Problemas do 2º grau

1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número. (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero?
(R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?
(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56?   (R:-8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40?    ( R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuído de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.
(R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 28. (R:7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraímos 7, o resto será 42. Qual é esse número?
(R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)

24) A soma de um número real positivo x com o seu quadrado dá 42. Determine esse número (R: 6)

25) Multiplique o quadrado de um ´número real inteiro por 3 . O resultado é igual ao quíntuplo do mesmo número aumentado de  2 unidades. Qual é esse número? (R: 2)

26) Um número natural é 20 unidades menor que seu quadrado. Qual é esse número? (R: 5)

Razão: Lista de exercícios

1. A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão entre as idades de Pedro e Josefa?

2. Uma caixa de chocolate possui 250g de peso líquido e 300g de peso bruto. Qual é a razão do peso líquido para o peso bruto?

3. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?

4) Determine a razão da primeira para a segunda grandeza:
a) 52cm e 104cm
b) 26hm e 130hm
c) 500g e 2kg
d) 16km e 6.400cm

5) Num exame, havia 180 candidatos. Tendo sido aprovados 60, a razão entre o número de reprovados e o de aprovados é de:

6) Numa sala com 50 alunos, 15 são mulheres. Determine:
a) a razão do número de homens para o número de mulheres.
b) a razão do número de mulheres para o total de alunos.
c) de cada 10 alunos, quantos são homens ?
d) de cada 20 alunos, quantas são mulheres ?

7) Dois quadrados têm, respectivamente, 3cm e 6cm de lado. Qual é a razão entre as superfícies (área) do primeiro e do segundo quadrado ?

8) Numa classe de 40 alunos, 8 foram reprovados. Determine a razão entre as reprovações e as aprovações.

9) Dois segmentos medem 8 dm e 160 cm, respectivamente. A razão entre o primeiro e o segundo é:

10) Em que razão estão os volumes de dois cubos cujas arestas medem, respectivamente, 2 cm e 6 cm ?

11) Calculando a razão entre 60m e 120m, encontramos:

12) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão possui 200 g de peso líquido e 250 g de peso bruto. Qual a razão do peso líquido para o peso bruto ?

13) Um retângulo A tem 10 cm e 15 cm de dimensões, enquanto as dimensões de um retângulo B são 10 cm e 20 cm. Qual é a razão entre a área do retângulo A e a área do retângulo B ?

14) Numa prova de matemática, um aluno acertou 12 das 20 questões dadas. Qual é a razão de número de questões que ele acertou para o número de questões da prova ?

15) O volume de um cubo é igual ao cubo da medida da aresta. Qual é a razão entre os volumes de dois cubos cujas arestas medem 4 cm e 8 cm respectivamente ?

16) Uma equipe de futebol apresenta o seguinte retrospecto durante o ano de 1997: 30 vitórias, 18 empates e 12 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número de partidas disputadas ?

17) Uma escola tem 800 m² de área construída e 1.000 m² de área livre. A razão da área construída para a área livre é:

18) Numa escola estudam 270 meninas e 180 meninos. A razão entre o número de meninos e de meninas é:

19) Um atleta masculino salta uma distância de 8,10 m, enquanto que uma feminina salta 6,60 m. Qual a razão entre os saltos ?

20) Se Elisa recebe R$ 400 por hora e seu colega R$ 1.200, qual a razão entre os salários de ambos ?

21) Determine a razão entre os preços de um caderno e de um livro, que custam, respectivamente, R$ 800 e R$ 3.200.

22) Determine a razão de 20 para 16.

23) Uma prova de matemática tem 10 questões. Um aluno acertou 8 destas questões. Determine:
a) A razão do número de questões que acertou para o total de questões.
b) A razão do número de questões que errou para o número de questões que acertou.

24) Numa classe de 50 alunos, 10 foram reprovados. Pede-se a razão de número de reprovados para o número de alunos da classe.

25) Na minha casa, a área construída é de 120 m² e a área livre é de 80 m². Qual é a razão da área construída para a área livre ?

26) Dois terrenos quadrados têm, respectivamente 10 m e 20 m de lado. Qual é a razão da área do primeiro terreno para a área do segundo terreno ?

Fração de uma quantidade

Fração de uma quantidade

Na fração de quantidade trabalhamos com um certo número de elementos e uma parte deles é considerada.

Por exemplo:

       Um ginásio de esportes tem capacidade para 3000 pessoas e apenas 2/5 dos lugares estão ocupados. Quantas pessoas ainda não entraram no ginásio?

