EF06MA11: Operações com números decimais.

Adição e subtração de números decimais 

Dona Sílvia vai ao banco pagar as contas do mês. Para saber quanto ela gastará no total, fazemos: 

Devemos somar centésimos com centésimos, décimos com décimos, unidades com unidades e assim por diante. Isso fica mais fácil se colocarmos vírgula embaixo de vírgula. 

Dona Sílvia tem no banco R$ 456,78. Se ela pagar as contas com esse dinheiro, quanto lhe sobrará? 

Como não é possível tirar 

9 décimos de 7 décimos, 

trocamos 1 unidade por 10 

décimos. 17 9 8

Podemos acrescentar zeros à direita da parte decimal, para visualizar melhor o que se passa nas adições ou subtrações. Por exemplo: 

8 - 0,94 =? 8,00 

8 = 8,00 -0,94 

 7,06 

  

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE DECIMAIS 

Ao dividirmos um número por 10, a vírgula anda para a casa da esquerda.

Ao multiplicarmos um número por 10, a vírgula anda para a casa da direita. 

Exemplos: 

4⋅10=40 

4÷10=4,0÷10=0,4 

4÷100=4,0÷100=0,04 

0,04⋅10=0,4 

0,04⋅100=4 

345÷10=345,0÷10=34,5 

34,5⋅10=345 

34,5⋅100=3450 

345÷100=345,0÷100=3,45 

345÷1000=345,0÷1000=0,345 

0,345⋅10000=0,3450⋅10000=3450,0=3450 

Para multiplicar decimais por números diferentes de 10, utilizamos o mesmo algoritmo da

multiplicação dos inteiros, de forma que o número com mais casas fique acima. Lembre - se

que isso é utilizado apenas para facilitar o algoritmo, pois a multiplicação de racionais é

comutativa, ou seja, a b = b a. ⋅ ⋅ 

Para sabermos onde colocar a vírgula no resultado final, basta contarmos quantas casas

decimais possui cada um dos nossos fatores e somarmos a quantidade de casas.

Exemplos:

A divisão de números decimais varia. Mas em todos os casos, buscamos transformar os 

números decimais em inteiros (multiplicando por bases 10). Exemplo: 

Note que 10/10=1 e assim, não alteramos o valor da nossa fração, somente escrevemos de  forma

diferente. Agora, temos uma divisão de inteiros: 

Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta numérica. 

Números decimais na forma de fração 

Vamos escrever os números decimais na forma de fração?

Comparando números decimais 

O número de casas decimais é igual ao número de zeros do denominador da fração decimal

Multiplicando o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número natural,

obtemos uma fração equivalente a ela. Por exemplo: 

Podemos acrescentar ou retirar zeros à direita da parte decimal de um número decimal

sem alterá-lo. Mais um exemplo: 

23,7 = 23,70 = 23,700 = 23,7000 = … 

Agora acompanhe a situação a seguir: 

Paulo tem 1,57 m, e Ademir, 1,45 m. Qual deles é mais alto? 

Paulo é mais alto, pois 1,57 >1,45. 

Para descobrir qual entre dois números decimais é maior, comparamos primeiro a parte

inteira: 1 = 1. 

Como houve igualdade, comparamos os décimos: 5 > 4. 

Pronto! 1,57 > 1,45. 

Observe mais um exemplo: 

 • 5,009 < 5,01 

 Parte inteira: 5 = 5 

Décimos: 0 = 0 

Centésimos: 0 < 1 

Claro! 5,01 = 5,010; 

então 5,009 < 5,010, porque 9 milésimos é menor que 10 milésimos.

Exercícios

EF06MA01: Números racionais

O conjunto dos números racionais é formado por todos os elementos que podem ser escritos na forma de fração. Assim, se o número pode ser representado por uma fração, então ele é um número racional.
Para compreender bem a definição de números racionais e todas as possibilidades que essa definição e esse conjunto numérico envolvem, é preciso lembrar da definição de fração.
Para comparar os números racionais, podemos dispô-los em uma reta numérica. Veja um exemplos:

Os números - 3, +3, - 2, + 2, -1 e +1 são opostos e possuem o mesmo valor absoluto, ou seja, valor em módulo. Observe:

|- 3| = 3

|+ 3| = 3

|- 2| = 2

|+ 2| = 2

|- 1| = 1

|+ 1|=1

Para comparar os números racionais, podemos utilizar os sinais de maior (>) e menor (<) ou considerar o sucessor e o antecessor de um número.

