulamos o coeficiente x da 3ª equação)

Reescrevemos o sistema:

x + 2y + z = 9

-3y – 3z = -15

-7y – 5z = - 31

3. Tornar o coeficiente de y, na 2ª equação, igual a 1.
   Então, sendo a 2: -3y – 3z = -15, para tornar o coeficiente de y igual a 1, pois nesta caso o coeficiente é 3, portanto, dividimos toda equação por (-3). Logo temos: y + z = 5, então, reescrevemos o sistema:
   x + 2y + z = 9
   y + z = 5
   -7y – 5z = - 31

4. Anular o coeficiente de y, na 3ª equação.
   Para isso, convenientemente, multiplicamos a 2ª equação por (7) e obtemos:
   7y + 7z = 35, que somamos à 3ª:
   -7y – 5z = - 31, cuja soma resulta em: 2z = 4. Logo, reescrevemos o sistema, agora escalonado:
   x + 2y + z = 9
   y + z = 5
   2z= 4

         A partir da última equação obtemos o valor de z e, substituindo esse valor na segunda equação, obtemos y e, finalmente, com os valores de z e y, tiramos o valor de x na primeira equação, assim:

2z = 4 => z = 2

y + 2 = 5 => y = 3 e

x + 2.3 + 2 = 9 => x + 6 + 2 = 9 => x = 9 -8 => x = 1

S = {(1, 3, 2)}

Resumo:

Tornar o coeficiente de x, na1 equação, igual a 1.

Anular os coeficientes de x da 2 e 3 equações.

Tornar o coeficiente de y, na 2ª equação, igual a 1.

Anular o coeficiente de y, na 3ª equação.