       2/5 de 3000 = 1200 > entraram no ginásio, logo 3000 - 1200 = 1800 a quantidade de pessoas que ainda não entraram no ginásio.

Existem outras situações em que precisamos saber a quantidade total a partir de uma fração. 

Função 2º grau. Alguns exemplos

Problemática

Marco é vendedor, e seu salário é composto de um valor fixo mais as comissões sobre as vendas realizadas no mês. A loja em que trabalha calcula seu salário por meio de uma função cuja lei de formação é dada por f(x)=0,01x+500, em que x representa à quantia vendida no mês.
Quanto Marco receberá sabendo que neste mês suas vendas totalizaram R$ 100.000,00?
Resolução:
Sendo a fórmula para o cálculo do salário, f(x)=0,01x+500 e tendo Marco, vendido R$ 100.000,00 no mês, seu salário será igual à: f(x)=0,01 . 100.000,00 + 500 = R$ 1.500,00
   
Função 2º grau

Atividade 1: Minimizando custos

Uma firma monopolista produz, mensalmente, x computadores ao custo de CT= x² +10x +120. Sendo a demanda de mercado definida pela função x = 10000 – p (onde p é o preço em reais de um computador). Faça: 
a) O gráfico da função custo. 

b) Calcule o preço e a quantidade de computadores que maximizem o lucro da firma.
C=x² + 10x + 120
x = 10.000 – p
C = (10.000 – p)² + 10.(10.000 – p) + 120
C= 10.000²-2.10.000.p + P² + 100.000-10p+120
C= 100.000.000-20.000p+p²+100.000-10p+120
C=100.100.120-20.010p+p²
V = p . x
V = p(10.000 – p)
V(p) = 10000p - p²
L = V – C 
L=(10.000p -p²) – (100.100.120 -20.010p + p²)
L=10.000p – p²-100.100.120+20.010p-p²
L =-2p² + 30.010p -100.100.120
∆ = (30.010)² -4.-2.-100.100.120 ==>∆ = 900.600.100 – 800.800.960=>
∆ = 99.799.140 ==> ∆>0
Pela equação quadrática: L₁ = 5.005,01
L₂ = 9.999,98
Estas raízes nos indicam para quais valores de p o lucro será igual a zero.
O lucro máximo é representado pelo x vértice (x_v)e é calculado usando o seguinte modelo matemático:
Xv = -b / 2a
Xv = - (30010)/2.-2
Xv = 7.502,50
Logo o lucro máximo é dado pelo seguinte modelo matemático:
Yv= - (b² – 4.a.c)/-4a
Yv = - (30.010,00² – 4.-2.-100.100.120)/4.-2
Yv= 12.474.892,50
Estabeleça para que valor de venda de computadores poderá haver Lucro ou, ainda, prejuízo.

P(preço de venda/unitário)	L(lucro em R$)
4005,01	-R$ 11.989.980,01
5005,01	0
6502,01	R$ 10.474.892,50
7502,5	R$ 12.474.892,50
8502,5	R$ 10.474.892,50
9999,98	0

Verifica-se também que haverá prejuízo, quando os computadores forem vendidos a menos de R$ 5005,01.

Deverão ser vendidos 1662,76 computadores ao preço de 7502,50, para haver lucro máximo.

Paralelogramos

Os paralelogramos
     São trapézios cujos lados opostos são paralelos e geometricamente iguais.
Classificação dos paralelogramos
Paralelogramo: é o quadrilátero cujos lados paralelos são iguais.
Propriedades:
- em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
- em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
- em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.

Aplicação

Determine os valores de x e y, do paralelogramo abaixo:

Da geometria plana, os ângulos e os lados opostos são congruentes , portanto, o outro cateto do triângulo retângulo é igual a 4 (12 - 8), então podemos determinar o lado y, pela razão trigonométrica tangente, isto é, tg 60º = y / 4 -> sabemos que a tg60º=√3, logo: √3 = y/4 -> y= 4√3.

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos o lado x (hipotenusa): x² = 4² + (4√3)² -> x² = 16 + 16.3= 16+48

x² = 64 -> x= √64 -> x= 8.

Logo, as medidas são de x= 8 e de y= 4 √3.

Retângulo: é o quadrilátero cujos lados consecutivos são perpendiculares.
Tem os quatro ângulos congruentes (retos).
Suas diagonais são congruentes.