- 2 é antecessor de -1;

-1/2 é menor que + 0,8 → - 1/2 < + 0,8;

+ 3 é sucessor de +2;

0 é maior que – 2,5 → 0 > - 2,5.

Exercícios

Exercícios com frações

Exercícios sobre frações e números racionais

EF06MA01: Sistema de numeração decimal

Comparando números naturais
Se compararmos os números naturais podemos dizer que eles podem indicar por meio de símbolos, suas igualdades e diferenças. Para indicar que dois números naturais são iguais, usamos o símbolo de igual ( = ) e, para indicar que são diferentes, usamos o símbolo de igual com um risco.
Podemos ainda indicar que um número natural é maior ou menor que outro. Usamos o símbolo > para indicar maior, e usamos o símbolo < para indicar menor.
Assim: 9 > 8; 7 > 5; 4 < 5; 6 < 8
Os números naturais podem ser colocados em ordem crescente ou decrescente. A ordem crescente é a ordem em que os números crescem e a ordem decrescente é a ordem em que os números decrescem. Exemplo:
Ordem crescente: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…
Ordem decrescente: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0

Sucessor, antecessor e consecutivos

Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natural chamado de sucessor.  Assim, podemos então entender que o sucessor de 2 é 3, de 109 é 110, de 1300 é 1301. Para entender melhor podemos dizer que o número imediato que vem depois de determinado número.

Antes de qualquer número natural vem imediatamente outro número natural chamado de antecessor. Assim, o antecessor de 1 é 0, de 20 é 19, e de 100 é 99.

Podemos entender que dois números naturais são consecutivos quando um deles é sucessor do outro. Assim, 10 e 11, 20 e 21, 100 e 101 são consecutivos.

Lendo e escrevendo um número natural

No Sistema de Numeração Decimal, os números são lidos ou escritos mais facilmente

quando separamos os algarismos em grupos de três, começando pela direita. Isso porque

cada três ordens forma uma classe.

Veja os números:

6 283 104 640

 5 000 254

Cada grupo de três algarismos constitui uma classe, e cada classe tem um nome, como

podemos ver no quadro a seguir.

O quadro de ordens nos ajuda a ler, escrever, compor e decompor números. Assim:

Lemos ou escrevemos por extenso: seis bilhões, duzentos e oitenta e três milhões, cento

e quatro mil, seiscentos e quarenta.

Quando todas as ordens de uma classe são representadas por zero, não se lê essa classe.

Lemos ou escrevemos por extenso: cinco milhões, duzentos e cinquenta e quatro.

Agora, veja este número escrito por extenso: Sessenta mil , trezentos e vinte e oito.

No quadro de ordens, podemos representar esse número usando algarismos assim:

Temos o número 60328.

Números racionais

A reta numérica

EF08MA07: Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta

 

Dada a equação linear de 1º grau com uma incógnita: y = 2x - 2, apresentamos à seguir sua representação gráfica, isto é, a imagem reproduz graficamente, a associação de uma equação do 1º grau no plano cartesiano, relembrando que esse tipo de equação gera uma reta... 

Equações do 1º grau com duas incógnitas

EF08MA02: Potenciação e radiciação

 

9º ano

 

	Habilidades	Objetos de conhecimento
	EF07MA01	Múltiplos e divisores de um número natural. (MDC) e (MMC)
	EF07MA02	Cálculo de porcentagens: decréscimos e acréscimos.
	EF08MA06	Valor numérico de expressões algébricas.
	EF08MA12	Grandezas diretamente, inversamente proporcionais ou não pro
	EF08MA13	Resolução de problemas envolvendo grandezas proporcionais.

	Habilidades	Objetos de conhecimento
	EF09MA01	Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento   de reta.
	EF09MA02	Números irracionais.
	EF09MA03	Potências com expoentes negativos e fracionários.
	EF09MA04	Números reais: notação científica e problemas
	EF09MA15	Polígonos regulares.
	EF09MA18	Unidades de medidas para medir distâncias muito grandes  e muito pequenas. Unidades de medidas de informática.
	EF09MA22	Tabelas e gráficos: Colunas, setores, linhas, barras
	EF09MA05	Porcentagens: problemas que envolvem cálculos de percentuais sucessivos.
	EF09MA07	Razão entre grandezas de especies diferentes. Velocidade média, Densidade demográfica, Escala,
	EF09MA08	Grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Escala.
	EF09MA09	Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis. Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações.
	EF09MA10	Ângulos formados por duas paralelas cortadas por uma transversal.
	EF09MA12	Triângulos semelhantes.
	EF09MA22	Tabelas e gráficos: Colunas, setores, linhas, barras

	Habilidades	Objetos de conhecimento
	EF09MA06	Funções: representações numérica, algébrica e gráfica.
	EF09MA09	Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis.  Resolução de equações polinomiais do 2º grau por que podem  ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
	EF09MA13	Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras.
	EF09MA14	Retas  paralelas cortadas por transversais: teoremas de  proporcio...
	EF09MA21	Análise de gráficos.
	EF09MA22	Tabelas e gráficos.