Losango: é o quadrilátero cujos lados são todos iguais.
Suas diagonais são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos do losango.

Quadrado: é o retângulo  cujos lados são todos iguais.
Possuí os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes (retos).
Suas diagonais são congruentes, perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos.
Arraste o lado "mova":

EF09M10: Postulado das paralelas

Os ângulos formados por retas paralelas cortadas por retas transversais, é o 5º postulado de Euclides, também conhecido como postulado das paralelas e são classificados como:
- Ângulos correspondentes,
- Ângulos alternos (externos e internos),
- Ângulos colaterais (externos e internos).

O que é medir

 Medir
     Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra de mesma espécie tomada como unidade.
     Dizemos que a área de uma figura exprime quantas vezes essa figura contém a unidade de área.

     A unidade de área
     Adotamos como unidade de área o quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento. Ele será chamado de quadrado unitário.
Por exemplo: quando desejamos conhecer a área de um retângulo cujos lados medem 5cm e 3cm, então a unidade de área cabe 15 vezes no retângulo e, por isso, sua área é de 15 centímetros quadrados (15cm²).
     Fica claro então que as medidas dos lados de um retângulo são números inteiros a e b, a sua área é o produto desses números. S= a.b
     Em particular, se a medida do lado de um quadrado é um número inteiro n, sua área é igual a n².

EF09MA12: Teorema da semelhança de triângulos

Teorema fundamental da semelhança de triângulos
     Toda reta que é paralela a um lado de um triângulo e intercepta os outros dois lados em dois pontos distintos determina com esses lados um segundo triângulo semelhante ao primeiro.

EF07MA24: Teorema dos ângulos internos de um triângulo

"A soma de todos os ângulos internos de um triângulo QUALQUER é igual à 180 graus"
Mova os pontos.

Volume do cone

Cone
     O volume V de um cone, de altura h e base com raio r, é 1/2 do volume do cilindro com as mesmas dimensões, assim: V = 1/2.π.r².h

O cone de revolução é gerado pela revolução de um triângulo retângulo, em torno de um de seus catetos (eixo de revolução), dando uma volta completa. 

Animação para o  cálculo do volume de um cone.
Exemplo: Calculando o volume de um cone com 2,5 cm de altura (h) e com raio (r) igual à 1,5 cm.
A área da base desse cone é: Ab=pi.r² = pi . 1,5² = 2,25pi
Vc=1/3 . 2,25pi . 2,5 = 1,875pi
Portanto, o volume do cone é 1,875pi cm³.
(Na animação abaixo, usamos pi=3,14)

Zero da função de 1º grau

O zero da função é dado pelo valor de x que faz com que a função assuma o valor zero. Encontrar este valor de x é muito fácil, pois basta resolver a equação do 1º grau.

Taxa de variação ou taxa de crescimento de uma função afim

Taxa de variação ou taxa de crescimento de uma função afim
      Dados x ∈ |R e x+h, com h≠0, o número a dado por:

   
é chamado de taxa de variação (ou de crescimento) da função f(x)=ax+b no intervalo [x, x+h].
Exercício:
1. Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeirada mais R$ 0,80 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número x de quilômetros rodados. Responda:
a) Qual é a lei da função afim representada por essa situação?
    f(x)= 0,80x + 3,20
b) Qual é a sua taxa de variação?
f(x+h) = 0,80(x+h)+3,20 = 0,80x+0,80h+3,20 -->
f(x+h)-f(x) = 0,80x+0,80h+3,20-0,80x -3,20-->
f(x+h)-f(x) = 0,80h,
logo a taxa de variação é =0,80h/h = 0,80.

Equação e gráfico do 2º grau

Movimente os pontos a, b e c, os chamados coeficientes numéricos, e obtenha a parábola de equações completas e incompletas do 2º grau com uma variável.

A ideia do cosseno

Uma escada que mede 6m está apoiada em uma parede. Sabendo-se que ela forma com o solo um ângulo α e que

cos α = √5
             3

a distância de seu ponto de apoio no solo até a parede, em metros, é:

Valendo-nos da simulação abaixo, observamos que:
A escada mede 6 m;
O ângulo que a escada forma com o solo é igual  α;
A pergunta é: qual a distância (afastamento) de seu ponto de apoio no solo até a parede?
Sabendo que cos α = cateto adjacente / hipotenusa, temos:

Circunferências internas

Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.

Você pode mover os pontos...

Circunferências concêntricas

Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.
Movimentando os pontos, observe que o centro das duas circunferências não alteram-se.