	Habilidades	Objetos de conhecimento
	EF09MA11	Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo.
	EF09MA16	Distância entre pontos no plano cartesiano.
	EF09MA17	Vistas ortogonais.
	EF09MA19	Volume de prismas e cilindros.
	EF09MA20	Análise de probabilidades de eventos aleatórios: eventos          dependentes e independentes.
	EF09MA22	Tabelas e gráficos.
	EF09MA23	Pesquisa amostral.

8º ano

	BNCC	Objetos de conhecimento
	EF06MA01	Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal.
	EF06MA10	Frações: significados (parte/todo, quociente), comparação, equivalência, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural.
	EF06MA11	Operações com números racionais, na representação decimal.
	EF07MA01	Múltiplos e divisores de um número natural: MDC e MMC
	EF07MA02	Cálculo de porcentagens: decréscimos e acréscimos.

	BNCC	Objetos de conhecimento
	EF08MA01	Notação cientifica.
	EF08MA02	Potenciação e radiciação.
	EF08MA06	Valor numérico de expressões algébricas.
	EF08MA07	Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta
	EF08MA14	Congruência de triângulos e demonstrações das propriedades dos quadriláteros.
	EF08MA15	Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares
	EF08MA16	Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares
	EF08MA03	Princípio multiplicativo da contagem.
	EF08MA08	Sistemas de equações polinomiais de primeiro grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano.
	EF08MA10	Sequências recursivas e não recursivas.
	EF08MA12	Variação de grandezas: diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais.
	EF08MA13	Variação de grandezas: diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais.
	EF08MA17	Mediatriz e bissetriz.
	EF08MA18	Transformações geométricas: Rotação, Translação, Reflexão.

	BNCC	Objetos de conhecimento
	EF08MA04	Porcentagens.
	EF08MA09	Equação polinomial de 2º grau do tipo ax² = b.
	EF08MA13	Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.
	EF08MA19	Área de figuras planas.
	EF08MA22	Princípio multiplicativo da contagem.
	EF08MA23	Gráficos.
	EF08MA24	Organização dos dados de uma variável contínua em classes.
	EF08MA25	Medidas de tendência central e de dispersão.

	BNCC	Objetos de conhecimento
	EF08MA05	Dízimas periódicas: fração geratriz
	EF08MA13	Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.
	EF08MA20	Volume de cilindro reto.
	EF08MA21	Medidas de capacidade.
	EF08MA26	Pesquisa censitária ou amostral.
	EF08MA27	Pesquisa censitária ou amostral.

EF08MA06: Operações com monômios.

Grau de um monômio

O grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de sua parte literal.

Exemplo:

Qual é o grau do monômio 7x³y²?

Somando-se os expoentes da parte literal, temos:

3 + 2 = 5, logo o grau do monômio é do 5o grau.

Observação

O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma letra de sua parte literal.

Exemplo:

7x³y² -> é do 3o grau em relação a x; é do 2o grau em relação a y.

Redução de termos semelhantes

● Identificamos os termos semelhantes.

● Efetuamos a adição ou subtração entre os termos semelhantes.

● Obtemos uma expressão mais simples.

Em Matemática dizemos que reduzimos os termos semelhantes da expressão.

Observe que não há termo semelhante a 3a.

Adição e subtração de monômios

Ao adicionarmos ou subtrairmos monômios devemos levar em consideração as partes literais

semelhantes, adicionando ou subtraindo os coeficientes e preservando a parte literal. Veja

exemplos:

17x³ + 20x³ = (17 + 20)x3 = 37x³

2ax² + 10b – 6ax² – 8b = (2 – 6)ax² + (10 – 8)b = –4ax² + 2b

–4xy + 6xy – 5xy = (–4 + 6 –5)xy = – 3xy

5b3 + 7c3 + 6b3 – 2c3 = (5 + 6)b³ + (7 – 2)c3 = 11b3 + 5c³

Multiplicação de monômios

Na multiplicação de monômios devemos multiplicar coeficiente por coeficiente e parte literal

por parte literal. Ao multiplicar partes literais iguais, aplique a multiplicação de potências de

bases iguais: somar os expoentes e repetir a base.

2x . 3x = (3 . 2) . (x . x) = 6x²

4x . 6z = (4 . 6) . (x . z) = 24xz

5b2 . 10b2 . c³ = (5 . 10) . (b2 . b² . c3) = 50b4c³

4a2x3 . (–5ax²) = [4.(–5)] . (a2x³ . ax²) = –20a³x⁵

Divisão de monômios

Na divisão de monômios devemos dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte

literal. Ao dividir partes literais iguais, aplique a divisão de potências de bases iguais: subtrair

os expoentes e repetir a base.

16x5 : 4x² = 4x³ → (16:4) e (x5 : x²)

20a2x3 : (–5ax2) = –4ax → [20 : (–5)] e (a²x³ : ax²)

81x : 9x = 9

144x³3b² : 2xb = 72x²b

Potenciação de monômios

Para elevarmos um monômio a uma potência devemos elevar cada fator desse monômio a essa

potência. Na prática elevamos elevamos o coeficiente 

numérico à potência e multiplicamos cada um dos expoentes das variáveis pelo expoente da potência.

Vamos calcular:

(5a³m)² = 25 a⁶m

Conclusão : Para elevarmos um monômio a uma potência, elevamos cada um de seus fatores a

essa potência.

Raiz quadrada

Para extrairmos a raiz de um monômio efetuamos a raiz de seu coeficiente 

 numérico e a raiz de seus fatores. 

Na prática isso equivale a dividirmos cada expoente pelo índice da raiz.

Aplicando a definição de raiz quadrada, temos:

a) √49x2 = 7x, pois (7x)² = 49x²

b) √25x6 = 5x³, pois (5x3)² = 25x6

Conclusão: para extrair a raiz 

quadrada de um monômio, extraímos a raiz quadrada do coeficiente e 

dividimos o expoente de cada variável por 2.

Exemplos:

a) √16x6 = 4x3

b) √64x4b² = 8x²b

Obs: Estamos admitindo que os resultados obtidos não assumam valores numéricos negativos.

EF09MA18: Unidades de medida utilizadas na informática.

Unidade de Medida da Informática

Objetivo: Conhecer as unidades de medida de informática e seus usos no cotidiano.

Atualmente, as unidades de armazenamento de dados em computadores são amplamente utilizadas. Definimos como 1 byte, a unidade básica de armazenamento de memória em computadores e, 1 byte é constituído por 8 bits. O bit é utilizado para representar informações na forma binária, 0 e 1 (zeros e uns). Nesse contexto, todas as informações processadas em um computador são codificadas para a base binária. A tabela ao lado (tabela ASCII), mostra o alfabeto (em letras maiúsculas) e sua conversão para o código binário, observe:

Como sabemos, cada byte é uma combinação de 8 bits, logo, vamos separar esse código de 8 em 8 bits e comparar essas sequências com os códigos apresentados na tabela.

       

As unidades básicas para armazenamento de dados no HD de um computador é o byte.

Cada byte é composto por 8 bits.

Cada símbolo (a B 7 $ , / * + ...) é interpretado pelo computador como uma sequência de 8 bits, segundo a tabela ASII. Portanto, cada símbolo/caractere ocupa o espaço de 1 byte no HD de um computador.

Nesta aula, você aprendeu que existem unidades básicas de medidas para armazenamento de dados no HD de um computador. Essas unidades são o bit e o byte.

Você aprendeu que 8 bits fazem 1 byte e que, cada caractere envolvido em uma palavra, possui uma combinação de 8 zeros e uns que formam 1 byte, ou seja, você aprendeu que o espaço ocupado no HD de um computador,

Você aprendeu que existe uma tabela de conversão entre caracteres e o código binário - a tabela ASCII. Utilizando essa tabela, você aprendeu a realizar conversões entre códigos binários e palavras da nossa língua e, descobriu quantos bytes uma palavra, ou frase, ocupa no espaço de um HD de um computador.

Nesta aula exprimem-se as quantidades em prefixo binário (e não no Sistema Internacional de Unidades), que é uma forma de quantificação utilizada em Informática onde se torna mais útil utilizar potências de dois do que potências de dez. Têm o mesmo nome das unidades do SI, embora sejam múltiplos de 1024 (210) no lugar de 1000 (10³).

Byte (B)

* 1 Byte = 8 bits (2³ bits).

Quilobyte (KB)

* 1 024 Bytes

Megabyte (MB)

* 1 024 KB

Gigabyte (GB)

* 1 024 MB

Terabyte (TB)

* 1 024 GB